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2012年寒假高二数学导学案参考答案


2012 年寒假高二数学导学案参考答案 第一讲 数列的概念及等差数列参考答案
【知识链接】 1、

n2 ;2、 50 ;3、 24 ;4、 84 。 1 ? n2
n

【知识建构】
n ?1? ? ?1? 2n ? n 例题 1、1、 ; 2 、 ; 3 、 10 ? 1 2 n ? n ? 2? ? n

? 1? ? 1

?a1 ? a2 ? a3 ? 15 ?a2 ? 5 ?a ? 5 ? ? 例题2、解:由题意, , ? ?? a2 ? d ? a2 ? a2 ? d ? ? 80, ?? 2 , ?a1a2 a3 ? 80 d ? 3 ? ?d ? 0 ?d ? 0 ? ? ? a11 ? a12 ? a13 ? 3a12 ? 3 ? a2 ? 10d ? ? 105
例题3、解: ?1?由题S2意S2,S4 - S2,S6 - S4成等差数列? 2 ? S4 - S2 ? ? S2 ? ? S6 - S4 ?, ? S ? a ? a ? -37 ?a ? ?20 ? 3S2 ? 3S4 - S6, ? S2 ? -37; , ?? 1 , ? 2? ? 2 1 2 ? S4 ? 2S2 ? 4d ? ?67 ?d ? 3 an ? 3n ? 23? n ? 8时an ? 0, n ? 7时an ? 0, ? n ? 7时S n取最小值

? 3? a1 ? a2

? a3 ? ? ? a14 = ? 20+17+14+? +2 ? + ?1+4+7+ ? +19 ? =147

例题4、解: ? a3 =95,同理a2 =23,a1 =5 ?1?由题意a4 ? 3a3 ? 34 ? 1 ? 365, an ? ? an ?1 ? ? 1 ? 2? ? n ?1 ? 1 ? n 必为常数 n 3 3 3 4 ?1 ? 2? =0,解: ? a3 =95,同理a2 =23,a1 =5 ?1?由题意a4 ? 3a3 ? 3 ? 1 ? 365,

? 2 ? 若存在实数?满足题意,则

an ? ? an ?1 ? ? 1 ? 2? 1 1 ? n ?1 ? 1 ? n 必为常数, ?1 ? 2? =0,? =- , ? 存在? =- 满足题意。 n 3 3 3 2 2
【学习诊断】 1、876;2、 an ?

2 3、35 n ?1
2

4、已知一个数列前 n 项和 S n = n ? n ? 1 ,求它的通项公式,它是等差数列吗?

? S n ? S n ?1 , n ? 2 ?2n, n ? 2 解: ? S n ? n 2 ? n ? 1, ? an ? ? , ? an ? ? ?1, n ? 1 ? S1 , n ? 1
【巩固练习】 1、 11;2、 解:由题意

a8 15a8 S15 108 ? = = =6 ; b8 15b8 T15 18

3、 解:由题意 ?

?S偶 -S奇 =5d =-110 ?a ? 113 ? , ?? 1 ?S奇 =5a5 ? 5a1 ? 20d ? 125 ?d ? ?22 ?

4、 等差数列 {an } 中,S n 是其前 n 项和,a1 ? ?2008 ,

S 2007 S 2005 ? ? 2, 则 S 2008 = 2007 2005



?a1 ? ?2008 ?a1 ? ?2008 ?d ? 2 ? 解:由题意 ? S 2007 S 2005 , ?? , ?? , ? S 2008 ? ?2008 ? ? 2 ?a1004 -a1003 =2 ?a1 ? ?2008 ? ? 2007 2005 S ?S ? (二)略解:由题意数列 ? n ? 是首项 1 为-2008 1 ?n? S 公差为1为的等差数列, ? 2008 =-2008+2007, ? S2008 =-2008 2008

?a3 ? 12 ?a3 ? 12 ?a3 ? 12 ?a3 ? 3d ? 0 ? ? ? 5、解 : ?1? ? ? S12 ? 0 ,? ?a6 ? a7 ? 0, ? ?a6 ? 0 ,? ? , ??4 ? d ? ?3 a ? 4 d ? 0 3 ? ? S ? 0 ?a ? 0 ?a ? 0 ? 13 ? 7 ? 7

? S1 , S 2 ,?, S12中S6最大 ? 2 ? ? d ? 0, a6 ? 0, a7 ? 0,n ? 6时an ? 0, n ? 7是an ? 0,

第二讲 等比数列参考答案
【知识链接】 1、 b = -3 , ac = 9 ;2、-2;3、 ? 27 ;4、 (1) (2) (5) 【知识建构】

?a1 ? an ? 66 ?a1 =2 ?a1 =64 例题1、解:由题意 ? ,? ? 或? ?a2 an-1 ? a1an =128 ?an =64 ?an =2 1 ? ?q ? 2 ?q ? a1 ? qan ? Sn ? ? 126,? ? 或? 2 1? q ?n ? 6 ?n ? 6 ?
1 ? ?an ? 0 a ? 1 ? 1 ? ? 3 例题2、解: ?? ,? an ? n ? I ?由题意 ?2a1 ? 3a2 ? 1 , 3 ? 2 ?q ? 1 2 a ? 9 a a =9 a 2 6 4 ? 3 ? 3 ? 1? ? II ? bn ? log 3 a1 ? log 3 a2 ? ? ? log 3 an ? log 3 ? a1a2 ? an ? ? log 3 ? ? ? ?3?
1? 2 ? 3??? n

??

n ? n ? 1? 2

2 ? 2 a?d? ? a?d? ? ?a ? d ? ? 16 例题 3、解:设这四个数 , ? 为 a ? d , a, a ? d , ,依题意有: a a ? a ? a ? d ? 12 ?

2 ? ? a ? d ? ? 16 ?a ? d ? ? a ?a ? a ? d ? 12 ?

解得: ?

?a ? 4 ?a ? 9 或? ,∴ 这四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1. ?d ? 4 ? d ? ?6

例题4、解: ?1?由题意an ? Sn - Sn-1 ? n ? 2 ? ,? 6an ? 5an-1 ? 1 ? 6 ? an -1? ? 5 ? an-1 -1? ? n ? 2 ? ,? a1 ? S1 ? -14, a1 -1 ? -15, ? 5 ? 数列?an -1? 是首项为 -15,公比为 的等比数列 6
?5? ?5? ?5? ? an -1 ? -15 ? ? , an ? -15 ? ? ? 1,? Sn ? n ? 75 ? ? - 90 ?6? ?6? ?6? ? 2 ? 若存在实数?使得数列?Sn -n ? ??为等比数列
n-1 n-1 n-1

an -1 5 ? an-1 -1 6

?5? ? Sn -n ? ? ? 75 ? ? ?6?

n?1

? 90 ? ?, ?

S3 -3 ? ? S2 -2 ? ? ? , ? ? ? 90, S2 -2 ? ? S1 -1 ? ?

S -n ? 90 5 ?5? 而当? ? 90时Sn -n ? 90=75 ? ? , n = ? n ? 2? ? 6 ? Sn -1 - ? n-1? ? 90 6 ? 数列?Sn -n ? ?? 是等比数列, ? 存在? ? 90使得数列?Sn -n ? ?? 是等比数列
【学习诊断】 1、16, 255;2、64 或 1;3、 2 5 ;4、 【巩固练习】 1、

n?1

1 2

32 ?n (1 ? 4 ) ;2、2; 3

第三讲 数列求和答案
【知识链接】 1、 S n ?

n ? a1 ? an ? 2

? na1 ?

n ? n ? 1? d 2

? a1 ?1 ? q n ? ? ,q ?1 ;2、 S n = ? 1 ? q ;3、-5050 ? ?na1 , q ? 1

4、 解: Q f ? x ? ? f ?1 ? x ? ? 【知识建构】

2 ? f ? ?5? ? f ? ?4 ? ? L ? f ? 0 ? ? L ? f ? 5? ? f ? 6 ? = 3 2 2

例题1、解: ? an ? 1 ?

