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2016年高考数学 中等生百日捷进提升系列 专题07 利用线性规划求目标函数的最值(含解析)


第七章

不等式

利用线性规划求目标函数的最值
【背一背重点知识】 1. 平面区域的确定方法是“直线定界,特殊点定域”,二元一次不等式组所表示的平面区 域是各个不等式所表示的半平面的交集.确定平面区域中单个变量的范围、整点个数等,只 需把区域画出来,结合图形通过计算解决. 2. 线性规划问题解题步骤: ①作图——画出可行域所确定

的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一条直线 l; ②平移——将直线 l 平行移动,以确定最优解的对应点 A 的位置; ③求值——解有关方程组求出 A 点坐标(即最优解),代入目标函数,求出目标函数的最值. 3.最优解的确定方法: 线性目标函数 z=ax+by 取最大值时的最优解与 b 的正负有关, 当 b>0 时, 最优解是将直线

ax+by=0 在可行域内向上方平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的;当 b<0 时,则
是向下方平移. 【讲一讲提高技能】 1.必备技能: (1)线性目标函数 z=ax+by 中的 z 不是直线 ax+by=z 在 y 轴上的截距, 把目标函数化为 y=

a z z x+ 可知 是直线 ax+by=z 在 y 轴上的截距, 要根据 b 的符号确定 b b b

目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值. (2)数形结合思想要牢记,作图—定要准确,整点问题要验证解决. (3)求解线性规划中含参问题的基本方法: 线性规划中的含参问题主要有两类: 一是在条件不等式组中含有参数; 二是在目标函数中含 有参数.解决此类问题的基本方法有两种:一是把参数当成常数用,根据线性规划问题的求 解方法求出最优解, 代入目标函数确定最值, 通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范 围;二是先分离含有参数的式子,然后通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件. 2.典型例题:

? 0? x?4 ? 例 1.已知关于 x, y 的不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0 ,所表示的平面区域的面积为 16,则 k 的 ? kx ? y ? 4 ? 0 ?
值为( A.-1 或 3 【答案】C
1

) B.1 C.1 或 ? 3 D. ? 3

【解析】 试题分析:作出可行域(如图所示) ,且直线 kx ? y ? 4 ? 0 可化为 y ? kx ? 4 ,即恒过点

? y ? kx ? 4 1 ,得 C (4,4k ? 4) ,则 ?ABC 的面积为 ? 4 ? 4k ? 4 ? 16 ,解 A(0,4) ,联立 ? 2 ?x ? 4
得 k ? 1 或 k ? ?3 ;故选 C.

? y ? 1, ? 例 2 已知实数 x , y 满足 ? y ? 2 x ? 1, 如果目标函数 z ? x ? y 的最小值为-1,则实数 m 等于 ?x ? y ? m ?
( A.7 【答案】B 【解析】 ) B.5 C.4 D.3

?x ? y ? 2 ? 0 ? 例 3 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,若 z ? y ? ax 取得最大值的最优解不唯一 ,则实数 ... ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
a 的值为(
A, ) B. 2或

1 或 ?1 2

1 2

C.2 或 1

D. 2或 ? 1

分析:目标函数取得最大值的最优解不唯一 ,一般是平移直线使其与平面区域的边界重合. ...
2

【答案】D 【解析】

【练一练提升能力】

?x ? y ? 1 ? 1. 已知不等式组 ? x ? y ? ?1 , 表示的平面区域为 M, 若直线 y ? kx ? 3k 与平面区域 M 有公 ?y ? 0 ?
共点,则 k 的取值范围是( A. ? ? , 0 ? ? 3 ? 【答案】A 【解析】 试题分析:由题意可知,不等式表示的可行域如下图:由于直线 y ? kx ? 3k 恒过点(3,0) , 所以当直线过点 C 时斜率最小为 k ? ? .最大值为 0.故选 A. 2.给定区域 D :,令点集 T ? {? x0 , y0 ? ? D | x0 , y0 ? Z , ? x0 , y0 ? 是 z ? x ? y 在 D 上取得最大 值或最小值的点 } , 则 T 中的点共确定______条不同的直线. 【答案】 6 【解析】 )

? 1

?

