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山东省莱芜市莱芜二中2013届高三4月模拟考试 数学(理)试题


山东省莱芜市莱芜二中 2013 届高三 4 月模 拟考试数学试题(理)
出题单位:莱芜二中 注意事项: 1.本试题满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 2. 使用答题纸时, 必须使用 0. 毫米的黑龟墨水签字笔书写, 5 作图时, 可用 2B 铅笔. 要 字迹工整,笔迹清晰,超出答题区书写的答案无效;在草稿纸,试题卷上答题无效。 3.答卷前将密封线内的项目填写清

楚。 一、选择题:本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项符合题目要求,把正确选项的代号涂在答题卡上. 1.设全集 U ? ?1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ,8 , 9 ? , ? U ( A ? B ) ? ?1, 3 ? , A ? ( ? U B ) ? ?2 , 4 ? ,则集合 B= A. ?1 , 2 , 3 , 4 ? 2.若复数 z ? B. ?1, 2 , 3 , 4 , 5 ?
a ? 3i 1? 2i

C. ?5 , 6 , 7 , 8 , 9 ?

D. ?7 , 8 , 9 ?

( a ? R ) 实部与虚部相等,则 a 的值等于

A.-1 B.3 C.-9 D.9 3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. 1 B.
1 3
? 3

C.

1 2
? 3

D.

3 2
? 3

4.设向量 a ? (1 , s in ? ) , b ? (3 s in ? ,1 ) ,且 a // b ,则 c o s 2? 等于 A. ? B. ?
? 3

C.

D.

5. 下列推理是归纳推理的是 A.A,B 为定点,动点 P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则 P 点的轨迹为椭圆 B.由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式 2 2 x y 2 2 2 2 C.由圆 x +y =r 的面积 π r ,猜想出椭圆 2+ 2=1 的面积 S=π ab a b D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 6. 右图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值,输出相应的 y 值.若 要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 值有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2 2 7.若直线 x-y=2 被圆(x-a) +y =4 所截得的弦长为 2 2,则实数 a 的值为 A.-1 或 3 B.1 或 3 C.-2 或 6 D.0 或 4 8.下列四个判断: ① ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ;
2

②已知随机变量 X 服从正态分布 N(3, ? 2 ) ,P(X≤6)=0.72,则 P(X≤0)=0.28; ③已知 ( x 2 ?
1 x ) 的展开式的各项系数和为 32,则展开式中 x 项的系数为 20;
n

④?

1

1 ? x dx ?
2

0

?

e

1 x

dx

1

其中正确的个数有: A.1 个 B.2 个

C.3 个

D.4 个
?
2 ) 一个周期内的

9.已知 A,B,C,D 是函数 y ? s in ( ? x ? ? )( ? ? 0 , 0 ? ? ? 图象上的四个点,如图所示, A ( ?
?
6

, 0 ), B 为 y 轴上的点,C 为图像上的最低点,
????

C E 为该函数图像的一个对称中心, 与 D 关于点 E 对称, D 在 x 轴上的投影为 B

?
12



则 ? , ? 的值为 A . ? ? 2, ? ? D. ? ?
1 2 ,? ?

?
3

B.

? ? 2, ? ?

?
6

C.

? ?

1 2

,? ?

?
3

?
6

2 10.已知 R 上可导函数 f ( x ) 的图象如图所示,则不等式 ( x ? 2 x ? 3 ) f ? ( x ) ? 0 的解集为

A. ( ? ? , ? 1) ? ( ? 1, 0 ) ? ( 2 , ? ? ) C. ( ? ? , ? 2 ) ? (1, 2 )
x a
2 2

B. ( ? ? , ? 1) ? ( ? 1,1) ? (3, ? ? ) D. ( ? ? , ? 2 ) ? (1, ? ? )
y b
2 2

11.已知 O 为坐标原点,双曲线

?

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的右焦点 F,以
??? ? ??? ? ??? ?