1 1 1 1 1? ? ? ? ? ? n ?1 ? 2 ? n ?1 , ? S n ? ? 2 ? 1? ? ? 2 ? ? ? 2 4 2 2 2? ?

1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 1 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? n ?1 ? ? 2n ? ?1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? ? n ?1 ? 2n ? 2 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 2 例题2、解:an ? 1 2 ? , 1 ? 2 ? L ? n n ? n ? 1?

1 1 ? 2n ? 1 1 1 ? Sn ? 2 ?1 ? ? ? ? L ? ? ?? n n ?1 ? n ?1 ? 2 2 3

n ? a1 +an ? ? an +1 ? n ?1+an ? ? an +1 ? ? a +1 ? 例题3、解: Q a1 =S1 = ? 1 ? , ? a1 =1, ? ?? ? ?? ? , ? 2 2 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? Q an ? 0,?1+an ? 0, ? an ? 2n ? 1, bn ? an 2n ? ? 2n ? 1? 2n
2 2

2

Tn ? 1g2 ? 3g22 ? 5g23 ? L ? ? 2n ? 1? 2 n, 2Tn ? 1g2 2 ? 3g23 ? 5g2 4 ? L ? ? 2n ? 1? 2 n ?1 ?Tn ? 2 ? 23 ? 24 ? L ? 2n +1 ? ? 2n ? 1? 2n +1, ? Tn ? 6 ? ? 2n ? 3? 2n ?1

例题4、证明?1?: Q 3tS n ? ? 2t ? 3? S n ?1 ? 3t, ? 3tS n -1 ? ? 2t ? 3? S n ? 2 ? 3t ? n ? 3 ? ? 3tan ? ? 2t ? 3? an -1 ? 0 ? n ? 3?,又a1 =1,? 3t ? a1 +a2 ? ? ? 2t ? 3? a1 ? 3t ? a2 = ? a a 2t ? 3 2t ? 3 2t ? 3 , ? n = ? t ? 0 ?, ? n ? 3, t ? 0 ?,且 2 = 3t an -1 3t a1 3t

an 2t ? 3 2t ? 3 = 的等比数列; ? n ? 2,t ? 0 ? ? 数列?an ? 是首项为1,公比为 an -1 3t 3t

? 1 ? ? 1 ? 2 解 ? 2 ?: ? b1 ? 1, b1 ? 1, bn ? f ? ? b1 ? 1, bn ? f ? ? ? n ? 2 ?, ? = +bn -1 ? n ? 2 ? b b ? n ?1 ? ? n ?1 ? 3 2 2 2n ? 1 ? bn -bn -1 = ? n ? 2 ?, ? 数列?bn ? 是首项为1公差为 的等差数列, ? bn = 3 3 3

解 ? 3 ?: Q b2 n ?1b2 n ? b2 nb2 n ?1 ? ?

4 4 ?Tn ? ? ? 5 ? 9 ? 13 ? L ? ? 4n ? 1? ? ? 4n ? 1?, ? 9 9? 4 4 20 ? ? ? 2n 2 ? 3n ?, Q Tn ? Tn ?1 ? ? ? 4n ? 1? ? 0, ? 数列?Tn ? 单调递减, ?Tn ? T1 =9 9 9

【学习诊断】 1、 ?

1 n2 ? n ? ? 1 ; 2、100;3、-15; 2n 2

4、解:由题意:a2003 ? 0, a2004 ? 0, S 4006 ? 2003 ? a2003 ? a2004 ? ? 0 S 4007 ? 4007 a2004 ? 0,? ?1? S n ? 0, 时n的最大值为4006, ? 2 ? Sn最大是n ? 2003

【巩固练习】

1、

n ? n ? 1? ? n 2 ? n ? 2 ? 8

? 10 3 1 1 ?? , n ? 1 ;2、12; 3、 ;4、 an ? ? 2n ? 4 2n ? 2 2 n ? 4 ? ?3, n ? 1
2

, 5、设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ? 2n , ?bn ? 为等比数列,且. a1 ? b1 , b2 ? a2 - a1 ? ? b1

⑴ 求数列 ? an ? 和 ?bn ? 通项公式. ⑵ 设 Cn ?

an ,求数列 Cn 前 n 项和 Tn 。 bn

?S , n ? 1 ?2, n ? 1 解: ,? an ? ? ?1? Q an = ? 1 ?4n ? 2, n ? 2 ? S n ? S n ?1 , n ? 2 1 2 ? an ? 4n ? 2, n ? 1,? a1 ? b1 ? 2, b2 ? a2 - a1 ? ? b1 , b2 ? , bn ? n ?1 4 4 a ? 2 ? Q Cn ? n ? ? 2n ? 1? 4n?1 , bn ? Tn ? 1 ? 3g4 ? 5g42 ? L ? ? 2n ? 1? 4n ?1 4Tn ? 4 ? 3g42 ? 5g43 ? L ? ? 2n ? 1? 4 n 1 两者相减可得-3Tn ? ? ? ? 6n ? 5 ? 4 n ? 5 ? ? 3? 1 Tn ? ? ? 6n ? 5 ? 4 n ? 5 ? ? 9?

3、解:由题意a1 ? 2,且an - 2n ? S n an-1 - 2n-1 ? S n-1 ? an ? 2an-1 ? 2n-1 ? n ? 2 ? ? a1 -1? 2n-1 ? 1 ? 0 an - n ? 2n -1 2an ? 2n-1 - n ? 2n -1 ? ? 2, an - ? n -1? ? 2n-2 an - ? n -1? ? 2 n-2

? 数列?an - n ? 2n-1?

是首项为1,公比为2的等比数列。
n ?1

4、解:设 an ? a1q

? a1 ? 128 1 n ?1 ? ,由题意,解之得 ? 1 ,进而 an ? 128 ? ( ) 2 q? ? ? 2
n ?1

(1) 由 an ? 128 ? ( )

1 2

?

1 ,解得 n ? 9. 2

(2)

(2) S n ?

a1 (1 ? q n ) 1 ? 256[1 ? ( ) n ] 1? q 2

1 ? S8 ? 256[1 ? ( )8 ] ? 255. 2

第四讲 数列综合题答案
【知识链接】 1、 an ?

2 ; 2、 an ? 2n ? 1;3、 ? ? ?3 ;4、①②③ n ?1

【知识建构】

?a ? 11 ?a ? 11 例题1 、解: ,? ? 3 ,? an ? a3 ? ? n - 3? d ? 3n ? 2 ?1?由题意 ? 3 ? S9 ? 9a5 ? 153 ?d ? 3

? 2 ? ? an ? log 2 bn ,? bn ? 23n ? 2 ,?
Tn ? 32 ?1- 8n ? 1- 8 32 ? 8n - 32 ? 7

bn ?1 ? 8,? 数列?bn ? 是等比数列, bn

例题2、解:圆心到直线的距离d ? n , an ?1 ?

1 2 An Bn ? Rn2 - d 2 4 ? 2an ? n ? 2 - n,? an ?1 ? 2an ? 2,? an ?1 ? 2 ? 2 ? an ? 2 ? , a1 ? 2 ? 3, an ?1 ? 2 ? 2,? 数列?an ? 2? 是以3为首项2为公比的等比数列,? an ? 3?2n -1 - 2. an ? 2

?