B. ? ??, ? 3

? ?

1? ?

C. ? 0, ? 3

? ?

1? ?

D. ? ??, ? ? 3

? ?

1? ?

1 3

3

3.若实数

满足条件



的最大值是(



A. 【答案】C

B.

C.

D.

【解析】由约束条件作出可行域如图中阴影部分,将

化为

,作出

直线

并平移,使之经过可行域,易知经过点 ,故 C 正确.

时,纵截距最小,同时 z 最大为

4

基本不等式

【背一背重点知识】 已知 x>0,y>0 ,则 (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 x ? y 时, x ? y 有最小值是 2 p (简记:积定和最 小).

xy 有最大值是 (2)如果和 x ? y 是定值 p, 那么当且仅当 x ? y 时,
【讲一讲提高技能】

p2 (简记: 和定积最大). 4

1.必备技能: (1)在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满 足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用, 否则会出现错误. 而“定”条件往往是整个求解 过程中的一个难点和关键.

?a?b? (2).对于公式 a+b ? 2 ab,ab ? ? ? 要理解它们的作用和使用条件及内在联系, ? 2 ?
两个公式也体现了 ab 和 a+b 的转化关系. (3) .在应用均值定理求最值时, 要把握定理成立的三个条件, 就是“一正——各项均为正; 二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”.若忽略了某个条件,就会出现错误. 2.典型例题:

2

5

例 1 设正实数 x, y, z 满足 x2 ? 3xy ? 4 y 2 ? z ? 0 ,则当 最大值为 ( A.0 【答案】B 【解析】 试题分析: x2 ? 3xy ? 4 y 2 ? z ? 0? z ? x2 ? 3xy ? 4 y 2 ) B.1 C.

2 1 2 xy 取得最大值时, ? ? 的 z x y z

9 4

D.3

?

xy xy 1 1 ) , ? 2 ? ? ? 1(当且仅当 x ? 2 y 时取“=” 2 x 4 y z x ? 3xy ? 4 y x 4 y ? ?3 2 ? ?3 y x y x
2

? z ? x 2 ? 3xy ? 4 y 2 ? ? 2 y ? ? 3 ? 2 y ? y ? 4 y 2 ? 2 y 2

?1 ? 2 1 2 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 1? ? 1 ? 1 , 当且仅当 y ? 1 时取得“ = ” ,满足题意 , x y z y y y ?y ?

2

2 1 2 ? ? 的最大值为 1 x y z
例 2 某项研究表明,在考虑行车安全的情况下,某路段车流量 F (单位时间内测量点的车 辆数,单位: 辆/小时)与车流速度 v (假设车辆以相同速度 v 行驶,单位:米/秒)平均车长 l (单位:米) 的值有关,其公式为 F ?

76000 v v ? 18v ? 20l
2

(1)如果不限定车型, l ? 6.05 ,则最大车流量为_______辆/小时; (2)如果限定车型, l ? 5 ,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加 辆/小时.

分析:作为函数的应用问题,其处理方法一般有三种思路,一是利用函数的单调性;二是利 用基本不等式;三是利用导数.本题通过变换函数的表达式,创造了应用基本不等式的条件 ----一正、二定、三等,体现了处理问题的灵活性. 【解析】

6

【练一练提升能力】 1.已知 x ? 0, y ? 0 ,且 是( ) B. m ? ?4 或 m ? 2 D. ? 4 ? m ? 2

2 1 ? ? 1 ,若 x ? 2 y ? m 2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的值取值范围 x y

A. m ? 4 或 m ? ?2 C. ? 2 ? m ? 4 【答案】D 【解析】 试题分析:因为 ? ?

?2 1? ?x ? 2 y ? ? 4 ? 4 y ? x ? 4 ? 2 4 y ? x ? 8 ,所以 m 2 ? 2m ? 8 , ? ? ? x y x y ?x y?

