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3.1不等关系与不等式(第二课时)


第二课时

一、复习回顾

1.不等式基本原理

a ?b ? 0 ? a ? b a ?b ? 0 ? a ? b a ?b ? 0 ? a ? b
比较两实数大小的方法:作差比较法

2.不等式的性质
性质1: (对称性) a ? b ? b ? a
a ? b?

性质2 : (传递性) ?? a ?c b ? c?

性质3 : (加法的单调性)a ? b ? a ? c ? b ? c

推论 :

a ? b? ?? a?c ?b?d c ? d?

性质4 : (乘法的单调性)

?a ? b ? ac ? bc ? ?c ? 0

?a ? b ? ac ? bc ? ?c ? 0

a ? b ? 0? 推论1 : ? ? ac ? bd c ? d ? 0?

(同向不等式的可乘性)
推论2 :
a ? b ? 0 ? a n ? bn (n ? N * , n ? 2)
a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N * , n ? 2)

(可乘方性、可开方性)

二、巩固练习
1. 若a、b、c ? R,a ? b,则下列不等式成 立的是 (C )

1 1 A. ? a b a b C. 2 ? 2 c ?1 c ?1

B. a ? b
2

2

D. a | c |? b | c |

2. 若?、 ? 满足 ?

?
2

?? ? ? ?

?
2

,则? ? ? 的 (B )

取值范围是

A. ? ? ? ? ? ? ? ? B. ? ? ? ? ? ? ? 0 C. ? D. ?

?

?

2 2

?? ?? ?

?
2

?? ?? ? 0

1 1 问:当a ? b时,求 与 的大小关系? a b

1 1 结论 : a ? b ? 0 ? ? a b

1 1 a?b?0? ? a b

3.判断下列各题的对错: c c ?1? ? 且c ? 0 ? a ? b a b ?2?a ? b且c ? d ? ac ? bd

?3?a ? b ? 0且c ? d ? 0 ?
a b ?4? 2 ? 2 ? a ? b c c

a b ? d c

4.已知a<b<c,且a+b+c=0,则 ( ) A.b2-4ac>0 B.b2-4ac=0 C.b2-4ac<0 D.不能确定b2-4ac的符号 解析:∵a<b<c,且a+b+c=0,∴a<0,c>0, ∴b2-4ac≥-4ac>0. 答案:A
5.x=(a+3)(a-5)与y=(a+2)(a-4)的大小 关系是 ( ) A.x>y B.x=y C.x<y D.不能确定 解析:x-y=(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4) =-7<0,∴x<y. 答案:C

6.已知a>b,c>d,且c、b不为0,那么下列不等 式成立的是 ( ) A.ab>bc B.ac>bd C.a-c>b-d D.a+c>b+d 解析:∵a>b,c>d, 由同向不等式可加性得: a+c>b+d. 答案:D
7.已知a<b<0,那么下列不等式成立的是 ( A.a3<b3 B.a2<b2 C.(-a)3<(-b)3 D.(-a)2<(-b)2 解析:∵a<b<0,∴a3<b3. 答案:A )

8. 比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小.
解: (2x2+5x+3)-(x2+4x+2)=x2+x+1=
? ? 1?2 3 ? 1?2 1?2 3 3 ?x+ ? + .∵ ?x+ ? ≥0,∴?x+ ? + ≥ >0, 2? 4 ? 2? 2? 4 4 ? ?

∴(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)>0, ∴2x +5x+3>x +4x+2.
2 2

三、例题选讲

c c 例1:已知a>b>0,c<0,求证 ? a b
1 例2.(1)如果a ? b ? 0, 那么 a
1 变式a ? b ? 0那么 a ?b

? ?

1 b
1 a

c (2)如果a>b>c>0,那么 a

?
?

c b c a?c

b 变式a>b>c>0,那么 a-b

b c 练习:已知c>a>b>0,试比较 与 的大小? c-b c ? a

x 例3.如果30<x<42,16<y<24,求x+y,x-2y, 的范围? y

a b 例4:已知a>b>0,c>d>0,求证: ? d c

x 例5 :已知x ? 0, 求证 1+x ? 1 ? 2

例6:(比较大小) 1 (1)x ? -1,比较 与1 ? x的大小. 1+x (2)当x ? 1时,求证: x ? 1 ? x ? x ? x ? 1

四.要点阐释
1.两个实数比较大小关系 在数学问题中经常要遇到比较大小问题, 其方法有两个,一是作差比较法;二是作商比 较法. 特别提醒:(1)作差比较法是比较大小的主 要方法,它是将两个数(或式子)作差,并由“差 ”与0的大小关系,即“差”的正负号而比较出两 个数的大小关系. (2)作商比较法的前提条件是两个正数的大 小比较,特别适合一些指数幂式子的大小比较, 它是将两个正数(或式子)作商,并由“商”与1的 大小关系而得到两个数的大小.

2.利用不等式性质判断不等关系 不等式的性质是判断不等关系的理论依据和 方法.不等式的性质较多,要注意识记和准确地 理解与应用.特别要注意某些性质的限制条件, 以防乱用和混用.

(2)异向不等式不能相加. (3)两边同乘或除以一个负数,不等式 要反向. (4)a>b>0,c>d>0?ac>bd与a>b, c>d?ac>bd易混淆,其中,应注意它们的 区别,前一个各项为正,后一个没有正负, 故不成立.

特别提醒:(1)同向不等式不能相减.

思考题: 已知-1≤a+b≤1 ①, 1≤a-2b≤3 ②,求a+3b的取值范围.
错解:2×①+②得-1≤3a≤5, 1 5 故- ≤a≤ , 3 3 -1×②+①得 0≤-3b≤4, 故-4≤3b≤0. 13 5 所以- ≤a+3b≤ . 3 3

错因分析:错解中用了同向不等式相减从而 扩大了所求代数式的取值范围,导致范围不准 确.正确的解法是所求问题用已知的不等式进行 表示,根据已知不等式的取值范围,利用同向不 等式相加的性质进行求解.注意同向不等式不能 相减或相除.
正解:设a+3b=λ1(a+b)+λ2(a-2b) =(λ1+λ2)a+(λ1-2λ2)b, 5 2 解得 λ1= ,λ2=- . 3 3 5 5 5 2 2 又- ≤ (a+b)≤ ,-2≤- (a-2b)≤- , 3 3 3 3 3
11 ∴- ≤a+3b≤1. 3

五.课堂小结
1.不等式的性质是不等式变形的依 据.每一步变形,都应有根有据.记准适 用条件是关键. 2.关于处理带等号的情况; 由a>b,b≥c 或a≥b,b>c均可推得a>c, 而a≥b,b≥c不一定可以推得a>c,可能 是a>c,也可能是a=c.

3.比较两个实数a与b的大小,归结 为判断它们的差a-b的符号,而这又必 然归结到实数运算的性质.在教学时应 指出,比较两个代数式的大小,实际上 是比较它们的值的大小,而这又归结为 判断它们的差的符号,判断差的符号主 要是因式分解、配方法等.
4.不等式的加法、乘法运算一是满 足同向,二是只有正数才能相乘而不改 变不等号的方向.


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