?8a ? b ? 15 ? 2 例题3、解: ?1? 设f ? x ? ? ax ? b ? a ? 0 ? ,由题意 ?? 5a ? b ? ? ? 2a ? b ??14a ? b ? ?a ? 0 ? n ?a ? 2 ?? , ? f ? x ? ? 2 x -1,? an ? 2n -1, ai ? a1 ? a2 ? L ? an ? n 2 ? i ?1 ?b ? -1

? 2 ? anbn ? ? 2n -1? 2n,Sn ? a1b1 ? a2b2 ? L ? anbn ? 2 ? 3?22 ? 5?23 ? L ? ? 2n -1? 2n, 2 Sn ? 22 ? 3?23 ? 5?24 ? L ? ? 2n -1? 2 n ?1 ? -Sn ? 2 ? ? 23 ? 24 ? L ? 2n ? - ? 2n -1? 2n ?1, ? S n ? ? 2n - 3? 2n ?1 ? 6.

例题4、解: ? 2 ? a2 ? a3 ? ? 2 ? a1 ? a2 ? ? 4,? 4d ? 4, d ? 1; ?1? ? S4 ? 2S2 ? 4, 5 7 1 1 ,? 数列?an ?的通项公式为an ? a1 ? ? n -1? ? n - , bn ? 1 ? ? 1 ? 7 2 2 an n2 1 7? ?7 ? ? ?函数f ? x ? ? 1 ? 在 ? -?, ? 和 ? , ? ? ? 上分别是减函数, ? b3 ? b2 ? b1 ? 1, 7 ? 2 2 ? ? ? x2 当n ? 4时, 1 ? bn ? b4 ,? 数列?bn ?的最大项是b4 ? 3,最小项为b3 ? -1.

? 2 ? ? a1 ? -

? 3?由bn ? 1 ?

1 1 得bn ? 1 ? an n ? a1 -1 1 在 ? -?, 1- a1 ? 和 ?1- a1, ? ? ? 上分别是减函数, x ? a1 -1

?函数f ? x ? ? 1 ?

且x ? 1- a1时,y ? 1; x ? 1- a1时y ? 1, ? 对任意的n ? N * , 都有bn ? b8 ,? 7 ? 1- a1 ? 8,? a1 ? ? -7, -6 ?
【学习诊断】 1、

5 ?1 ? 1 ? ? 1? 2、 2n -1 ;3、 ln n -1 ;4、 d ? ? ? , 0 ? ? ? 0, ? ; 5、充分不必要条件. 2 ? 10 ? ? 10 ?

【巩固练习】 1、 2n ;2、

n2 ? n ? 6 n n n n ;3、 an =4 ? 2 ;3、 an ? 4 - 2 2

第五讲 简 易 逻 辑
【知识链接】 1、②④⑤ 2.②③④

3.若 x≤y,则 x2≤y2 ;若 x2≤y2 ,则 x≤y ;若 x2>y2,则 x<y;若 x>y ,则 x2>y2 。 4. p、q 中至少有一个为真命题; 5. 必要而不充分条件 【知识建构】 例 1 解“当 c>0 时”是大前提, 写其他命题时应该保留, 原命题的条件是 a>b, 结论是 ac>bc. 因此它的逆命题:当 c>0 时,若 ac>bc,则 a>b.它是真命题; 否命题:当 c>0 时,若 a≤b,则 ac≤bc.它是真命题; 逆否命题:当 c>0 时,若 ac≤bc,则 a≤b.它是真命题.

变式训练: 逆命题“若 ax2+bx+c=0 (a、b、c∈R)有两个不相等的实数根,则 ac<0”是假命题,如当 a =1,b=-3,c=2 时,方程 x2-3x+2=0 有两个不等实根 x1=1,x2=2,但 ac =2>0. 否命题“若 ac≥0, 则方程 ax2+bx+c=0 (a、 b、 c∈R)没有两个不相等的实数根”是假命题. 这 是因为它和逆命题互为逆否命题,而逆命题是假命题. 逆否命题“若 ax +bx+c=0 (a、 b、 c∈R)没有两个不相等的实数根, 则 ac≥0”是真命题. 因 为原命题是真命题,它与原命题等价.
2

例 2 解 (1)在△ABC 中,∠A=∠B?sin A=sin B,反之,若 sin A=sin B,因为 A 与 B 不可能互补(因为三角形三个内角和为 180°),所以只有 A=B.故 p 是 q 的充要条件. (2)易知,非 p:x+y=8,非 q:x=2 且 y=6,显然 非 q 推不出非 p,但非 p?非 q,即非 q 是非 p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题 的等价性知,p 是 q 的充分不必要条件. (3)显然 x∈A∪B 不一定有 x∈B,但 x∈B 一定有 x∈A∪B,所以 p 是 q 的必要不充分条件. (4)条件 p:x=1 且 y=2,条件 q:x=1 或 y=2, 所以 p?q 但 q?p,故 p 是 q 的充分不必要条件. 变式训练 解 ①不是题中结论的充分条件,如 a=-1,b=-2;②不是题中结论的充分条件,如 a =1,b=-2;③④是题中结论的充分而不必要条件,a+b>2?a+b>0,但反之不成立;a>0 且 b>0?a+b>0,但反之不成立.故填③④.

例 3 证明 充分性:

1 x?? , 2 当 a=0 时,方程变为 2x+1=0,其根为

方程只有一负根.

2 当 a=1 时,方程为 x +2x+1=0,其根为 x=-1,方程只有一负根. 当 a<0 时,Δ =4(1-a)>0,方程有两个不相等的根,且 必要性:

1 a

<0,方程有一正一负根.

2 若方程 ax +2x+1=0 有且仅有一负根.当 a=0 时,适合条件. 2 当 a≠0 时,方程 ax +2x+1=0 有实根,则Δ =4-4a≥0,∴a≤1, 当 a=1 时,方程有一负根 x=-1.

若方程有且仅有一负根,则 ? ?1

?a ? 1 ?0 ? ?a ,? a ? 0.

2 综上方程 ax +2x+1=0 有且仅有一负根的充要条件为 a≤0 或 a=1.

变式训练 2 证明 设 x +ax+1=0 的两实根为 x1,x2,则平方和大于 3 的等价条件是
2 ? ?? ? a ? 4 ? 0 ? 2 2 2 2 ? ? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? (?a ) ? 2 ? 3,

即a ? 5或a ? ? 5. ?{a | a ? 5或a ? ? 5}
∴|a|> 例4 解
? ?Δ 1=m -4>0 由 p 得:? ?-m<0 ?
2 2

3 这个条件是必要条件但不是充分条件.

,则 m>2.
2

由 q 得:Δ 2=16(m-2) -16=16(m -4m+3)<0,则 1<m<3. ∵“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,∴p 为真,q 为假,或 p 为假,q 为真. 则?
? ?m>2 ?m≤1或m≥3 ? ? ?m≤2 或? ?1<m<3 ?



变式训练 解 ∵函数 y=a 在 R 上单调递增,∴p:a>1.不等式 ax -ax+1>0 对任意 x∈R 恒成立, ∴a>0 且 a -4a<0,解得 0<a<4,∴q:0<a<4.∵“p 且 q”为假,“p 或 q”为真, ∴p、q 中必有一真一假. ①当 p 真,q 假时,?
?a>1 ? ?a≥4 ? ?0<a≤1 ? ,得 a≥4.②当 p 假,q 真时,? ?0<a<4 ?
2

x

2

,得 0<a≤1.

故 a 的取值范围为(0,1]∪[4,+∞).

【学习诊断】 1.充分而不必要条件 2.充分不必要? 3.a≥1 ? 4.若①③则②(或若①②则④或若①③则④)

【巩固练习】 1、a≤b,则 2a≤2b-1 2、①的逆命题是“若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面”.显然空间四点中任三点

不共线时也有四点共面的可能,故①的逆命题是假命题; ②的逆命题是“若两条直线是异面直线,则这两条直线没有公共点”.由异面直线的定 义知异面直线没有公共点,故②的逆命题是真命题. 3、充分而不必要条件 4.解(1)当 x>2 或 x<-1 时,x -x-2>0,由 4x+p<0,得 x<- , 故“x<2

p 4

p ≤-1 时, 4

p 2 2 ” ? “x<-1” ? “x -x-2>0”. ∴p≥4 时, “4x+p<0”是“x -x-2>0”的充分条件. 4

(2)不存在实数 p 满足题设要求.