解得 ? 4 ? m ? 2 . 2. 若 log ( ? log2 4 3a ? 4b) A. 6 ? 2 3 D. 7 ? 4 3 【答案】D 【解析】

ab, 则a ? b 的最小值是(
B. 7 ? 2 3

) C. 6 ? 4 3

7

3. 若正实数 a , b 满足 a ? b ? 1 ,则(



1 1 ? 有最大值 a b 1 B. ab 有最小值 4
A. C. a ? b 有最大值 2 D. a 2 ? b 2 有最小值 【答案】C 【解析】 试题分析:A 中

2 2

1 1 ?1 1? a b ? ? ? ? ? ? a ? b? ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 4 , 最 小 值 为 4 ; B 中 a b ?a b? b a
2 2 ? a ?b ? a ?b 中 由 ? 可 知 ? ? 2 ? 2 ? 2

1 ? a ?b ? 1 , 有 最 大 值 为 ; C ab ? ? ? ? 4 ? 2 ? 4
2

2

? a ? b ? a ?b 1 ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? a ? b ? 2 ,最大值为 2 , 2 ? ?
D 中由 ?
2 2 1 ? a ?b ? a ?b 2 2 可知 a ? b 有最小值 错误!未找到引用源。 ? ? 2 2 ? 2 ? 2

不等式恒成立问题

【背一背重点知识】 1.一元二次方程根的判别式;
8

2.导数的计算公式及求导法则. 【讲一讲提高技能】 1.必备技能: 恒成立问题的解法: (1)用一元二次方程根的判别式法.有关含有参数的一元二次不等式的恒成立问题,若能把 不等式转化成二次函数或二次方程, 利用根的判别式或数形结合思想, 可使问题得到顺利解 决. (2)分离参数求最值法.如果能够将参数分离出来,建立起明确的参数和变量的关系,则可 以利用函数的单调性求解.a>f ? x ? 恒成立 ? a>f ? x ?max ,即大于时大于函数 f ? x ? 值域 的上界. a<f ? x ? 恒成立 ? a<f ? x ?min ,即小于时小于函数 f ? x ? 值域的下界. 2.典型例题: 例 1 若函数 A. 分析: 由函数 B. 在 在 是增函数,则 a 的取值范围是( C. 是增函数知, 在 ) D. 在 上恒成立,故只需求

上恒成立,通过分离参数得到 的最大值. 【解析】

? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? 例 2 当实数 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0, 时, 1 ? ax ? y ? 4 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ? x ? 1, ?
________. 分析:本题是涉及线性规划的恒成立问题,应首先画出可行域,分析直线 ax ? y ? 0 的形态 位置变化,通过平移 ax ? y ? 0 ,研究 ax ? y ? z 取得最值的位置,建立 a 的不等式(组).

9

12

10

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? a ? 0, 【解析】 作出不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 所表示的区域, 由 1 ? ax ? y ? 4 得, 由图可知, ? x ?1 ?
8 6

且在 ?1,0 ? 点取得最小值在 ? 2,1? 取得最大值, 故 a ? 1 ,2a ? 1 ? 4 , 故 a 取值范围为 ?1, ? . 2
4

? 3? ? ?

2

x=1

x-y-1=0
5 10 15 20

5

x+2y-4=0
2

4 【练一练提升能力】

1.已知 a ? 0, b ? 0 , 6 A.10 B.9

2 1 1 ? ? ,若不等式 2a ? b ? 4m 恒成立,则 m 的最大值为 a b 4
C.8 D.7

8

【答案】B 【解析】
12 10

2.若对于一切实数 x ??1,3? ,不等式 mx ? 【答案】 (?? , ) 【解析】 试题分析:将不等式 mx ?

4m ? 2 ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是_____. x

2 5

4m 4 4 ? 2 ? 0 变形为 m( x ? ) ? 2 ,因为 f ( x) ? x ? 在区间 ?1,2? x x x

13 , f (2) ? 4 ,即 4 ? f ( x) ? 5 , 3 2 若 m ? 0 ,不等式显然成立,若 m ? 0 ,则须 5m ? 2 ,即 0 ? m ? ,综上所述,即 m 的 5 2 2 取值范围是 m ? ;故填 (?? , ) . 5 5
上单调递减,在区间 ?2,3? 上单调递增,且 f (1) ? 5, f (3) ?
10

(一) 选择题(12*5=60 分)

?x ? 0 ? 1.已知实数 x 、 y 满足 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为( ?x ? y ?1 ? 0 ?
A.