10 题

? OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点 A、B,若 ( AO ? AF ) OF

? 0 ,则双曲线的

离心率 e 为 A.2 B.3 C. 2 D. 3

12.等差数列 { a n } 前 n 项和为 S n ,已知 ( a 1 0 0 6 ? 1) 3 ? 2 0 1 3 ( a 1 0 0 6 ? 1) ? 1,
( a 1 0 0 8 ? 1) ? 2 0 1 3 ( a 1 0 0 8 ? 1) ? ? 1,
3

则 B. S 2 0 1 3 ? 2 0 1 3, a 1 0 0 8 ? a 1 0 0 6 D. S 2 0 1 3 ? ? 2 0 1 3, a 1 0 0 8 ? a 1 0 0 6

A. S 2 0 1 3 ? 2 0 1 3, a 1 0 0 8 ? a 1 0 0 6 C. S 2 0 1 3 ? ? 2 0 1 3, a 1 0 0 8 ? a 1 0 0 6

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.请把答案填在答题纸的相应位置. 13.若存在实数 x 使 | x ? a | ? | x ? 1 |? 3 成立,则实数 a 的取值范围是
x 14. 指数函数 y ? b ? a 在 ?b , 2 ? 上的最大值与最小值的和为 6,则 a ?

. .
? 6
A M E P F D

C 15. 如图, 已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角锈蚀, 其中 A E ? 4 米, D

B

N

C

米. 为了合理利用这块钢板,将在五边形 A B C D E 内截取一个矩形块 B N P M ,使点 P 在边
DE

上. 则矩形 BNPM

面积的最大值为____

平方米 .
2 2

16.设点 A (1, 0 ) , B ( 2 ,1) ,如果直线 a x ? b y ? 1 与线段 A B 有一个公共点,那么 a ? b 的 最小值为 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或 推理步骤。 17. (本小题满分 12 分)已知向量 m ? ( 3 s in (Ⅰ)若 f ( ? ) ?
3 2 ??
?? ? ? x 2 x ,1), n ? (c o s , c o s ). 记 f ( x ) ? m ? n . 4 4 4

x

,求 c o s (

2? 3

? ? ) 的值;

(Ⅱ) 在△ABC 中, A、 C 的对边分别是 a 、b 、c , 角 B、 且满足 ( 2 a ? c ) c o s B ? b c o s C ,
1? 2 3

若 f ( A) ?

,试判断△ABC 的形状.

18.(本小题满分 12 分) 春节期间,某商场决定从 3 种服装、2 种家电、3 种日用品中,选出 3 种商品进行促销活动。 ⑴)试求选出的 3 种商品中至少有一种是家电的概率; ⑵商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销,即在该商品现价的基础上将价格提高 100 元,规定购买该商品的顾客有 3 次抽奖的机会:若中一次奖,则获得数额为 m 元的奖金; 若中两次奖,则共获得数额为 3 m 元的奖金;若中 3 次奖,则共获得数额为 6 m 元的奖金。 假设顾客每次抽奖中获的概率都是 销方案对商场有利?
1 3

,请问:商场将奖金数额 m 最高定为多少元,才能使促

19. (本小题满分 12 分)已知平行四边形 ABCD 中,AB=6,AD=10,BD=8,E 是线段 AD 的中 点.沿 BD 将△BCD 翻折到△ B C ?D ,使得平面 B C ?D ⊥平面 ABD. (Ⅰ)求证: C ?D ? 平面 ABD; C? (Ⅱ)求直线 B D 与平面 B E C ? 所成角的正弦值; (Ⅲ)求二面角 D ? B E ? C ? 的余弦值. B C

A

E

D

20. (本小题满分 12 分)已知数列 (1)判断数列 (2)如果 数列

?a n ?

是等差数列,

cn ? an

2

? a n ?1 n ? N
2

?

?

?

?c n ?

是否是等差数列,并说明理由;

a 1 ? a 3 ? ? ? a 25 ? 130 , a 2 ? a 4 ? ? ? a 26 ? 143 ? 13 k ? k 为常数

? ,试写出

?c n ?

的通项公式;

(3)在(2)的条件下,若数列

?c n ?

得前 n 项和为

S

n

,问是否存在这样的实数 k ,使

S

n

当且仅当 n ? 12 时取得最大值。若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由。

21.(本小题满分 13 分)如图,椭圆 C 1 :
C2 : y ? x
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0)

的离心率为

2 2

, x 轴被曲线

?b

截得的线段长等于 C 1 的短轴长。 C 2 与 y 轴的交点为 M ,过坐标原点 O 的直

线 l 与 C 2 相交于点 A、 B ,直线 M A , M B 分别与 C 1 相交于点 D 、 E y 。 (1)求 C 1 、 C 2 的方程; (2)求证: M A ? M B 。 (3)记 ? M A B , ? M D E 的面积分别为 S 1、 S 2 , 若
S1 S2 ? ?