?S - S , n ? 1 ? 2n ? a - 2, n ? 1 4、解: , an ? ? ?1? ? an ? ? n n-1 ? a, n ? 1 ? S1 , n ? 1 ? an ? 2n ? a - 2, n ? 1, ? x ? 2n ? a - 2 1 , ? y ? ? x ? a? ? 2? 令 ? Sn ? 2 y? ? n ? a -1 ? n ? S ? 1 ? ?点 ? an , n ? 在直线y ? ? x ? a ? 上. n ? 2 ? 1 ? y ? ? x ? a? ? 2 , ? 2ax ? -a 2 - 4 ? 3?由 ? ? 1 ? x2 - y 2 ? 1 ? ?4 ? 若a ? 0, 则方程无解,A ? B ? ? ? 4 ? a2 x?? ? 4a 若a ? 0, 则 ? ,? 上述方程组至多一解. 2 ?y ? a -4 ? 4a ?

第六讲 不等式的解法
【知识链接】 1. ③ 【知识建构】
? 1. ? x ? ? 3 4 ? ? 65 3 65 ? ? ?x? ? ? 4 4 4 ? ?

2. (-1,2]

3. {x|x≤ 2 -1}

4. - <a<

1 2

3 2

5. 0

2. ? x x ?
?

?

1

?

或x ?

1? ? ??

1? 3. (1) 综上所述, a<-1 时,解集为 ? ? x ? 1 ? x ? ? ;a=-1 时,原不等式无解; ? a?

-1<a<0 时,解集为 ? x

? 1 ? ? x ? ?1? ;a=0 时,解集为{x|x<-1}; ? a ?

1? a>0 时,解集为 ? ?x x ? ?1 ? 或x ? ? . ? a?

(2)∵x=-a 时不等式成立,∴ 4. -3≤a≤1. ?1 ? 7 5. 2 <x< 1 ?2 【学习诊断】 1. (1) ? ?x 1 ?
? ? ?
3

? a2 ?1 >0,即-a+1<0,∴a>1,即 a 的取值范围为 a>1. ? a ?1

3 3? ? ? x ? 1? ? (2)R. 3 3 ? ?
2

2. {x|x<-3}.

3. 当 a<0 或 a>1 时,原不
2

等式的解集为{x|a<x<a };当 0<a<1 时,原不等式的解集为{x|a <x<a};当 a=0 或 a=1 时,原不等式的解集为 ? .4. a 5. 2∈[ 2 -7,2] 【巩固练习】 1. [- 2 ,-1)∪(1, 2 ] 或 0<a≤1 5. (2,3)∪(-3,-2) 2. (-2,1)∪(2,+∞) 3. m<-

13 11

4. -25≤a<-24

第七讲 基本不等式与线性规划
【知识链接】 1. ? ?2 x ? y ? 13 ? 0 2.5
?4 x ? 3 y ? 1 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 1 ? 0

3. -5<m<10

4.

1 5. (1,+∞)

【知识建构】 1. 解 (1)不等式 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0 上及右下方的点的集合.x+y≥0 表示直线 x+y=0 上及 右上方的点的集合,x≤3 表示直线 x=3 上及左方的点的集 合.
?x ? y ? 5 ? 0 所以,不等式组 ? 表示的平面区域如图所示. ?x ? y ? 0 ?x ? 3 ?

? 结合图中可行域得 x∈ ? ?? 2 ,3? ,y∈[-3,8]. ? ? 5

(2)由图形及不等式组知 ?

?? x ? y ? x ? 5 x? Z ?? 2 ? x ? 3, 且

当 x=3 时,-3≤y≤8,有 12 个整点;当 x=2 时,-2≤y≤7,有 10 个整点; 当 x=1 时,-1≤y≤6,有 8 个整点;当 x=0 时,0≤y≤5,有 6 个整点; 当 x=-1 时,1≤y≤4,有 4 个整点;当 x=-2 时,2≤y≤3,有 2 个整点; ∴平面区域内的整点共有 2+4+6+8+10+12=42(个). 2. 6

3. 解 设每天生产甲、乙两种产品分别为 x 吨、y 吨,利润总额为 z 万元,
?9 x ? 4 y ? 300 ? 4 x ? 5 y ? 200 ? ? 则线性约束条件为 ?3 x ? 10 y ? 300 ,目标函数为 z=7x+12y, ? x ? 15 ? ? ? y ? 15

作出可行域如图, 作出一组平行直线 7x+12y=t,当直线经过直线 4x+5y=200 和直线 3x+10y=300 的交点 A(20,24)时,利润最大 即生产甲、乙两种产品分别为 20 吨、24 吨时,利润总额最大,zmax=7×20+12×24=428(万 元). 答 每天生产甲产品 20 吨、乙产品 24 吨,才能使利润总额达到最大. 4. 解: (1) (x+y)min=16. (2)当 x=1 时,ymax=1; (3)当 x=12,y=6 时,x+y 取最小值 18. 5. (1)38880 元; (2)38882 元 【巩固练习】 1. 1 2. 9 3. 解 依题意设每星期生产 x 把椅子, y 张书桌,那么利润 p=15x+20y.
?4 x ? 8 y ? 8 000 ? ?2 x ? y ? 1 300 其中 x,y 满足限制条件 ? . , x? ? N ?x ? 0 ? , y? ? ? y ? 0N

即点(x,y)的允许区域为图中阴影部分,它们的边界分别为 4x+8y=8 000(即 AB),2x+y=1 300(即 BC),x=0(即 OA)和 y=0(即 OC).

对于某一个确定的 p=p0 满足 p0=15x+20y,且点(x,y)属于阴影部分的解 x,y 就是一个能获 得 p0 元利润的生产方案.对于不同的 p,p=15x+20y 表示一组斜率为- 的平行线,且 p 越 大,相应的直线位置越高;p 越小,相应的直线位置越低.按题意,要求 p 的最大值,需 把直线 p=15x+20y 尽量地往上平移,又考虑到 x,y 的允许范围,当直线通过 B 点时,处 在这组平行线的最高位置,此时 p 取最大值. 由?
?4 x ? 8 y ? 8 000 ,得 B(200,900) ,当 x=200,y=900 时,p 取最大值, ?2 x ? y ? 1 300
3 4

即 pmax=15×200+20×900=21 000,即生产 200 把椅子、900 张书桌可获得最大利润 21000 元. 4.
4 3

5. 解 (1)建模:依题意知,汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 ,全程运

s v

输成本为 y=(a+bv )

2

s v

=sb ? ?v ?
?

a? ? ,v∈(0,c]. bv ? ? a? ? ≥2s ab ; bv ?

(2)依题意,有 s,b,a,v 都是正数.因此 y=sb ? ?v ? ①若 ②若

a a a ≤c,则当且仅当 v= ? v= 时,y 取到最小值. bv b b

a ≥c,则 y 在(0,c]上单调递减,所以当 v=c 时,y 取到最小值. b a a ≤c 时,行驶速度应该为 v= ; b b

综上所述,为了使全程运输成本最小,当 当
a ≥c 时,行驶速度应该为 v=c. b

【学习诊断】 1.7+2 6 2.
1 16

3.4 4. 2《a《9 5.2

第八讲 不等式综合运用(答案)
1. {x|-1<x<2}2.5,当且仅当 a=b= 时取等号.3.2 6.(0,2)∪(3,+∞)
? 7.5≤a<7 8.10 9. [-1,2]10.(-∞,4) 11. ? ?2 , 2 ? 12.(-2,2) 13 .13,41 ? ? 5
1 2

4.4

5.4

14.x<-1 或 x>3 2 2 2 15.解 ∵a=(1,x) ,b=(x +x,-x) ,∴a·b=x +x-x =x. 由 a·b+2>m ? ?
2 x?2 ? ?2 ? >0 ? ? 1? ? ? x+2>m ? ? 1? ? (x+2)-m x a ? b x ? ? ? ?
2

? x(x+2)(x-m)>0(m≤-2).