1 2

B. 1

C. 2

D. 4

【答案】C 【解析】

?5 x ? 3 y ? 15, ? 2.不等式组 ? y ? x +1, 表示的平面区域的面积为( ) ? x ? 5 y ? 3. ?
A.7 【答案】A 【解析】 试题分析:作出可行域如图所示: B.5 C.3 D.14

11

?5 x ? 3 y ? 15 1 5 1 ? 所以不等式组 ? y ? x +1 表示的平面区域的面积为 ? 4 ? ? ? 4 ? 1 ? 7 ,故选 A. 2 2 2 ? x ? 5y ? 3 ?
?x ? y ?1 ? 0 ? x?2 y 3.若实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 z ? 3 的最大值是( ? x?0 ?
A.



1 3

B.9

C.1

D.3

【答案】B 【解析】

4. 执行如图 1 所示的程序框图,如果输入的 x, y ? R ,则输出的 S 的最大值为(



A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

【答案】C

12

【解析】

? 2 x ? y ? 10 ? 5. 设实数 x,y 满足 ? x ? 2 y ? 14 ,则 xy 的最大值为( ?x ? y ? 6 ?
A.



25 2

B.

49 2

C.12

D.14

【答案】A 【解析】 试题分析:画出不等式组所表示的平面区域(略)分析可得:

1 1 ? 2x ? y ? 1 ? 10 ? 25 xy ? ? 2 x ? y ? ? ? ? ,当 2 x ? y ? 10 时, xy 取得最大值为 ? ? ? , 2 2? 2 ? 2? 2 ? 2
当且仅当 x ?

2

2

5 ?5 ? , y ? 5 时取得等号,此时点 ? ,5 ? 在约束条件表示的可行域内; 2 ?2 ?
2 2

xy ?

1 1 x ? 2y ? 1 ? 14 ? 49 ;当 ? x ? 2y? ? ? ? ? ,当 x ? 2 y ? 14 时, xy 取得最大值为 ? ? ? 2 2? 2 ? 2? 2 ? 2
7 ? 7? 时取得等号,此时点 ? 7, ? 不在可行域内,故舍. 2 ? 2?

且仅当 x ? 7, y ?

25 .故 A 正确. 2 2 1 1 6.已知 a ? 0, b ? 0 , ? ? ,若不等式 2a ? b ? 4m 恒成立,则 m 的最大值为 a b 4
所以 xy 的最大值为 A.10 B.9 C.8 D.7
13

【答案】B 【解析】

7.已知 x ? 0, y ? 0 ,且 A. 7 ? 2 6 【答案】A

1 3 ? ? 1 ,则 x ? 2 y 的最小值为( x y
C. 7 ? 2 3 D. 14



B. 2 3

【解析】因为 x ? 0, y ? 0 ,且

1 3 ? ? 1, x y

所以 x ? 2 y ? ( x ? 2 y)( ?
2

1 x

3 2 y 3x 2 y 3x ) ? 7? ? ? 7?2 ? ? 7 ? 2 6 ,选 A y x y x y
1 ] 恒成立,则 a 的最小值是( 2
C. ? )

1 ? 0 对于一切 x ? (0, 8.若不等式 x +ax+
A.0 【答案】C B.-2

5 2

D.-3

1? 0即 a ? 【解析】 x +ax+
2

? x 2 -1 ? x 2 -1 ,所以,只需 a 不小于 的最大值. x x



1 1 1 ? x 2 -1 1 1 ? ? x ? ? ?( x ? ) , x ? 在 x ? (0, ] 是减函数,其最小值在 x ? 时取到为 x 2 2 x x x

2?

