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2010北京朝阳高三二模数学文(word版+答案+免费免点数)


王洪亮——北京高中数学辅导——邮箱 000whl777@163.com

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朝阳区 2009~2010 学年度高三年级第二学期统一考试(二)

数学学科测试(文史类)
(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分

2010.5

第 I 卷(选择题 共 40 分)
注意事项: 注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上。考试结束时,将试 题卷和答题卡一并交回。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号,不能答在试题卷上。 小题,每小题 个选项中,只有一项 一、选择题:本大题共 8 小题 每小题 5 分,共 40 分. 在每小题的 4 个选项中 只有一项 选择题 本 共 是符合题目要求的. 是符合题目要求的 (1)已知集合 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ,集合 A = {2, 3} ,集合 B = {3, 5} ,则 A I (? B) U 等于 (A) 2

{}

(B) 2, 3, 5

{

}

(C) 1, 4, 6

{

}

(D) 5

{}

(2)设 i 为虚数单位,则复数 z = (A)第一象限

2i 所对应的点位于 1? i
(C)第三象限 (D)第四象限
2

(B)第二象限
2

(3)过点 (4, 4) 引圆 ( x - 1) + ( y - 3) = 4 的切线,则切线长是 (A) 2 (B) 10

(C)

6

(D)

14

(4)一个正方体的所有顶点都在同一球面上,若球的体积是 (A)8 (B)6 (C)4

4 π ,则正方体的表面积是 3

(D)3

(5)某校共有学生 2000 名,各年级男、女学生人数如下表,已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到二年级女生的概率是 0.19,现用分层抽样的方法在全校学生中抽取 64 人,则应在 三年级抽取的学生人数为( ) 一年级 女生 男生 (A) 24 (B) 18 385 375 二年级 三年级

a
360 (C) 16

b c
(D) 12

王洪亮——北京高中数学辅导——邮箱 000whl777@163.com (6)函数 f ( x ) = x ? x +
3 2

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1 的图象大致是 2
y y y

y

O O x O x

x O 1 x

(A)

(B)

(C)

(D)

(7)一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是 (A) 112 (B) 80 (D) 64 (C) 72 3

4

正视图

侧视图

4 4 俯视图

(8)如图所示, f ( x ) 是定义在区间 [- c, c]( c > 0 )上的奇函数,令 g ( x ) = a f ( x ) + b , 并有关于函数 g ( x ) 的四个论断: ①对于 [- c, c] 内的任意实数 m, n ( m < n ) , ②若 b = 0 ,则函数 g ( x) 是奇函数; ③若 a ≥ 1 , b < 0 ,则方程 g ( x) = 0 必有 3 个实数根; ④若 a > 0 ,则 g ( x) 与 f ( x) 有相同的单调性. 其中正确的是( (A)②③ (C)①③ ) (B)①④ (D)②④
-2 -c -2

g ( n) - g ( m) > 0 恒成立; n- m
y
2

o

2

c

x

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第 II 卷(非选择题 共 110 分)
小题, 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 填空题: (9)函数 y = 2 cos 2 x 的值域是 .

(10)已知向量 a = (1, 2) , b = (- 3, 2) ,如果 ka + b 与 b 垂直,那么实数 k 的值 为 . 开 始

ì y ≥ 0, ? ? ? x , y 满足 í x - y - 1 ≥ 0, [来源: (11)设变量 ? ? 3x - 2 y - 6 ≤ 0, ? ? ?
学科网] 则该不等式组所表示的平面区域的面积等于 ; z = x + y 的最大值为 .

n=1,x=a n=n+1

n ≤ 4?
是 否 输出 x

x=2x+1

(12)若某程序框图如右图所示, 该程序运行后,输出的 x = 31 , 则 a 等于 .[来源:学。科。网]

结 束

(1 3)上海世博园中的世博轴是一条 1000 m 长的直线型通道,中国馆位于世博轴的一侧( 如下图所示). 现测得中国馆到世博轴两端的距离相等,并且从中国馆看世博轴两端的视 角为 120 . 据此数据计算,中国馆到世博轴其中一端的距离是
o

m.

B A 中国馆

· 120?
世博轴 C

若 , (14) 已知数列 {an } 为等差数列, a1 = a ,an = b( n ≥ 2 ,n ? N ) 则 an+ 1 =
*

*

nb - a . n- 1

类比等差数列的上述结论,对等比数列 {bn } ( bn > 0 , n ? N ) ,若 b1 = c , bn = d (n≥3,n? N ) ,则可以得到 bn+ 1 =
*

.

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解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 解答题 本大题共 小题, (15)(本题满分 13 分) 设函数 f ( x ) = 2 sin x cos x ? cos(2 x ? (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)当 x ∈ [0,

π
6

).

