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高一数学第1讲-集合


第1讲

集合

课时数量 适用的学生水平

2 课时(120 分钟) ?优秀 √ ?中等 ?基础较差

能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不 同的具体问题,感受集合语言的意义和作用. 理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个集合的并集与交集. 教学目标(考试要求) 理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. 能使用 Venn 图表达集合的关系及运算, 体会直观图示对理解抽象概 念的作用 重点:基本概念、典型方法与模型 教学重点、难点 难点:综合应用 建议教学方法 讲练结合

教学内容
一、知识梳理
资 料 元素与集合: 把一些能够确定的不同的对象看作一个整体,就说这个整体是由这些对象的 全体构成的集合(或集) .构成集合的每个对象叫做这个集合的元素. 集合与元素的关系: 如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A,记作 a∈A; 如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于集合 A,记作 a ? A. 空集:不含任何元素的集合叫做空集,记为 ? . 常用数集的符号:自然数集 N,正整数集 N+ 或 N ,整数集 Z,有理数集 Q,
目前集合论的基本思
*

集合是现代数学 的基本概念,专门研 究集合的理论叫做集 合论。康托(Cantor, G.F.P.,1845 年—1918 年,德国数学家先驱, 是集合论的创始者,

实数集 R.
想已经渗透到现代数

列举法:将元素一一列出并用花括号括起来表示集合.
学的所有领域。

描述法:用集合所含元素的特征性质描述集合. x ? I p( x) 表示集合 A 是 由集合 I 中具有性质 p ( x) 的所有元素构成的. 子集:如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素,我们称集合 A 为 集合 B 的子集,记作 A ? B,读作 A 含于 B.空集是任何一个集合的子集. 真子集:如果集合 A ? B,但存在元素 x∈B,且 x ? A,我们称集合 A 为集 合 B 的真子集,记作 A B. ? ? 提 示
交、并、补是 集合的基本运算, 其中交、并两种运 算满足交换律,结 合律,分配律。交、 并、补运算满足德. 摩根律、吸收律、 互补律等,可利用 Venn 图推导。

?

?

集合的相等:如果构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相 等的.集合 A 与集合 B 是相等的,记作 A=B. 集合关系与其特征性质之间的关系:设 A = x p( x) ,B= x q( x) . 如果 A ? B,则 p( x) ? q( x) . 如果 p( x) ? q( x) ,则 A ? B. 交集:由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为集合 A 与 B 的交集,记作:A∩B,读作:A 交 B. 并集: 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合, 称为集合 A 与 B 的并集,记作:A∪ B,读作:A 并 B. 补集:对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合, 叫做集合 A 在全集 U 中的补集,记作: ?UA,读作:A 在 U 中的补集.

?

?

?

?

二、方法归纳
1.解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要 ? ? 提 示
解题的关键是 读懂描述法表示集 合的含义

素;对于用描述法给出的集合 x p( x) ,要紧紧抓住竖线前面的代表元素 x 以及 它所具有的性质 p ( x) ;在读懂集合的基础上尽可能化简集合,化难为易,化隐为 显是常用技巧;要重视发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题. 2.注意空集 ? 的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集 的可能性,如 A ? B,则有 A= ? 或 A≠ ? 两种可能,此时应分类讨论. 3.数集的运算往往用数轴法. 4.用 Card(A)表示有限集 A 的元素个数, 则由 A ? B,可得 Card(A)≤Card(B) ; 由 A=B,可得 Card(A)=Card(B) ;Card( ? )=0. 5.容斥原理:card(A ∪ B)=card(A) + card(B) - card(A∩B) card(A ∪ B ∪ C)=card(A) + card(B) + card(C) - card(A∩B) - card(B∩C) - card(C∩A) + card(A∩B∩C)

?

?

资 料 Venn 图,即维
恩图,也叫文氏图, 用于显示元素集合重 叠区域的图示。1880 年,维恩(Venn)在 《论命题和推理的图 表化和机械化表现》 一文中首次采用固定 位置的交叉环形式再 加上阴影来表示逻辑 问题。

6.n 个元素的集合所有子集个数为 2n,所有真子集个数为 2n-1.