①当 m=-2 时,原不等式 ? x(x+2) >0 ? x>0;②当 m<-2 时, 原不等式 ? m<x<-2 或 x>0. 综上,得 m=-2 时,x 的取值范围是(0,+∞) ; m<-2 时, x 的取值范围是(m,-2)∪(0,+∞). 16.解 (1)f(0)=10 表示当甲公司不投入宣传费时,乙公司要避免新产品的开发有失 败的风险,至少要投入 10 万元宣传费;g(0)=20 表示当乙公司不投入宣传费时,甲公 司要避免新产品的开发有失败的风险,至少要投入 20 万元宣传费. (2)设甲公司投入宣传费 x 万元,乙公司投入宣传费 y 万元,依题意,当且仅当
1 ? 1 ? y ? f ?x ? ? 4 x ? 10, ① 时,双方均无失败的风险.由①②得 y≥ ( y +20)+10, ? 4 ? x ? g ? y ? ? y ? 20 ② ?

即 4y- y -60≥0, 即( y -4)(4 y +15)≥0.∵ y ≥0,∴4 y +15>0.∴ y ≥4.∴y≥16. ∴x≥ y +20≥4+20=24.

∴xmin=24,ymin=16,即在双方均无失败风险的情况下,甲公司至少要投入 24 万元,乙公司至 少要投入 16 万元. 17.解 (1)令 x=1,y=0,得 f(1+0)-f(0)=(1+2×0+1)·1=2,∴f(0)=f(1)-2=-2. 2 2 (2)令 y=0,f(x+0)-f(0)=(x+2×0+1)·x=x +x,∴f(x)=x +x-2. (3)f(x)>ax-5 化为 x +x-2>ax-5, ax<x +x+3,∵x∈(0,2),∴a< 当 x∈(0,2)时,1+x+
2 2

x2 ? x ? 3 3 =1+x+ . x x

3 3 ≥1+2 3 ,当且仅当 x= ,即 x= 3 时取等号,由 3 ∈(0,2),得 x x

3? ? ?1 ? x ? ? =1+2 3 .∴a<1+2 3 . x ? m in ?

18. (1)证明 ∵m·n<0,m+n≤0,∴m、n 一正一负.不妨设 m>0,n<0,则 n≤-m<0.取 n=-m<0, ∵函数 f(x)在(-∞,0)上为增函数,则 f(n)=f(-m);取 n<-m<0,同理 f(n)<f(-m) ∴f(n)≤f(-m). 又函数 f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上为奇函数,∴f(-m)=-f(m).∴f(n)+f(m)≤0. (2)解 ∵f(1)=0,f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上为奇函数,∴f(-1)=0, ∴原不等式可化为 ? ? 增函数. ∴? ?
?x 2 ? 2x ? 2 ? 0
2 ? ?x ? 2x ? 2 ? 1

?x 2 ? 2x ? 2 ? 0
2 ? ? f x ? 2 x ? 2 ? f ?1?

?

?

或? ?

?x 2 ? 2x ? 2 ? 0
2 ? ? f x ? 2 x ? 2 ? f ?? 1?

?

?

.易证:f(x)在(0,+∞)上为

或? ?

?x 2 ? 2x ? 2 ? 0
2 ? ? x ? 2 x ? 2 ? ?1

∴x -2x-3>0 或 ? ?
2

?x 2 ? 2x ? 2 ? 0
2 ? ?x ? 2x ? 1 ? 0

.

解得 x>3 或 x<-1 或 ? ?

?1 ? 3 ? x ? 1 ? 3 ? ? x ? 1 ? 2或x ? 1 ? 2

.

∴不等式的解集为(-∞,-1)∪(1- 3 ,1- 2 )∪(1+ 2 ,1+ 3 )∪(3,+∞). 19.解 (1)由题意可知当 m=0 时,x=1(万件),∴1=3-k ? k=2.∴x=32 . m ?1

每件产品的销售价格为 1.5× =4+8x-m=4+8 ? ?3 ?
?

8 ? 16 x ? 8 ? 16x (元), ∴2008 年的利润 y=x·? ?1.5 ? ? -(8+16x+m) x ? x ?

2 ? ? 16 ? ? ?m ? 1?? +29(m≥0). ? -m=- ? m ?1 ? ? m ?1 ?

(2)∵m≥0 时,

16 +(m+1)≥2 16 =8, m ?1 16 =m+1 ? m=3(万元)时,ymax=21(万元). m ?1

∴y≤-8+29=21,当且仅当 20 .解 y=1
2 x1

( 1 ) f ′ (x)=x+
1
2 x1

1 x
2

, ∴ k=f ′ (x1)=-

1
2 x1

. ∴切线方程为 y-

1 1 =- 2 (x-x1), 即 x1 x1

2 . x1

(2)在 y=-

x+

? 2? 2 2 ? 中,令 y=0 得 x=2x1,∴A(2x1,0).令 x=0,得 y= ,∴B ? ? 0, x ? . x1 x1 1? ?

∴△AOB 的周长 m=2x1+ 令 t=x1+

2 ? ? 2 ? 1 1 ? 2 2 ? ,x1∈(0,+∞). ? .∴m=2 ? x1 ? ? x1 ? + (2 x1 ) 2 ? ? ? ? 2 ? ? x x x1 x 1 ? 1? 1 ? ?

1 ,∵x1∈(0,+∞),∴t≥2.∴当 t=2,即 x1=1 时,m 最小=2(2+ 2 ). x1

故△AOB 周长的最小值是 4+2 2 .

第九讲 椭圆
【知识链接】
y2 x2 1 ? ?1 x,4, y,2 3 , x, (?1,0), , (?2,0),?2 ? x ? 2 2. 16 7 2 5. 直角三角形 【知识建构】

1.

3. 5 或 3 4.

1 5

1. 解:○ 1 焦点在 x 轴上时,设椭圆 得 b 2 ? 32 ,则椭圆方程是
2 2

x2 a
2

?

y2 b
2

,则 a ? 6 ,由 e ? ? 1( a ? b ? 0 )

1 得c ? 2, 3

x y ? ? 1. 36 32 y2 x2 1 2 焦点在 y 轴上时,设椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) ,则 a ? 6 ,由 e ? 得 c ? 2 ,得 ○ 3 a b
b 2 ? 32 ,则椭圆方程是

y2 x2 ? ? 1. 36 32

综上:椭圆方程是

x2 y2 ? ?1 36 32



y2 x2 ? ?1 36 32
? ? PF1 ? PF2 ? 10 ? 2 2 2 ? ? ? PF1 ? PF2 ? 2 PF1 ? PF2 ? cos 60 ? F1 F2

2.















PF1 ? PF2 ? 36 ,? S ? ?

1 PF1 ? PF2 sin60? ? 9 3 2 a c 2ac 3. 解:由正弦定理: ,而 PF1 ? PF2 ? 2a 得: PF1 ? ? PF2 PF1 a?c

因为 a ? c ? PF1 ? a ? c ,得 2 ? 1 ? e ? 1 变式: 椭圆上的点 P 位于椭圆短轴的顶点处时, 所以由条件 ?F1 PF2 ? 60? , ?F1 PF2 最大, 设坐标原点为 O ,则 30? ? ?F1 PO ? 90? ,所以 4. 解 : 设 所 求 直 线 为 :
1 1 c ? sin ?F1 PO ? 1 ,即 ? ? 1 . 2 2 a , 代 入 椭 圆 得 : y ? 1 ? k ( x ? 2)

( 4k 2 ? 1) x 2 ? 8( 2k 2 ? k ) x ? 4 2k 2 ? 1 ? 16 ? 0

?