A E O B D x M

,求 ? 的取值范围。

22. (本小题满分 13 分) 22.已知函数 f ( x ) ?
1 2 a x ? ( 2 a ? 1) x ? 2 ln x ,其中常数 a ? 0
2



(1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)如果函数 f ( x ), H ( x ), g ( x ) 在公共定义域 D 上,满足 f ( x ) ? H ( x ) ? g ( x ) ,那么就

称 H ( x ) 为 f ( x ) 与 g ( x ) 的“和谐函数” .设 g ( x ) ? x 2 ? 4 x ,求证:当 2 ? a ? 在区间 ( 0 , 2 ] 上,函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的“和谐函数”有无穷多个.

5 2

时,

答案解析 1.C 2.A 3. B 4. D 5. C 6. C 7.D 8.A.9.A 10. B 11.C 12.B 13. ? 2 ? a ? 4 . 17.解:
f (x) ? 3 s in x 4 cos x 4
3 2

14. 2

15. 48

16.

1 5

? cos

2

x 4

?

3 2

s in

x 2

?

1 2

cos

x 2

?

1 2

? ? 1 ? x ? s in ? ? ?? 6 ? 2 ? 2
2? 3

??2 分
,k ? ?

(I) 由已知 f ( ? ) ?

得 s in ?

?? ? 2

?

? ?

1 3 ? ?? 6 ? 2 2

,于是 ?

? 4k? ?



∴ cos(

2?

2? ? ? 2? ? ? ) ? cos ? ? 4k? ? ? ?1 3 3 ? ? 3

??6 分

(Ⅱ) 根据正弦定理知:

? 2 a ? c ? co s B

? b co s C ? ( 2 sin A ? sin C ) co s B ? sin B co s C
1 2 ? B ?

......8 分

? 2 s in A c o s B ? s in ( B ? C ) ? s in A ? c o s B ?
1? 2

?
3

∵ f ( A) ?

3

??10 分

∴ s in ?

? A ? 2

?

? ?

1 1? 3 A ? ? ? ? ? ? ?? 6 ? 2 2 2 6 3



2? 3

? A ?

?
3

或? 而 0

? A ?

2? 3



所以 A

?

?
3

,因此 ? ABC 为等边三角形.?????12 分

18.解:⑴设选出的 3 种商品中至少有一种是家电为事件 A,从 3 种服装、2 种家电、3 种日用品中,选出 3 种商品,一共有 C 8 种不同的选法??1 分,
3

选出的 3 种商品中,没有家电的选法有 C 6 种??2 分
3

所以,选出的 3 种商品中至少有一种是家电的概率为 P ( A ) ? 1 ?

C6 C8

3 3

?

9 14

??4 分

⑵设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量 ? , 其所有可能的取值为 0,m ,3 m , (单元:元)??5 分 6m 。

? ? 0 表示顾客在三次抽奖都没有获奖,所以 P ( ? ? 0 ) ? (1 ?

1 3

)

3

?

8 27

??6 分

同理, P ( ? ? m ) ? C 3 ? (1 ?
1

1 3

) ?
2

1 3

?

4 9

??7 分

P ( ? ? 3 m ) ? C 3 ? (1 ?
2

1

1 2 2 1 ??8 分 ) ?( ) ? 3 3 9

1 3 1 3 ??9 分 P (? ? 6 m ) ? C 3 ? ( ) ? 3 27

顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是
E (? ) ? 0 ? 4 3 8 27 ? m ? 4 9 ? 3m ? 2 9 ? 6m ? 1 27 ? 4 3 m ??10 分 2



m ? 100 ,解得 m ? 75 ??11 分

所以故 m 最高定为 75 元,才能使促销方案对商场有利??12 分。 19.证明: (Ⅰ)平行四边形 ABCD 中,AB=6,AD=10,BD=8, 沿直线 BD 将△BCD 翻折成△ B C ?D 可知 CD=6,BC’=BC=10,BD=8, 即 B C '2 ? C ' D 2 ? B D 2 , 故 C ' D ? B D . ??????2 分 ∵平面 B C ?D ⊥平面 A B D , 平面 B C ?D ? 平面 A B D = B D , C ?D ? 平面 B C ?D , ∴ C ?D ? 平面 A B D . ??????4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 C ?D ? 平面 ABD,且 C D ? B D , 如图,以 D 为原点,建立空间直角坐标系 D ? x y z . 则 D ( 0 , 0 , 0 ) , A (8, 6 , 0 ) , B (8, 0 , 0 ) , C '( 0 , 0 , 6 ) . ∵E 是线段 AD 的中点,
???? ∴ E ( 4 , 3, 0 ) , B D ? ( ? 8 , 0 , 0 ) . ??? ? ???? ? 在平面 B E C ? 中, B E ? ( ? 4 , 3, 0 ) , B C ' ? ( ? 8 , 0 , 6 ) ? 设平面 B E C ? 法向量为 n ? ( x , y , z ) , ??? ? ? ?BE ? n ? 0 ??4 x ? 3 y ? 0 ? ∴ ? ???? ? ,即 ? , ? ??8 y ? 6 z ? 0 ?BC '? n ? 0 ?