2π ] 时,求函数 f ( x) 的最大值及取得最大值时的 x 的值. 3

(16) (本题满分 1 3 分) 某运动员进行 20 次射击练习,记录了他射击的有关数据,得到下表:[来源:学_科_ 网 Z_X_X_K] 环数 命中次数 7 2 8 7 9 8 10 3

(Ⅰ)求此运动员射击的环数的平均数; (Ⅱ)若将表中某一环数所对应的命中次数作为一个结果,在四个结果(2 次、7 次、8 次、3 次)中,随机取 2 个不同的结果作为基本事件进行研究,记这两个结果分别 为 m 次、 n 次,每个基本事件为(m,n). 求“ m + n ≥ 10 ”的概率.

[来源:学.科.网] (17) (本题满分 13 分) 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,其他四个侧面都是等边三角形, AC 与 BD 的交点为 O. (Ⅰ)求证: SO ⊥ 平面 ABCD ; (Ⅱ)已知 E 为侧棱 SC 上一个动点. 试问对于 SC 上任意一点 E ,平面 BDE 与平面

SAC 是否垂直?若垂直,请加以证明;若不垂直,请 说明理由.
S

E D O A B C

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(18) (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) = ln x +

ax 2 ? (a + 1) x , a ∈ R ,且 a ≥ 0 . 2

(Ⅰ)若 f ′(2) = 1 ,求 a 的值; (Ⅱ)当 a = 0 时,求函数 f ( x ) 的最大值; (Ⅲ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间.

(19) (本题满分 13 分) 已知椭圆 M :

x2 y 2 + = 1 (a > b > 0) 的左右焦点分别 为 F1 (?2, 0) , F2 (2, 0) .在椭 a 2 b2

圆 M 中有一内接三角形 ABC ,其顶点 C 的坐 标 ( 3,1) , AB 所在直线的斜率为
y

3 . 3

(Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)当 ?ABC 的面积最大时,求直线 AB 的方程.
A

B C

· F1

O

· F2

x

20. (本题满分 14 分) 已知 {an } 是递增数列,其前 n 项和为 S n , a1 > 1 ,且 10S n = (2an + 1)(an + 2) ,n ∈ N .
*

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项 an ; (Ⅱ)是否存在 m, n, k ∈ N ,使得 2(am + an ) = ak 成立?若存在,写出一组符合条件的
*

m, n, k 的值;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)设 bn = an ?

n?3 * ,若对于任意的 n ∈ N ,不等式 2

5m 1 1 1 1 恒成立,求正整数 m 的最大值. ≤ (1 + )(1 + ) L (1 + ) ? 31 b1 b2 bn 2n + 3

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(考生务必将所有题目的答案答在答题卡上,在试卷上作答无效) 考生务必将所有题目的答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

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朝阳区 2009~2010 学年度高三年级第二学期统一考试(二)

数学学科测试答案 (文史类)
一、选择题:本大题共 8 小题 每小题 5 分,共 40 分. 选择题 本大题共 小题,每小题 共 1 A 2 B 3 C 4 A 5 C 6 A 7 B

2010.5

8 D

小题, 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 填空题: 9 10 11 12 7 1 13 14
n ?1

[ 0,2]

?13

3 2

1000 3 3

dn c

小题, 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答题: 15.解: (Ⅰ)因为 f ( x ) = 2 sin x cos x ? cos(2 x ?

π
6

)

= sin 2 x ? (cos 2 x cos

π

+ sin 2 x sin ) 6 6

π

1 3 = sin 2 x ? cos 2 x 2 2 = sin(2 x ? ) , 3
所以 f ( x ) = sin(2 x ?

π

π

3

).

函数 f ( x ) 的最小正周期为 π . ………………………………………………7 分 (Ⅱ)因为 x ∈ [0,

2π π ? π ? ] ,所以 2 x ? ∈ ? ? , π ? . 3 3 ? 3 ? π π 5π 所以,当 2 x ? = ,即 x = 时 3 2 12 函数 f ( x ) 的最大值为 1. ………………………………13 分

16. 解 : Ⅰ ) 此 运 动 员 射 击 的 总 次 数 为 2+7+8+3=20 次 , 射 击 的 总 环 数 为 ( 2 × 7 + 7 × 8 + 8 × 9 + 3 × 10 = 172 (环). 所以此运动员射击的平均环数为

172 = 8.6 (环). …………………………………6 分 20

(Ⅱ)依题意,用 (m, n) 的形式列出所有基本事件为 (2,7)(2,8)(2,3)(7,8)(3,8)(3,7)(7,2)(8,2)(3,2) , , , , , , , , , (8,7)(8,3) , (7,3)所以基本事件总数为 12. , , 设满足条件“ m + n ≥ 10 ”的事件为 A,则事件 A 包含的基本事件为(2,8)(7,8)

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(3,8)(3,7)(8,2)(8,7)(8,3)(7,3)总数为 8 ,所以 P ( A) = , , , , , 答:满足条件“ m + n ≥ 10 ”的概率为 .