?

2





A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )



x1 ? x2 ?

8( 2k 2 ? k ) 4k ? 1
2

? 4 ,解得: k ? ?

1 ,所以直线方程是: x ? 2 y ? 4 ? 0 2

5. 解: ( 1 )设左焦点为 F1 , 其坐标为 ( ?1,0) , PA ? PF ? PA ? 2a ? PF1 ? 6 ? PA ? PF 1 ,
? ? AF1 ? PA ? PF1 ? AF1 ,则 ( PA ? PF ) min ? 6 ? 10 , ( PA ? PF ) max ? 6 ? 10

(2) 椭圆右准线 l 2 :x ? 9 , 作 PD ? l 2 于 D , 由第二定义得:

PF 1 ?3PF ? PD , ?e? , PD 3

则 PA ? 3PF ? PA ? PD ,作 AE ? l2 于 E ,则 ( PA ? 3PF ) min ? AE ? 7 【学习诊断】 1.

?1? a ? 0

2.

x2 y2 ? ?1 8 6

3. 3 或

25 3

4.

10 10

5.

5 3 , 2 2

【巩固练习】 1.
y2 x2 ? ?1 或 148 37 y2 x2 ? ?1 53 13

2. m ? 4 且 m ? 6

3.

3 8

4.解:由条件: y ? s ? x 代入椭圆:4 x 2 ? 6sx ? 3s 2 ? 3 ? 0 ,而 ? ? 0 ,得 smin ? ?2, smax ? 2

第十讲 双曲线
【知识链接】 1. 虚, 实 , 6,8,10, (0,?3), (0,?5), y ? ?
x2 y2 ? ?1 4 3 【知识建构】

3 5 x, , R, (??,?3] ? [3,??) 2.13 4 3

3. (??,?3) ? (3,??)

4.

5.

5

1.

解:设双曲线方程为

y2 a2

?

x2 b2

? 1 , 则 焦 点 为 (0,?4) , 双 曲 线 的 e ? 2 , 所 以

a 2 ? 4, b 2 ? 12 ,双曲线方程为

y2 x2 ? ?1 4 12

? PF ? PF2 ? 2a 2a 5 2. 解: ? 1 ,则 PF2 ? ,由 PF2 ? c ? a 得 1 ? e ? 3 3 ? PF1 ? 4 PF2

3.

解: (1)设 P( x0 , y 0 ) ,由条件,渐近线方程为 y ? ?
x0 ? 2 y 0 5 x0 ? 2 y 0 5 x0 ? 4 y 0 5
2 2

1 x ,所以点 P 到两渐近线的距离 2
x0 y x2 ? 4 2 所以 y 0 ? 0 , ? 0 ? 1, 4 1 4
2 2

乘积是:

?

?

1 , 而 ○

代入○ 1 式,的乘积为

4 5

(2)设 P( x0 , y 0 ) ( x0 ? ?2 或 x0 ? 2 ) ,则
PA ? ( x0 ? 3) 2 ? y 0 ? x0 ? 6 x0 ? 9 ?
2 2 2 x0 ?1 ? 4 2 5 x0 ? 24x0 ? 32 , 4

当 x0 ?

2 5 12 时, PAmin ? 5 5

4. 解: 设左右焦点分别为 F1 , F2 , 因为 PO ? 所以 PO ?
PO 2 ?
2

1 ( PF1 ? PF2 ) , 2

1 ( PF1 ? PF2 ) 2 ,即 4

1 1 2 2 ( PF1 ? 2PF1 ? PF2 ? cos 60? ? PF2 ) ? ( PF1 ? PF2 ) 2 ? 3PF1 ? PF2 4 4 1 (4a 2 ? 3PF1 ? PF2 ) 4
2

?

?

即: 7a 2 ?

1 ○

而由余弦定理知 PF12 ? PF2 ? 2 PF1 ? PF2 ? cos 60? ? 4c 2

?( PF ? PF )
1 2

2

? PF1 ? PF2 ? 4c 2 ,即 4c 2 ? 4a 2 ? PF1 ? PF2 ,得 PF1 ? PF2 ? 4b 2

?

代入○ 1 式有: 7a 2 ?

b2 1 (4a 2 ? 12b 2 ) ,得 2 ? 2 ,所以渐近线方程是: y ? ? 2 x 4 a

?x 2 ? y 2 ? 1 5. 解:由 ? 得: (1 ? k 2 ) x 2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 4 ? 0 ? y ? k ( x ? 1) ?? ? 0 2 3 2 3 (1)由 ? 得, ? 且 k ? ?1 时,直线 l 与双曲线有两个公共点; ?k? 2 3 3 ?1 ? k ? 0

(2)○ 1 k ? ?1 时, x ? 所以 k ? ?

?? ? 0 2 3 5 ,符合题意, ○ 2 ? 即k ? ? ; 2 3 2 ?1 ? k ? 0

2 3 或 k ? ?1 时,直线 l 与双曲线只有一个公共点; 3
2 3 2 3 或k ? 时,直线 l 与双曲线没有公共点。 3 3

(3) ? ? 0 ,得 k ? ? 【学习诊断】 1.
4 3

2.

13 13 或 2 3

3. 4

4.

3

5. ?

1 4

【巩固练习】 1.
y ? ?2 x 或 y ? ?
1 x 2

2. -8

3.

2 ○ 3 ○

4. 解: 设点 P 坐标 为 P( x0 , y 0 ) ( x0 ? (??,?2] ? [2,??)) ,左右焦点分别为 F1 , F2 , 点 P 到左准线 x ? ?1 的距离为 d 1 ? x 0 ? 1 ,到右准线 x ? 1的距离是 d 2 ? x0 ? 1 ,
1 由 PF1 ? 2 PF2 ,得 d1 ? 2d 2 ,得 x0 ? 3 或 (舍) ,则点 P (3,? 15 ) 3

第十一讲
【知识链接】

抛物线

1.(-2,0), x ? 2 ,4 【知识建构】

2. y =8x 或 x =y

2

2

3. y ? ?

a 4

4. 5

5.

4 3

1.解:点 F 到准线的距离为 p,又由|BC|=2|BF|得点 B 到准线的距离为 BF,则

| BF | 1 ? , | BC | 2

∴l 与准线的夹角为 30°,则直线 l 的倾斜角为 60°,由|AF|=3 得

cos 60? ?

3? p ,故 p=3, 3
2

从而此抛物线的方程为 y =3x. 2.解:以直线 l1 为 x 轴,线段 MN 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系, 如图.由条件可知,曲线段 C 是以点 N 为焦点,以 l2 为准 线的抛物线的一段. 其中 A、B 分别为曲线段 C 的端点. 设曲线段 C 的方程为 y =2px(p>0)(xA≤x≤xB, y>0),其中 xA、 xB 为 A、B 的横坐标,p=|MN|, 所以 M (?
2

p p , 0), N ( , 0) 2 2 p 2 ) ? 2 pxA ? 17 ① 2

由|AM|= 17 ,|AN|=3,得 ( xA ?

p ( xA ? )2 ? 2 pxA ? 9 ② 2
联立①②解得 xA ?

4 ,代入①式,并由 p>0, p

解得 ?