1 5 = , 2 2

5 5 ? x 2 -1 所以, 的最大值为 ? ,即 a 的最小值为 ? ,选 C. 2 2 x
9.若 a ? 0, b ? 0 ,且函数 f ( x) ? 4x ? ax ? 2bx 在 x ? 1 处有极值,则
3 2

4 1 ? 的最小值为 a b

( A、



4 9

B、

4 3

C、

3 2

D、

2 3

【答案】C
14

【解析】 试 题 分 析 : 因 为 函 数 f ( x) ? 4x3 ? ax2 ? 2bx 在 x ? 1 处 有 极 值 , 所 以

f ' (1) ? 12x ? 2a ? 2b ? 0
4 1 1 ? ? (a ? b ? ? ) a b 6 a b





a?b ? 6





a b 4 ? 1 4 a 4b1 ? (? ? ? ) (当且仅当( ? 5a ? b ? 6 ,即 ) 且 b 6a 6b a 2

5

a ? 2b ? 4 时取“=” ) ;故选 C.
10.若直线 ax ? 2by ? 2 ? 0(a ? b ? 0) ,始终平分圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 8 ? 0 的周长,则

1 ? 2 的最小值为 ( a b
A、1 【答案】D 【解析】 B. 3 ? 2 2

) C. 4 2 D.6

x?2 ? 0 的解集为 ?x | a ? x ? b? ,点 A(a, b) 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上, x ?1 2 1 其中 mn ? 0 ,则 ? 的最小值为( ) m n
11.已知不等式 (A) 4 2 【答案】C 【解析】由题意可知 a ? ?2, b ? ?1 ,代入直线 m?? 2? ? n?? 1? ? 1 ? 0 ,即 2m ? n ? 1 ,所 以? (B)8 (C)9 (D) 12

2n 2m 2n 2m ? 2 1? ? 2 1? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ?2m ? n? ? 5 ? ? ? 5?2 ? ? 9 ,故选 C. m n m n ?m n? ?m n?

12. 某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千克;生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克, B 原料 1 千克。每桶甲产品的利润是 300 元, 每桶乙产品的利润是 400 元。公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A 、 B 原料

15

都不超过 12 千克。通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获 得的最大利润是( A、1800 元 【答案】C 【解析】 ) B、2400 元 C、2800 元 D、3100 元

(二)填空题(4*5=20 分)

?x ? 1 ? 13.已知 a ? 0 , x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为1 ,则 a ? ( ?y ? a x ?3 ? ? ? 1 1 A. B. C. 1 D.2 2 3
【答案】A 【解析】



16

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 14.设 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 , 若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大值为 ? x ? 0, y ? 0 ?
2 3 ? 的最小值为 a b 25 【答案】 2
4,则 .

【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分.

当直线 ax ? by ? z (a ? 0, b ? 0) 过直线 x ? y ? 2 ? 0 与直线 3x ? y ? 6 ? 0 的交点 (4, 6) 时, 目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 取得最大值 4,即 4a ? 6b ? 4 ,即 a ?

3 b ?1. 2

17

所以

2 3 ? 2 3? ? 3b ? 13 ? 3b 3a ? 13 25 . ? ? ? ? ? ? ? a ? ? ? ? ? ? ?… ? 6 ? a b ?a b? ? 2? 2 ? a b ? 2 2
. (写出所有正确命题的序号) .

15.下列命题成立的是

① a, b, c ? R , a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ac ; ②当 x ? 0 时,函数 f ( x) ?

1 1 2 ,∴当且仅当 x 2 ? 2 x 即 x ? 2 时 ? 2x ? 2 2 ? 2x ? 2 2 x x x

f ( x) 取最小值;
③当 x ? 1 时,

x2 ? x ? 4 ? 5; x ?1

④当 x ? 0 时, x ?

1 ? x

1 x? 1 x

的最小值为

5 2

【答案】①③④ 【解析】

16. 设 a,b,c 都是正数,且满足 【答案】 ? 9, ?? ? 【解析】

1 4 ? ? 1 则使 a ? b ? c 恒成立的 c 的取值范围是 a b



18

19


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