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高中数学选修4-4(人教B版)第一讲坐标系1.2知识点总结含同步练习题及答案


高中数学选修4-4(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第一讲 坐标系 二 极坐标系

一、知识清单
极坐标与极坐标方程

二、知识讲解
1.极坐标与极坐标方程 描述: 极坐标系 在平面上取一个定点O ,由O 点出发的一条射线Ox,一个长度单位及计算角度的正方向(通常取 逆时针方向),合称为一个极坐标系.O

点称为极点,Ox称为极轴.平面任一点M 的位置可以由 线段OM 的长度ρ 和从Ox到OM 的角度θ 来刻画.这两个数组成的有序对(ρ, θ)称为点M 的极坐 标.ρ 称为极径,θ 称为极角. 在极坐标系(ρ, θ)中,一般限定ρ ≥ 0.当ρ = 0时,就与极点重合,此时θ 不确定.给定点的极坐 标(ρ, θ),就唯一地确定了平面上的一个点.但是,平面上的一个点的极坐标并不是唯一的,它有 无穷多种表示形式.事实上,(ρ, θ)和(ρ, θ + 2kπ)代表同一个点,其中k 为整数.可见,平面上的 点与它的极坐标不是一一对应关系.这是极坐标与直角坐标的不同之处,如果限定ρ ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π,则除极点外,平面上的点就与它的极坐标系构成一一对应关系. ρ < 0,此时极坐标(ρ, θ)对应的点M 的位置按下面规则确定:点M 在与极轴成θ 角的射线的反向 延长线上,它到极点O 的距离为|ρ|,即规定当ρ < 0时,点M (ρ, θ)就是点M (?ρ, θ + π). 极坐标与直角坐标系的关系 设M 为平面上的一点,它的直角坐标系为(x, y),极坐标为(ρ, θ).则有{ x = ρ cos θ 或

? ρ2 = x 2 + y 2 ? ? tan θ = y (x ≠ 0) ,ρ < 0也成立. x

y = ρ sin θ

曲线的极坐标方程 在给定的平面上极坐标系下,有一个二元方程F (ρ, θ) = 0.如果曲线C 是由极坐标(ρ, θ)满足方程 的所有点组成的,则称此二元方程F (ρ, θ) = 0为曲线C 的极坐标方程. 圆心(a, 0)在极轴上且过极点的圆,其极坐标方程是ρ = 2a cos θ ;圆心在点(a, 圆,其极坐标方程是ρ = 2a sin θ,0 ≤ θ ≤ π.

π ) 处且过极点的 2

例题:

与极坐标 (?2, A.(2,

解:B. 根据极坐标 (ρ, 2kπ + θ) 和 (?ρ, 2kπ + π + θ)(k ∈ Z) 在极坐标系中表示同一个点的规律,检

7π ) 6

π ) ) 不表示同一个点的极坐标是( 6 7π 11π B.(2, ? C.(?2, ? ) ) 6 6 ) ( )

D.(?2,

13π ) 6

(

(ρ, 2kπ + θ) (?ρ, 2kπ + π + θ)(k ∈ Z) 7π π 验可知只有 (2, ? ) 和 (?2, ) 不是同一个点的极坐标. 6 6
把下列极坐标化为直角坐标:

5 3 5 π π) ;(2)N (2, π) ;(3)P (2, π) ;(4)Q (2, ? ). 6 2 4 6 5 5√3 √3 解:(1)由题意知 x = 5 cos π = 5 × (? , )=? 6 2 2 5 1 5 y = 5 sin π = 5 × = . 6 2 2 5√3 5 所以点 M 的直角坐标为 (? , ). 2 2 3 3 (2) x = 2 cos π = 2 × 0 = 0,y = 2 sin π = 2 × (?1) = ?2. 2 2 所以点 N 的直角坐标为 (0, ?2) .
(1)M (5, (3)x = 2 cos

 所以点 P 的直角坐标为 (?√2 , ?√2 ). (4)x = 2 cos (?

5 5 √2 √2 π = 2 × (? ) = ?√2 ,y = 2 sin π = 2 × (? ) = ?√2. 4 2 4 2

π π 1 √3 ) =2× = √3,y = 2 sin (? ) = 2 × (? ) = ?1. 6 2 6 2 所以点 Q 的直角坐标为 Q(√3 , ?1).
把下列点的直角坐标化为极坐标: (1)(1, 0);(2)(2, 2);(3)(?1, √3 ) . 解:(1)ρ = 1,θ = 0,故点 (1, 0) 的极坐标为 (1, 0).

(2)ρ = √2 2 + 2 2 = 2√2 ,tan θ = 1 ,由于点 (2, 2) 在第一象限,取 θ = 的极坐标为 (2√2 ,

? ? ? ? ? ?

π ). 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? √3 (3)ρ = √(?1)2 + (√3 )2 = 2 ,tan θ = = ?√3 ,由于点 (?1, √3 ) 在第二象限,取 ?1 2π 2π ,可得点 (?1, √3 ) 的极坐标为 (2, θ= ). 3 3
求下列直线的极坐标方程(下列点的坐标均为极坐标). (1)过点 (1, 0) 且垂直于极轴; (2)过点 (2,

π ,可得点 (2, 2) 4

π ) 且平行于极轴; 2 (3)过点 (1, 0) 且向上的方向与极轴正方向成 45? 角. 解:(1)设 (ρ, θ) 为所求直线上除点 (1, 0) 外的任意一点,根据三角函数知识可知 ρ cos θ = 1,点的坐标 (1, 0) 也适合上述方程,故 ρ cos θ = 1 为所求直线的极坐标方程. π (2)设 P (ρ, θ) 为所求直线上除点 (2, ) 外的任意一点,根据三角函数知识可知 2 π ρ sin θ = 2,点的坐标 (2, ) 也适合上述方程,故 ρ cos θ = 2 为所求直线的极坐标方程. 2 (3)由题点 (1, 0) 的直角坐标为 (1, 0),则可设 P (x, y) 为所求直线上除点 (1, 0) 外的任意一 点,又夹角为 45? ,所以直线斜率为 1 ,故直线的直角坐标方程为 x ? y ? 1 = 0,化为极坐标 为 ρ cos θ ? ρ sin θ ? 1 = 0.
在极坐标系中,直线 l 的方程为 ρ sin θ = 3,则点 (2,

π ) 到直线 l 的距离为______. 6

解:2 .

(

)

直线 l 的直角坐标方程为 y = 3,点 (2,

得点 (√3 , 1) 到直线 y = 3 的距离是 2 .

π ) 的直角坐标是 (√3 , 1) ,由点到直线的距离公式 6 π ) = 1 + √2 ,圆 C 的圆心是 4

在极坐标系中,已知直线 l 的极坐标方程为 ρ sin (θ +

C (√2 ,

π ) ,半径为 √2 . 4 (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长. π 解:(1)由圆心的极坐标 (√2 , ) ,得圆心的直角坐标为 (1, 1).因为圆的半径为 √2 ,故圆 4 π 的直角坐标方程为 (x ? 1)2 + (y ? 1)2 = 2,化为极坐标方程为 ρ = 2√2 sin (θ + ) . 4 π 故圆 C 的极坐标方程为 ρ = 2√2 sin (θ + ) . 4 (2)直线的直角坐标方程为 x + y ? √2 ? 2 = 0 .因为圆心的直角坐标为 (1, 1),所以圆心到 直线的距离为 1 .因为圆的半径为 √2 ,所以弦长为 2 .

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