? xA ? 1 ? x A ? 2 或? ?p ? 4 ?p ? 2 ? xA ? 2 ? xA ? 1 p , 所以 ? ? xA ,故舍去 ? 2 ?p ? 2 ?p ? 4

因为△AMN 为锐角三角形,所以

由点 B 在曲线段 C 上,得 xB ?| BN | ?

p ?4 2

综上,曲线段 C 的方程为 y2=8x(1≤x≤4,y>0). 3. 解:如图所示,建立直角坐标系.设桥拱抛物线方程 为 x =-2py(p>0).由题意,
2

将 B(4,-5)代入方程得 p=1.6,故 x =-3.2y. 船面两侧和抛物线接触时, 船不能通航, 设此时船面宽为 AA′, 则 A(2, yA), 由 22=-3.2yA, 得 yA= ?

2

5 . 4

又知船面露出水面上的部分为 故
h ?| y A | ? 3 ? 2(m). 4

3 m, 4

答:水面上涨到距抛物线拱顶 2 m 时,小船不能通航. 4. 解:设点 P(x,y)为抛物线上的任意一点,则点 P 离点 A(0,a)的距离的平方为 AP =x +(y-a) =x +y -2ay+a ∵x =2y ∴AP =2y+y -2ay+a (y≥0) =y +2(1-a)y+a (y≥0) ∴对称轴为 y =a-1 ∵离点 A(0,a)最近的点恰好是顶点 ∴a-1≤0 解得 a≤1 5.解:(1)方法 1:设 P(x,y)是曲线 C 上任意一点,
2 2 那么点 P(x,y)满足: ( x ? 1) ? y ? x ? 1 (x>0),
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

化简得 y2=4x(x>0). 方法 2:由已知曲线 C 上任意一点 P 到点 F(1,0)的距离与到直线 x=-1 的距离相等, 所以曲线 C 是以 F(1,0)为焦点,x=-1 为准线的抛物线, 故曲线 C 的方程为 y2=4x(x>0). (2)设过点 M(m,0)的直线 l 与曲线 C 交于 A(x1,y1),B(x2,y2),l 的方程为 x=ty+m. 由?

? x ? ty ? m ? y ? 4x
2

,得 y ? 4ty ? 4m ? 0 ,
2

? y1 ? y2 ? 4t ? ? 16t 2 ? 16m ? 0 ,于是 ? , ? y1 y2 ? ?4m ??? ? ??? ? 又 FA ? ( x1 ? 1, y1 ) , FB ? ( x2 ? 1, y2 )

由 FA ? FB ? 0 得 x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? y1 y2 ? 0 ,又 x ?
2 y12 y2 y2 y2 ? ( 1 ? 1 ) ? y1 y2 ? 1 ? 0 , 16 4 4

??? ? ??? ?

y2 4

所以

?

2 y12 y2 ( y ? y2 )2 ? 2 y1 y2 ? 1 ? y1 y2 ? 1 ? 0 , 16 4

16t 2 ? 8m ? m ? 4m ? ?1 ? 0 , 4
2

? m2 ? 6m ? 1 ? t 2 对任意 t ? R 恒成立,
所以 m ? 6m ? 1 ? 0 ,即 3 ? 2 2 ? m ? 3 ? 2 2 .
2

由此可见存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A、B 的任一直线,都有

??? ? ??? ? FA ? FB ? 0 ,且 m 的取值范围是 (3 ? 2 2,3 ? 2 2) .
【学习诊断】 1.

y=1

2.相切

3.

4 2

4.

y2=4x

5.解析:据抛物线的定义可知 d1 等于点 P 到焦点的距离,故求 d1+d2 的最小值即为确定抛 物线上的点到焦点的距离与到直线的距离之和最小, 又抛物线与已知直线无交点, 易知当且 仅当点 P 为过抛物线的焦点且与已知直线垂直的直线与抛物线的交点时,d1+d2 有最小值, 12 故(d1+d2)min= . 5 【巩固练习】 1. 2 2. 10 3. 6 12 答案: 5

4. 解:(1)抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=-1,F(1,0). → → → ∵AF+λ BF=0,∴A,B,F 三点共线.由抛物线的定义,得|AB|=x1+x2+2. 由题意知,直线 AB 的斜率存在且不为 0, y1-y2 设直线 AB:y=k(x-1),而 k= ,x >x ,y >0,y2<0,∴k>0. x1-x2 1 2 1
? ?y=k(x-1), 由? 2 得 k2x2-2(k2+2)x+k2=0. ?y =4x, ?

2(k +2) ? ?x1+x2= , k2 ∴? ? ?x1x2=1,

2

2(k2+2) 25 → |AB|=x1+x2+2= +2= , k2 4 16 4 ∴k2= .从而 k= , 9 3 4 故直线 AB 的方程为 y= (x-1),即 4x-3y-4=0. 3
?4x-3y-4=0, ? 1 (2)由? 2 求得 A(4,4),B( ,-1). 4 ?y =4x, ? 2 2 设△AOB 的外接圆方程为 x +y +Dx+Ey+H=0,则

? ?16+16+4D+4E+H=0, ?1 1 ? ?16+1+4D+(-E)+H=0,
H=0,

D=- , ? 4 ? 3 解得? E=- , 4 ? ?H=0.

29

29 3 故△AOB 的外接圆的方程为 x2+y2- x- y=0 4 4

第十二讲
【知识链接】 1.

圆锥曲线综合题

4 3

2. y ? 4 5 x
2

3. 4

4.

2

5.

x2 y2 ? ?1 7 3

【知识建构】 1. 解析:如图,设 F′为椭圆的左焦点,椭圆与抛物线的上交点为 A,连结 AF′,所以 FF′ =2c=p,因为 AF=p,所以 AF′= 2p.因为 A′F+AF=2a,所以 2a= 2p+p,所以 e= c = 2-1. a 答案: 2-1

x2 y2 2. 解 : 由 椭 圆 方 程 为 ? ? 1 , 得 a ? 3 ,b ? 9 5
∴e ?

5 ,c ? 2

2 , 2a ? 6 3

(1)如图所示,过 P 向椭圆的左准线作垂线,垂足为 Q,则由椭 圆的第二定义知:

| PF | 2 ? , | PQ | 3

2 3 | PF | ,从而|PA|+ |PF|= | PA | ? | PQ | . 3 2 9 11 当 A、P、Q 共线时, | PA | ? | PQ | 最小,最小值为 ? 1 ? , 2 2
∴ | PQ |? 此时,点 P (?

6 5 ,1) . 5

(2)如图所示,设椭圆右焦点为 F1,则|PF|+|PF1|=6,∴|PA|+|PF|=|PA|-|PF1| +6.利用-|AF1|≤|PA|-|PF1|≤|AF1| (当 P、A、F1 共线时等号成立), ∴ 6 ? 2 ?| PA | ? | PF |? 6 ? 2 ,故|PA|+|PF|的最大值为 6 ? 2 ,最小值为 6 ? 2 . x2 y2 3. 解法 1:设椭圆方程为 2+ 2 =1,与直线 x-y+9=0 联立并消去 y 得: a a -9 (2a2-9)x2+18a2x+90a2-a4=0, 根据题意,Δ=(18a2)2-4(2a2-9)(90a2-a4)≥0, 解得 a2≥45 或 a2≤9. ∵a2>9,∴a2≥45,∴amin=3 5. x2 y2 此时椭圆的方程为 + =1. 45 36 解法 2:设直线与椭圆公共点为 P,则|PF1|+|PF2|=2a,由长轴最短知,问题可转化为 在直线 x-y+9=0 上求一点 P,使 P 到两定点 F1、F2 距离之和为最小. 点 F1(-3,0)关于直线 x-y+9=0 的对称点为 Q(-9,6),则 F2Q 与直线 x-y+9=0 的 交点即为 P 点,且 2a=|PF1|+|PF2|=|PQ|+|PF2|=|QF2|=6 5,∴a=3 5. x2 y2 又 c=3,∴b2=a2-c2=36,∴椭圆方程为 + =1. 45 36 4. 【解】 (1)椭圆 C 的焦点在 x 轴上,由椭圆上的点 A 到 F1、F2 两点的距离之和是 4,

3 ( )2 3 12 2 2 得 2a=4,即 a=2.又点A(1, )在椭圆上,因此 ? 22 ? 1 得 b ? 3 ,于是 c ? 1 . 2 4 b
所以椭圆C的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,焦点坐标为 F1(-1,0)、F2(1,0). 4 3

(2)由题意知直线 MN 不与x轴垂直,∴设直线 MN 的方程为 y ? kx ? 程 得 : (3 ? k ) x ? 12kx ? 3 ? 0 , 设
2 2

3 ,代入椭圆的方 2

M ( x1,y1 ) , N ( x2,y2 ) , 则

x1 ? x2 ? ?
立.