三、典型例题精讲
[例 1]已知集合 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7}, B={3,4,5},则(?UA)∪(?UB)等于( A.{1,2,3} B.{4,5} ) C.{2,3,4,5,7} D.{1,2,3,6,7}

解析:∵?UA={1,3,6},?UB={1,2,6,7}. ∴(?UA)∪(?UB)={1,3,6}∪{1,2,6,7}={1,2,3,6,7},故选 D. 【技巧提示】 这里是给出已知集合的运算表达式,要求选择运算结果,需要 我们按照运算规则进行运算;另一类是给出已知集合的运算结果,要求选择表达 式,就需要我们逆向思维,往往采取逐一验算的方法. . 又例 设全集 U={1,2,3,4,5,6,7},集合 A={1,3,5,7}, 集合 B={3,5},则( A.U=A∪ B C.U=(?U A)∪ (?U B) 答案:D 再例 (2011 江西文科卷)若全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6}, M ? {2,3}, N ? {1, 4} ,则 集合 {5, 6} 等于( A. M ? N 答案:D [例 2](2009 广东文科卷)已知全集 U=R,则正确表示集合 M={-1,0,1}和 N={x | x2+x=0}关系的韦恩(Venn)图是 ( ) ) C. ?Cn M ? ? ?Cn N ? D. ?Cn M ? ? ?Cn N ? ) B .U=(?U A)∪ B D.U=A∪ (?U B)

B. M ? N

解析:∵N={0,-1}, M={-1,0,1}, ∴N M?U.

答案:B 【技巧提示】 集合中图形语言具有直观形象的特点,将集合问题图形化,利 用 Venn 图的直观性,可以深刻理解集合有关概念、运算公式,而且有助于显示集 合间的关系.当然,本题中只要将集合 N={x | x2+x=0}用描述法表示,问题就 迎刃而解. 又例 设 U={n | n 是小于 9 的正整数},A={n∈U | n 是奇数}, B={n∈U | n 是 3 的倍数},则?U(A∪B)=________. 解析:本题主要考查考生对集合的表示方法与意义的理解、交集、并集及补 集的含义.依题意得 U={1,,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={3, 6},A∪B={1,3,5,6,7},?U(A∪B)={2,4,8}. 答案:{2,4,8} [例 3]集合 A={x | x=2n+1,n∈Z},B={x | x=4k±1,k∈Z},则 A 和 ? ? 提 示
集合作为数学语

B 的关系为 A.A

( B

) B.A B C.A=B D.以上结论都不对

言,具有一种独特的 语言美.要引导学生 欣赏集合的抽象性、 概括性、逻辑性、形 式多样性和应用的广 泛性.

解析:方法一:∵2n+1(x∈Z)表示奇数,对 n 分类讨论. 当 n=2k(k∈Z)时,2n+1=4k+1; 当 n=2k-1(k∈Z)时,2n+1=4k-1. 则 A=B. 选 C. 方法二:取 x0∈A,则 x0=2n+1(n∈Z). 当 n=2m(m∈Z) 时,x0=4m+1∈B; 当 n=2m-1(m∈Z)时,x0=4m-1∈B. ∴A?B. 取 x1∈B,则 x1=4k±1. 令 n=2k,则 4k+1=2n+1∈A; 令 n=2k-1,则 4k-1=2n+1∈A.∴x1∈A. ∴B?A. 综上,有 A=B,选 C. 方法三:在数轴上,分别标出 2n+1 和 4k±1 所表示的点,可以看出它们都对应 数轴上的奇数, 故 A=B,选 C.

方法四:按余数分类,被 2 除余 1 的整数是奇数 2n+1(n∈Z), 被 4 除余 1 或 3(即-1)的整数也是全体奇数,∴选 C. [答案] C

【技巧提示】 同一个集合会有多种表示法,需要我们把握本质属性,相互转 换. 又例 与集合{x|x=2m-3,m∈ Z}相等的集合是( A. {x|x=6-4m,m∈ Z} C. {x|x=4m± 1,m∈ Z} B. {m| )

2m ? 3 ∈ Z} 2

D. {x|x=2m,m∈ Z}

解析:其实{x|x=2m-3,m∈Z}就是全体奇数组成的集合,答案 C 所给 集合{x|x=4m± 1,m∈Z}也是全体奇数组成的集合,故选 C [例 4] (2011 年辽宁理科卷)已知 M,N 为集合 I 的非空真子集,且 M,N 不相等,若 N ? ?IM= ? ,则 M ? N = A.M B. N C.I D. ?