C?

B

C

A

E

D

??????5 分 z
C?



x B C

? n ? (3, 4 , 4 )

令x .

? 3 ,得 y ? 4 , z ? 4

,故 ??????8 分

A

E y

D

设直线 B D 与平面 B E C ? 所成角为 ? ,则
? ???? ? ???? | n ? BD | 3 41 ???? ? s in ? ? | c o s ? n , B D ? | ? ? 41 | n |?| BD |



??????8 分

∴ 直线 B D 与平面 B E C ? 所成角的正弦值为
3 41 41



??????9 分
?

(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面 B E C ? 的法向量为 n

? (3, 4 , 4 ) ???? ? 而平面 D B E 的法向量为 D C ? ? ( 0 , 0 , 6 ) ,





? ???? ? c o s ? n , C ?D ? ?

? ???? ? n ?C ?D 4 41 ? ???? ? ? 41 | n | ? | C ?D |



因为二面角 D ? B E ? C ? 为锐角, 所以二面角 D ? B E ? C ? 的余弦值为 20. 解: (1)设
{a n }
2

4

41 41



??????12 分

的公差为 d ,则
2 2 2

c n ?1 ? c n ? ( a n ?1 ? a n ? 2 ) ? ( a n ? a n ?1 ) ? 2 a n ?1 ? ( a n ?1 ? d )
2 2

? ( a n ?1 ? d )

2

? ?2d

2

? 数列 { c n } 是以 ? 2 d 为公差的等差数列????3
2

(2)

? a1 ? a 3 ? ? ? a 25 ? 1 3 0

a 2 ? a 4 ? ? ? a 26 ? 1 4 3 ? 1 3 k
? 两式相减: 1 3 d ? 1 3 ? 1 3 k

? d ? 1 ? k ????6 分
? 1 3 a1 ? 1 3 (1 3 ? 1) 2 ? 2d ? 130

a 1 ? ? 2 ? 12 k ????8 分
? a n ? a 1 ? ( n ? 1 ) d ? (1 ? k ) n ? (13 k ? 3 )
? c n ? a n ? a n ?1 ? ( a n ? a n ?1 ) ( a n ? a n ?1 )
2 2

? 26 k

2

? 32 k ? 6 ? ( 2 n ? 1 )( 1 ? k )
2 2

2

? ? 2 (1 ? k ) n ? 25 k

? 30 k ? 5 ????8

S (3)因为当且仅当 n ? 1 2 时 n 最大 ? 有 c1 2 ? 0 , c1 3 ? 0
2

????12 分
2



? ? 2 4 (1 ? k ) ? 2 5 k ? 3 0 k ? 5 ? 0 ?k ? 18k ? 19 ? 0 ? ? ? ? ? 2 2 2 ? ? 3 6 (1 ? k ) ? 2 5 k ? 3 0 k ? 5 ? 0 ?k ? 22k ? 21 ? 0 ? ?

? k ? 1或 k ? ? 1 9 ? ? ? k ? ? 1 9或 k ? 2 1 ? k ? 2 1或 k ? 1 ????12

21.(1) 又2

c a

?

2 2

?a

2

? 2b

2

(1 分)
2

b ? 2b

,得 b

? 1 ? C 2 : y ? x ? 1, C 1 :

x

2

? y

2

?1

(2 分)

2

(2)设直线 A B

? y ? kx 2 : y ? k x , A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 则 ? ? x ? kx ? 1 ? 0 2 ?y ? x ?1
2

(3 分)

???? ???? M A ? M B ? ( x 1 , y 1 ? 1) ? ( x 2 , y 2 ? 1) ? ( k

? 1) x 1 x 2 ? k ( x 1 ? x 2 ) ? 1

=0 (5 分)