12k 3 k 2 ? 12(3? k 42 )? 192 k 2 ? 36 ? 恒 0成 , 且 ? ?144 , x1 x2 ? ? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k
3(1 ? k 2 ) 18k 2 9 ? ? ? 0 ,∴ 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 4

ON ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (kx1 ? )(kx2 ? ) ? ? 又 OM ?

???? ? ????

3 2

3 2

16k 2 ? 5 即 k ? ?

5 5 3 x? . ,∴直线 MN 的方程为 y ? ? 4 4 2

5. 解: (1)由题意,得 c ? 1 ,可设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) ,因为点 A 在椭圆上, 1 ? b2 b2

所以

x2 y2 1 9 3 2 2 ,解得 或 (舍去) ,所以椭圆的方程为 ? ? 1. b ? 3 ? ?1 b ?? 4 3 1 ? b2 4b2 4 x2 y2 3 ,代入 ? ? 1得 4 3 2

(2)设直线 AE 的方程为: y ? k ( x ? 1) ?

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 4k (3 ? 2k ) x ? 4(2 ? k ) 2 ? 12 ? 0 .

3 4( ? k )2 ? 12 3 设 E ( xE , yE ) , F ( xF , yF ) , 因 为 点 A(1 , ) 在 椭 圆 上 , 所 以 xE ? 2 , 2 3 ? 4k 2 3 yE ? kxE ? ? k . 2 又 直 线 AF 的 斜 率 与 直 线 AE 的 斜 率 互 为 相 反 数 , 在 上 式 中 用 ?k 代 替 k , 可 得 3 4( ? k )2 ? 12 3 , yE ? ?kxE ? ? k . xF ? 2 2 2 3 ? 4k
所以直线 EF 的斜率 k EF ?

y F ? y E ? k ( xE ? xF ) ? 2 k 1 ? ? xF ? x E xF ? xE 2

∴直线 EF 的斜率为定值,且定值为 【学习诊断】

1 . 2

p 1. 解析:等轴双曲线 x2-y2=1 的左焦点为(- 2,0),所以- =- 2,∴p=2 2. 2 答案:2 2 x2 y2 2. 解析: + =1 表示椭圆,所以 m>0 且 m≠5.直线 y-kx-1=0 恒过定点 P(0,1),则 P 5 m 1 在椭圆上或在椭圆内部, ≤1,∴m≥1 且 m≠5. m 答案:m≥1 且 m≠5 3.

5 2

|m· 0+n· 0-4| 2 4.解析:直线 mx+ny=4 和圆 O:x2+y2=4 没有公共点,所以 2 2 >2,即 m + m +n 2 2 2 2 2 2 m + n m n m n x2 y2 n2<4.∵ + < + = <1,所以点(m,n)在椭圆内部,故直线与椭圆 + =1 的交 5 4 4 4 4 5 4 点个数为 2. 答案:2 x2 y2 5.解析: (1)解法一: 依题意, 可设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), 且可知左焦点为 F ′(- a b 2,0).
?c=2 ?c=2, ? ? 从而有? 解得? ?2a=|AF|+|AF ′|=3+5=8, ?a=4. ? ?

x2 y2 又 a2=b2+c2,所以 b2=12,故椭圆 C 的方程为 + =1. 16 12

x2 y2 解法二:依题意,可设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),且有: a b 4 9 ? ?a2+b2=1, ? ? ?a2-b2=4. 解得 b2=12 或 b2=-3(舍去).从而 a2=16. x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 16 12 3 (2)假设存在符合题意的直线 l,设其方程为 y= x+t. 2

?y=2x+t, 由? x y ?16+12=1
2 2

3

消去 y,得 3x2+3tx+t2-12=0.

∵直线 l 与椭圆 C 有公共点, ∴△=(3t)2-4×3(t2-12)≥0, 解得-4 3≤t≤4 3. 另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d=4 可得 |t| =4,∴t=± 2 13. 9 +1 4

∵± 2 13?[-4 3,4 3], ∴符合题意的直线 l 不存在. 【巩固练习】 3 |3m| 1. 解析:双曲线的一条渐近线方程为 y= x,抛物线的焦点为(m,0),则 =3,∴m=5. 4 5 2 所以抛物线方程为 y =20x. 答案:y2=20x 2b2 b2 2.解析:∵|MN|= , =a+c,∴e2-e-2=0. a a ∵e>1,∴e=2. 答案:2 3. 解析:设双曲线的右焦点为 F1,连结 PF1,在△PFF1 中 M,O 分别是 PF,FF1 的中点, 1 1 1 所以|OM|-|MT|= |PF1|-( |PF|-|TF|)=- (|PF|-|PF1|)+|TF|=b-a. 2 2 2 答案:b-a x2 y2 4. 解:法一:(1)依题意,设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b c 3 ∵c= 3,e= = , a 2 ∴a=2,b2=a2-c2=1, x2 2 ∴椭圆 C 的方程是 +y =1. 4

(2)由

? ? 1 ?y=2x+m,

x2 2 +y =1, 4

1 得 x2+4( x+m)2=4,即 x2+2mx+2m2-2=0. 2 令 Δ>0,得 8-4m2>0,∴- 2<m< 2. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 中点为 M(x0,y0), 则 x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2. |AB|= (x2-x1)2+(y2-y1)2 5 = · (x1+x2)2-4x1x2= 5(2-m2). 4 1 1 1 又∵x0= (x1+x2)=-m,y0= x0+m= m, 2 2 2 1 ∴M(-m, m). 2 设 T(t,0), 1 0- m 2 1 ∵MT⊥AB,∴kMT· kAB= ·=-1, t+m 2 3 3 解得 t=- m,∴T(- m,0). 4 4 1 2 1 2 5 ∴|MT|= m + m = |m|. 16 4 4 1 1 5 ∴S△TAB= |AB|· |MT|= · 5(2-m2)· |m| 2 2 4 5 = -(m2-1)2+1. 8 ∵- 2<m< 2, 5 ∴当 m2=1,即 m=± 1 时,S△TAB 取得最大值为 . 8 法二:(1)同法一. x2 2 +y =1, 4 (2)由 1 y= x+m, 2 1 得 x2+4( x+m)2=4,即 x2+2mx+2m2-2=0. 2 令 Δ>0,得 8-4m2>0,∴- 2<m< 2. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 中点为 M(x0,y0), ∴x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2. 1 1 1 又∵x0= (x1+x2)=-m,y0= x0+m= m, 2 2 2 1 ∴M(-m, m). 2 ∵MT⊥AB, 3 ∴MT 的方程为 y=-2x- m. 2 3 3 令 y=0,得 x=- m,∴T(- m,0). 4 4 设 AB 交 x 轴于点 R,则 R(-2m,0),

? ? ?

5 ∴|TR|= |m|. 4 1 1 ∴S△TAB= |TR|· |y1-y2|= |TR|· |x1-x2| 2 4 1 = |TR|· (x1+x2)2-4x1x2 4 5 = m2(2-m2) 8 2 2 5 m (2-m ) 5 ≤ · = , 8 2 8 5 当且仅当 m2=2-m2,即 m=± 1 时,S△TAB 取得最大值为 . 8


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