解析:方法一:∵ N ? ?IM= ? ,又 M,N 为集合 I 的非空真子, ∴ N ? M ? N .即 M ? N ? M ,故选 A 方法二:由题意作出 Venn 图,先作 M,后作 N; 或者先作 N,后作 M;均能得到 N M , 即 M ? N ? M ,故选 A 【技巧提示】 本题考查抽象集合的关系及运算.这类题在高考中频繁出现. 又例 (2006 江苏卷)若 A、 B、 C 为三个集合, A∪B=B∩C, 则一定有 ( B.C ? A C.A≠C D.A= ? ) I N M

A.A ? C

解析:方法一:利用 Venn 图 故选 A. 方法二:特值淘汰法 令 A={1,2},B={1,2,3},C={1,2,3,4},满足 A∪B=B∩C,否定 B,D, 当 A=B=C={1,2}时,否定 C,故选 A. 方法三:∵A?(A∪B),(B∩C)?C,又∵A∪B=B∩C,∴A?C,故选 A. 答案:A

[例 5] (2010 江西理数) 若集合 A ? {x | x ? 1, x ? R} , B ? { y | y ? x 2 , x ? R} , ? ? 提 示
认识集合,要关

则 A? B ?( A.

) B.

注代表元素,如

?x | ?1 ? x ? 1?

?x | x ? 0?

C.

?x | 0 ? x ? 1?

D. ?

{y | y ? x2 , x ? R} , {( x, y) | y ? x2 , x ? R}
具有绝然不同的元 素.

解析: ∵ A ? {x | ?1 ? x ? 1} , B ? { y | y ? 0}, ∴ A

B={x|0 ? x ? 1} , 故选 C.

【技巧提示】 用不等式给出的数集,需要将不等式化简; 集合 B ? { y | y ? x 2 , x ? R} 是 y ? x 2 中的 y 的取值范围.读懂并化简用描述法 给出的集合,然后进行运算就方便了.在运算中采用借助数轴或特值检验,都能 顺利完成. 又例 (2010 安徽文数) 若 A= ?x | x ?1 ? 0? , B= ?x | x ? 3 ? 0? , 则A (A)(-1,+∞) (B)(-∞,3) (C)(-1,3) (D)(1,3)

B=

解析:∵ A ? (-1,??), B ? (-?,3) ,∴ A

B ? (?1,3) ,故选 C.

M ? {a} , [例 6] (2011 年北京理数) 已知集合 P ? {x | x 2 ? 1} , 若P?M ? P,
则 a 的取值范围是( A.(-∞, -1] ) C.[-1,1] D.(-∞,-1] ∪[1,+∞)

B.[1, +∞)

解析:∵ P ? M ? P ,即 M ? P , 又 ∵ P ? {x | x 2 ? 1} = {x | ?1 ? x ? 1} ∴

a 的取值范围是: ? 1 ? a ? 1 .

【技巧提示】 一个集合固定,另一个集合随某个参数变化,当两个集合满足某 个特定关系时,求参数的取值范围.解决这类题多在数轴上考虑,比较直观. 又例 (2009 年上海卷 ) 已知集合 A ? {x | x ? 1} , B ? {x | x ? a} ,且

A ? B ? R ,则实数 a 的取值范围是________.
解析:∵ 答案: a ≤1 再例 ________. 解析:这里 A , B 都随 x 的变化而变化,由 A ? B ? A 知 B ? A , 由 x ? 3 ? 2 x ,或 x ? 3 ,
2 2

A ? (??,1] , B ? [a,??) ,要使 A ? B ? R ,只需 a ≤1.

若集合 A ? ?3 ? 2 x,1,3? , B ? 1, x

? ?,且 A ? B ? A ,则实数 x =
2

解得 x = ? 3 , x =-3, x =1(舍去).

