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2015-2016学年江苏省泰州中学高三(上)期中数学试卷


2015-2016 学年江苏省泰州中学高三(上)期中数学试卷
一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应位置 上. 1.(★★★★)设全集 U=R,若集合 A={1,2,3,4},B={x|2≤x≤3},则 A∩B= {2,3} .

2.(★★★★)sin20ocos10o+cos20osin10o

=



3.(★★★★)设 x∈R,则“|x-2|<1”是“x +x-2>0”的 必要、必要不充分、充要条件、既不充分也不必要)

2

充分不必要

条件. (填充分不

4.(★★★★)方程 log 2(3x+2)=1+log 2(x+2)的解为

2



5.(★★★)已知数列{a n}是递增的等比数列,a 1+a 4=9,a 2a 3=8,则 a 6 的值等于 32 .

6.(★★★★)曲线 y=2x-lnx 在点(1,2)处的切线方程是

x-y+1=0



7.(★★★★)设函数

,则 f(f(-1) )的值是

-16



8.(★★★★)设函数 f(x)=cosωx(ω>0) ,将 y=f(x)的图象向右平移 所得的图象与原图象重合,则 ω 的最小值等于 6 .

个单位长度后,

9.(★★★★)已知 sin(α-45o)=-

,且 0o<α<90o,则 cos2α 的值为



10.(★★★)已知△ ABC 的一个内角为 120o,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ ABC 的面积为 15 .

11.(★★★)已知方程 x -ax+2=0(a 为实数)有且仅有一个实根,则 a 的取值范围是

3

(-∞,3)



12.(★★)已知数列{a n}满足 a 7},则 a 1= -2 或- 或 79

n+1

=qa n+2q-2(q 为常数) ,若 a 3,a 4,a 5∈{-5,-2,-1,



13.(★★)已知平行四边形 ABCD 中,AB=2,AD=1,∠DAB=60o,点 E,F 分别在线段 BC,DC 上运动,设 ,则 的最小值是 .

14.(★★)已知函数 y=f(x)是定义域为 R 的偶函数. 当 x≥0 时,f(x)=

,若关于 x 的方程 f(x) +af(x)+b=0,a,b∈R 有且仅有 6 个不

2

同实数根,则实数 a 的取值范围是

(- ,- )∪(- ,-1)



二、解答题:本大题共 10 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要 的文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(★★★)如图已知四边形 AOCB 中,|

|=5,

= ( 5 ,0 ) ,点 B

位于第一象限,若△ BOC 为正三角形. (1)若 cos∠AOB= (2)记向量 与 ,求 A 点坐标; 的夹角为 θ,求 cos2θ 的值.

16.(★★★)在等比数列{a n}中,a 1=1,且 a 2 是 a 1 与 a 3-1 的等差中项. (1)求数列{a n}的通项公式; (2)若数列{b n}满足 .求数列{b n}的前 n 项和 .

17.(★★★)如图,某市若规划一居民小区 ABCD,AD=2 千米,AB=1 千米,

∠A=90o,政府决定从该地块中划出一个直角三角形地块 AEF 建活动休闲区(点 E,F 分别在线 段 AB,AD 上) ,且该直角三角形 AEF 的周长为 1 千米,△ AEF 的面积为 S. (1)①设 AE=x,求 S 关于 x 的函数关系式; ②设∠AEF=θ,求 S 关于 θ 的函数关系式; (2)试确定点 E 的位置,使得直角三角形地块 AEF 的面积 S 最大,并求出 S 的最大值.

18.(★★★)设函数 f(x)= (1)当 x≠0 时,求证:f(x)=f( (2)若函数 y=f(x) ,x ∈ ) ;

, (a>0,b∈R)

,2 的值域为 5,6,求 f(x) ;
x

(3)在(2)条件下,讨论函数 g(x)=f(2 )-k(k∈R)的零点个数. 19.(★★★)设数列{a n},{b n},{c n}满足 a 1=a,b 1=1,c 1=3,对于任意 n∈N ,有 b
n+1 *

=

,c

n+1

=



(1)求数列{c n-b n}的通项公式; (2)若数列{a n}和{b n+c n}都是常数项,求实数 a 的值; (3)若数列{a n}是公比为 a 的等比数列,记数列{b n}和{c n}的前 n 项和分别为 S n 和 T n,记 M n=2S
n+1

-T n,求 M n<

对任意 n∈N 恒成立的 a 的取值范围.

*

20.(★★★)设 f(x)=x lnx,g(x)=ax -x . (1)求函数 f(x)的最小值; (2)若存在 x∈(0,+∞) ,使 f(x)>g(x) ,求实数 a 的取值范围; (3)若使方程 f(x)-g(x)=0 在 x∈e ,e (其中 e=2.7…为自然对数的底数)上有解
n

2

3

2

的最小 a 的值为 a n,数列{a n}的前 n 项和为 S n,求证:S n<3. 21.(★★★★)设 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2 倍,纵坐标伸长到 3 倍的伸压变 换, (1)求 M
-1


2

(2)求直线 4x-9y=1 在 M 的作用下的新曲线的方程.

22.(★★★★)在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系;

(φ 为参数) ,

(1)设 M(x,y)是圆 C 上的动点,求 m=3x+4y 的取值范围; (2)求圆 C 的极坐标方程. 23.(★★)班上有四位同学申请 A,B,C 三所大学的自主招生,若每位同学只能申请其中一 所大学,且申请其中任何一所大学是等可能的. (1)求恰有 2 人申请 A 大学或 B 大学的概率; (2)求申请 C 大学的人数 X 的分布列与数学期望 E(X) .

24.(★★)已知数列{a n}满足
n

,记数列{a n}的前 n 项和为 S

,c n=S n-2n+2ln(n+1) ,证明:对任意正整数 n,|sin(b nθ)|≤b n|sinθ|

(1)令

(2)证明数列{c n}是递减数列.


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