? MA ? MB

(3)设直线 M A :

y ? k 1 x ? 1; M B : y ? k 2 x ? 1, k 1 k 2 ? ? 1

? y ? k1 x ? 1 ?x ? 0 ,解 得 ? 或 ? 2 ? y ? ?1 ?y ? x ?1
S1 ? 1 2 MA MB ? 1 2 1 ? k1
2

? x ? k1 ? 2 ? A ( k 1 , k 1 ? 1) ? 2 ? y ? k1 ? 1 ?
1 ? k 2 k1 k 2
2

,同理可得 B ( k 2 , k 2 2

? 1)

(8 分)

? y ? k1 x ? 1 ?x ? 0 ? ,解 得 ? 或 ? x2 2 ? y ?1 ? y ? ?1 ? ? 2

4 k1 ? x ? 2 ? 2 1 ? 2 k1 4 k1 2 k1 ? 1 ? ? D( , ) ? 2 2 2 1 ? 2 k1 1 ? 2 k1 ? y ? 2 k1 ? 1 2 ? 1 ? 2 k1 ?

同理可得 E (

4k2 1 ? 2k2
2

,

2k2 ? 1
2

1 ? 2k2

2

)

? S2 ?

1 2

MD ME ?

1 2

1 ? k1

2

1 ? k2

2

1 6 k1k 2 (1 ? 2 k 1 )(1 ? 2 k 2 )
2 2

(11 分)

S1 S2

? ? ?

(1 ? 2 k 1 )(1 ? 2 k 2 )
2 2

5 ? 2( ?

1 k1
2

? k1 )
2

?

9 16

(13 分)
( x ? 2 )( a x ? 1) x

16

16

22 解: (1)
a ? 0)

f '( x ) ? a x ? ( 2 a ? 1) x ?

2 x

?

a x ? ( 2 a ? 1) x ? 2
2

?

(x ? 0

,常数

x



f '( x ) ? 0

,则 x 1
1 a

? 2

, x2

?

1 a

???????????? 2 分

①当 0 ? a ?

1 2

时,

? 2


1 a

在区间 ( 0 , 2 ) 和 ( , ? ? ) 上, f ? ( x ) ? 0 ;在区间 ( 2 , ) 上 f ? ( x ) ? 0 ,
a

1

故 f ( x ) 的单调递增区间是 ( 0 , 2 ) 和 ( , ? ? ) ,单调递减区间是 ( 2 , ) ??? 3 分
a a

1

1

②当 a ? ③当 a ?

1 2 1 2

时, f ? ( x ) ? 时, 0 ?
1 a
1 a

(x ? 2) 2x

2

, 故 f ( x ) 的单调递增区间是 ( 0 , ? ? ) ???? 4 分

? 2


1 a
1 a

在区间 ( 0 , ) 和 ( 2 , ? ? ) 上, f ? ( x ) ? 0 ;在区间 ( , 2 ) 上 f ? ( x ) ? 0 , 故 f ( x ) 的单调递增区间是 ( 0 , ) 和 ( 2 , ? ? ) ,单调递减区间是 ( , 2 ) ??? 6 分
a
? ( 2 a ? 3) x ? 2 ln x
2

1

(2)令 h ( x )

? g ( x ) ? f ( x ) ? (1 ?
2 x

1 2

a) x

2

, x ? (0, 2 ]
? ( x ? 2 )[( 2 ? a ) x ? 1] x

h '( x ) ? ( 2 ? a ) x ? 2 a ? 3 ?

?

(2 ? a ) x ? (2 a ? 3) x ? 2 x

令 h '( x )

? 0

,则 x 1
5

? 2

, x2

?

1 a ? 2

???????????????8 分

因为 2 ? a ?

,所以 x 2 ? x1 ,且 2 ? a ? 0 2 从而在区间 ( 0 , 2 ] 上, h '( x ) ? 0 ,即 h ( x ) 在 ( 0 , 2 ] 上单调递减
5 2

?? 10 分

所以 h ( x ) m in ? h ( 2 ) ? 2 a ? 2 ? 2 ln 2 ?????????????? 11 分 又2 ? a ? ,所以 2 a ? 2 ? 2 ln 2
? 2 ? 2 ln 2 ? 0

,即 h ( x ) m in ? 0 ??? 12 分

设 H ( x ) ? f ( x ) ? ( 2 ? 2 ln 2 ) ? ( 0 ? ? ? 1) ,则 f ( x ) ? H ( x ) ? g ( x ) 所以在区间 ( 0 , 2 ] 上,函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的“和谐函数”有无穷多个? 13 分


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山东省莱芜市莱芜五中2013高三4月模拟文综试题

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