∴ 答案: ? 3 或-3

[例 7]向 50 名学生调查对 A 、 B 两事件的态度,有如下结果:赞成 A 的人数 是全体的五分之三, 其余的不赞成, 赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人, 其余的不赞成; 另外,对 A 、 B 都不赞成的学生数比对 A 、 B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人.问对 A 、 B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人? 解析:赞成 A 的人数为 50×

3 =30,赞成 B 的人数为 30+3=33,如上图,记 50 5

名学生组成的集合为 U,赞成事件 A 的学生全体为集合 A ;赞成事件 B 的学生全 体为集合 B . 设对事件 A 、B 都赞成的学生人数为 x,则对 A 、B 都不赞成的学生人数为 +1,赞成 A 而不赞成 B 的人数为 30-x,赞成 B 而不赞成 A 的人数为 33-x. 依题意(30-x)+(33-x)+x+(

x 3

x +1)=50,解得 x=21. 3

所以对 A 、 B 都赞成的同学有 21 人,都不赞成的有 8 人. 【技巧提示】 画出 Venn 图,形象地表示出各数量关系间的联系.

四、课后训练
1.下列对象不能确定一个集合的是( ) A.所有的无理数 C.高一《数学》课本中的难题 2.下列说法错误的是( ) A.集合{ x | x <5, x ∈ N* }有 5 个元素 B.集合{ x ∈ Q| x 2-5=0}是空集 C.集合{ y | y <5, y ∈ Z }是无限集 D.集合{ y | y =-2k+8,k∈ Z}是偶数集 3.整数 2011 不属于 下列四个集合中的( ... A. { x | x =-10t+1,t∈ Z} C. { x | x =4t-1,t∈ Z} ) B. { x | x =-2t+1,t∈ N} D. { x | x =5t+1,t∈ N} B.方程 x 2+1=0 的实数解 D.宇宙中的恒星

4.下列结论正确的是( ) A.集合{ y |2≤ y ≤6, y ∈ Z}的元素个数是 4 B.集合{0,1}的真子集个数是 4 C.满足{0,1} ? B ? {0,1,2,3}的集合B的个数是 4 D.满足{0,1} ? B ? {0,1,2}的集合B的个数是 4 5. (2010 年山东文科卷)集合 A={0,2, a },B={1, a 2}, 若 A∪B={0,1,2,4,16},则 a 的值为( A.0 B.1 C.2 ) D.4

6.设全集 U={1,3,5,7},集合 M={1,|a-5|},M ? U, CU M={5,7},则 实数 a 的值为( A.2 或-8 ) B.-8 或-2 C.-2 或 8 D.2 或 8 )

7. (2010 福建文数) 若集合 A=?x|1 ? x ? 3? , 则 A ? B 等于 ( B=?x|x>2? , A. ?x|2<x ? 3? B. ?x|x ? 1? C. ?x|2 ? x<3? D. ?x|x>2?

8. (2010 年重庆文科卷) 设 A ? ?x | x ? 1 ? 0? , B ? ?x | x ? 0? , 则A

B =_______

9. (2011 年山东文科卷)设集合 M ? x ( x ? 3)(x ? 2) ? 0 , N ? x 1 ? x ? 3 , 则M ? N = A. ?1,2? B. ?1,2? C. ?2,3? D. ?2,3?

?

?

?

?

10. (2011 年上海理科卷)若全集 U ? R ,集合 A ? {x x ? 1} {x | x ? 0} , 则 ?UA= .

11. (2009 年江西卷)50 名学生参加甲、乙两项体育活动,每人至少参加了一项, 参加甲项的学生有 30 名,参加乙项的学生有 25 名,则仅参加了一项活动的学生 人数为( A.50 ) B.45 C.40 D.34

五、参考答案
1.C 2.A 3.B 4.C 5.解析:∵ A∪B={0,1,2,a,a2},又 A∪B={0,1,2,4,16}, ∴{a,a2}={4,16},∴a=4,故选 D. 6.解析:由题意,|a-5|=3, ∴ a =8 或 a =2.故选 D. 7.A. 8. x ? 1 ? x ? 0

?

?

9.A.

10. ?0,1?

11.解析:记参加甲、乙项体育活动的学生组成的集合分别为 A、B,则依题意有 card(A∪B)=50,card(A)=30,card(B)=25,card(A∩B)=30+25-50=5,于是只 参加了一项活动的学生人数是(30-5)+(25-5)=45,选 B.


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