8 2 = . 12 3

2 3

………………………………………13 分

17. 解:证明: (Ⅰ)因为四边形 ABCD 是正方形, AC I BD = O , 所以 O 是 AC , BD 中点. 由已知, SA = SC , SB = SD , 所以 SO ⊥ AC , SO ⊥ BD , 又 AC I BD = O , 所以 SO ⊥ 平面 ABCD . ………………………………………………6 分

(Ⅱ)对于 SC 上任意一点 E ,平面 BDE ⊥ 平面 SAC . 证明如下:由(Ⅰ)知 SO ⊥ 面ABCD ,[来源:学科网] 而 BD ? 面ABCD ,所以 SO ⊥ BD . 又因为四边形 ABCD 是正方形,所以 AC ⊥ BD . 因为 AC I SO = O ,所以 BD ⊥ 面SAC . 又因为 BD ? 面BDE ,所以平面 BDE ⊥ 平面 SAC .………………………13 分 18.解: (Ⅰ)函数的定义域为 (0, +∞ ) , f ′( x ) = 由 f ′(2) = 1 ,解得 a =

1 + ax ? (a + 1) . x

3 . ……………………………………………………3 分 2 1 1? x (Ⅱ)由 f ( x ) = ln x ? x ,得 f ′( x ) = ? 1 = . x x 1? x 1? x 由 f ′( x ) = > 0 ,解得 0 < x < 1 ;由 f ′( x) = < 0 ,解得 x > 1 . x x
所以函数 f ( x ) 在区间 (0, 1) 递增, (1, + ∞) 递减. 因为 x = 1 是 f ( x ) 在 (0, +  ) 上唯一一个极值点, 故当 x = 1 时,函数 f ( x ) 取得最大值,最大值 为 f (1) = ?1 .…………………7 分 (Ⅲ)因为 f ′( x ) =

1 ax 2 ? (a + 1) x + 1 (ax ? 1)( x ? 1) + ax ? (a + 1) = = x x x

王洪亮——北京高中数学辅导——邮箱 000whl777@163.com (1)当 a = 0 时, f ′( x ) = (2) a > 0 时,

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1? x 1? x .令 f ′( x ) = > 0 解得 0 < x < 1 x x

(ax ? 1)( x ? 1) 1 = 0 ,解得 x = 或 x = 1 . x a 1 (ⅰ)当 > 1 即 0 < a < 1 时, a
令 由

ax 2 ? (a + 1) x + 1 > 0 ,及 x > 0 得 ax 2 ? (a + 1) x + 1 > 0 , x 1 ; a

解得 0 < x < 1 ,或 x > (ⅱ)当

1 = 1 即 a = 1 时, a x 2 ? 2 x + 1 ( x ? 1) 2 = ≥ 0 恒成立. x x

因为 x > 0 , f ′( x) =

(ⅲ) 当

1 ax 2 ? (a + 1) x + 1 < 1 即 a > 1 时, 由 > 0 , x > 0 得 ax 2 ? (a + 1) x + 1 > 0 , 及 a x 1 ,或 x > 1 ; a

解得 0 < x < 综上所述,

当 a = 0 时,函数 f ( x ) 的递增区间是 (0, 1) ; 当 0 < a < 1 时,函数 f ( x ) 的递增区间是 (0, 1) , ( , + ∞) ; 当 a = 1 时,函数 f ( x ) 的递增区间是 (0, + ∞) ; 当 a > 1 时,函数 f ( x ) 的递增区间是 (0,

1 a

1 ) , (1, + ∞) .……………………14 分 a

19.解: (Ⅰ)由椭圆的定义知 2a =
2 2 2 2

(?2 ? 3) 2 + 1 + (2 ? 3) 2 + 1 .

解得 a = 6 ,所以 b = a ? c = 2 .

