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2015届高考数学二轮全能考评:函数与导数综合题(2)(新人教A版)


二、函数与导数综合题 5.(理)(2014· 江西高考)已知函数 f(x)=(x2+bx+b) 1-2x(b∈R). (1)当 b=4 时,求 f(x)的极值; 1 0, ?上单调递增,求 b 的取值范围. (2)若 f(x)在区间? ? 3? -5x?x+2? 【解】 (1)当 b=4 时,f′(x)= ,由 f′(x)=0 得 x=-2 或 x=0. 1-2x 当 x∈(-∞

-2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当 x∈(-2,0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 1? 当 x∈? ?0,2?时,f′(x)<0,f(x)单调递减,故 f(x)在 x=-2 取极小值 f(-2)=0,在 x=0 取极 大值 f(0)=4. -x[5x+?3b-2?] (2)f′(x)= , 1-2x 1? 因为当 x∈? ?0,3?时, -x <0, 1-2x 1? 依题意当 x∈? ?0,3?时,有 5x+(3b-2)≤0, 5 从而 +(3b-2)≤0. 3 1? 所以 b 的取值范围为? ?-∞,9?. (文)(2014· 安徽高考)设函数 f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中 a>0. (1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (2)当 x∈[0,1]时,求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值. 【解】 (1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)=1+a-2x-3x2. -1- 令 f′(x)=0,得 x1= x2= -1+ 3 3 4+3a , 4+3a ,x1<x2, 所以 f′(x)=-3(x-x1)(x-x2). 当 x<x1 或 x>x2 时,f′(x)<0;当 x1<x<x2 时,f′(x)>0. 故 f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)内单调递减,在(x1,x2)内单调递增. (2)因为 a>0,所以 x1<0,x2>0. ①当 a≥4 时,x2≥1,由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增,所以 f(x)在 x=0 和 x=1 处分别 取得最小值和最大值. ②当 0<a<4 时,x2<1,由(1)知,f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减,所以 -1+ f(x)在 x=x2= 3 4+3a 处取得最大值. 又 f(0)=1,f(1)=a,所以当 0<a<1 时,f(x)在 x=1 处取得最小值; 当 a=1 时,f(x)在 x=0 处和 x=1 处同时取得最小值; 当 1<a<4 时,f(x)在 x=0 处取得最小值. 1-a 2 6.(2014· 全国新课标Ⅰ高考)设函数 f(x)=aln x+ x -bx(a≠1),曲线 y=f(x)在点(1, 2 f(1))处的切线斜率为 0. (1) 求 b; (2)若存在 x0≥1,使得 f(x0)< a ,求 a 的取值范围. a-1 a 【解】 (1)f′(x)= +(1-a)x-b. x 由题设知 f′(1)=0,解得 b=1. 1-a 2 (2)f(x)的定义域为(0,+∞),由(1)知,f(x)=aln x+ x -x, 2 1-a a a f′(x)= +(1-a)x-1= (x- )(x-1). x x 1-a 1 a ①若 a≤ ,则 ≤1,故当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)单调递增. 2 1-a 所以,存在 x0≥1,使得 f(x0)< 1-a a a 的充要条件为 f(1)< ,即 -1< ,解得 2 a-1 a-1 a-1 a - 2-1<a< 2-1. 1 a a

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