所以椭圆 M 的方程为

x2 y 2 + = 1 .………………………………………………4 分 6 2

(Ⅱ)由题意设直线 AB 的方程为 y =

3 x+m, 3

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? x2 y2 + = 1, ? ? 6 2 2 2 由? 得 2 x + 2 3mx + 3m ? 6 = 0 . ? y = 3 x + m, ? 3 ?
因为直线 AB 与椭圆 M 交于不同的两点 A, B ,且点 C 不在直线 AB 上,

?? = 12m 2 ? 24(m 2 ? 2) > 0, ? 所以 ? 解得 ?2 < m < 2 ,且 m ≠ 0 . 3 1≠ ? 3 + m. ? 3 ?
设 A, B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , 则 x1 + x2 = ? 3m , x1 x2 =

3m 2 ? 6 3 3 , y1 = x1 + m , y2 = x2 + m . 2 3 3

所以 | AB |=

( x2 ? x1 )2 + ( y2 ? y1 )2 =

4 [( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] = 2 4 ? m 2 . 3

点 C ( 3, 1) 到直线 y =

3 3|m| x + m 的距离 d = . 3 2 1 3 3 m 2 + (4 ? m2 ) ? = 3, | AB | ?d = | m | ? 4 ? m2 ≤ 2 2 2 2

于是 ?ABC 的面积 S = 当且仅当 | m |=

4 ? m 2 ,即 m = ± 2 时 = ” “ 成立. 3 x± 2. 3

所以 m = ± 2 时 ?ABC 的面积最大,此时直线 AB 的方程为 y =

即为 x ? 3 y ± 6 = 0 .……………………………………………………………13 分 20.解: (Ⅰ) 10a1 = (2a1 + 1)( a1 + 2) ,得 2a1 ? 5a1 + 2 = 0 ,解得 a1 = 2 ,或 a1 =
2

1 . 2

由于 a1 > 1 ,所以 a1 = 2 . 因为 10 S n = (2an + 1)( an + 3) ,所以 10 S n = 2an + 5an + 2 .
2

故 10an +1 = 10 S n +1 ? 10 S n = 2an +1 + 5an +1 + 2 ? 2an ? 5an ? 2 ,
2 2

整理,得 2( an +1 ? an ) ? 5( an +1 + an ) = 0 ,即 ( an +1 + an )[2( an +1 ? an ) ? 5] = 0 .
2 2

因为 {an } 是递增数列,且 a1 = 2 ,故 an +1 + an ≠ 0 ,因此 an +1 ? an =

5 .[来源:学。科。 2

王洪亮——北京高中数学辅导——邮箱 000whl777@163.com 网] 则数列 {an } 是以 2 为首项, 所以 an = 2 +

11 / 12

5 为公差的等差数列. 2

5 1 (n ? 1) = (5n ? 1) .………………………………………………5 分 2 2

(Ⅱ)满足条件的正整数 m, n, k 不存在,证明如下: 假设存在 m, n, k ∈ N ,使得 2(am + an ) = ak ,
*

则 5m ? 1 + 5n ? 1 =

1 (5k ? 1) . 2 3 整理,得 2m + 2n ? k = , ① 5
显然,左边为整数,所以①式不成立. 故满足条件的正整数 m, n, k 不存在. ……………………8 分

[来源:学科网] (Ⅲ) bn = an ?

n ?3 1 n?3 = (5n ? 1) ? = 2n + 1 ,[来源:学科网] 2 2 2

不等式

5m 1 1 1 1 可转化为 ≤ (1 + )(1 + ) L (1 + ) ? 31 b1 b2 bn 2n + 3

1 5 m b1 + 1 b2 + 1 b3 + 1 bn + 1 ≤ ? ? L ? 31 b1 b2 b3 bn 2n + 3

=

4 6 8 2n + 2 1 ? ? ?L ? ? . 3 5 7 2 n + 1 2n + 3 4 6 8 2n + 2 1 ? ? ?L ? ? , 3 5 7 2n + 1 2 n + 3

设 f ( n) =

4 6 8 2 n + 2 2n + 4 1 ? ? ?L ? ? f (n + 1) 3 5 7 2n + 1 2n + 3 2n + 5 则 = 4 6 8 2n + 2 1 f ( n) ? ? ?L ? ? 3 5 7 2n + 1 2 n + 3
=
=

2n + 4 2n + 3 2n + 4 ? = 2n + 3 2n + 5 (2n + 3)(2n + 5)
2n + 4 4n + 16n + 15
2

>

2n + 4 4n + 16n + 16
2

=

2n + 4 (2n + 4)
2

=

2n + 4 = 1. 2n + 4

所以 f (n + 1) > f (n) ,即当 n 增大时, f (n) 也增大.

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要使不等式

5m 1 1 1 1 * 对于任意的 n ∈ N 恒成立,只 ≤ (1 + )(1 + ) L (1 + ) ? 31 b1 b2 bn 2n + 3



5m ≤ f ( n) min 即可. 31

因为 f ( n) min = f (1) = 即m≤

4 1 4 5 5m 4 5 ? = ,所以 ≤ . 3 5 15 31 15

4 × 31 124 4 = =8 . 15 15 15 所以,正整数 m 的最大值为 8.

………………………………………14 分


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