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二倍角的正弦、余弦、正切公式教案


永善县第二中学(教案)
学科:数学 教研组:高一数学备课组 教师:钱广





3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切 公式

课时

1 课时

日期

1. 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,

知识 与 技能 了解它们的内在联系;理解化归思想在推导中的作用. 2. 能正确运用二倍角公式求值, 增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力; 3.揭示知识背景,引发学生学习兴趣,激发学生分析、探求的学习态度,强 化学生的参与意识,并培养学生综合分析能力. 1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式,领会从一般化归为特殊的数学思 过程

教 学 目 标

想,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣;通过例题讲解,总 结方法.通过做练习,巩固所学知识. 2.通过公式的推导,了解它们的内在联系,从而培养逻辑推理能力;通过综 合运用公式,掌握有关技巧,提高分析问题、解决问题的能力.

与 方法

情感 态度 价值 观

1.通过本节的学习,使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识; 理解掌握三角函数各个公式的各种变形,增强学生灵活运用数学知识、逻辑 推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力. 2.引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质.

重点、 难点 教学重点:二倍角公式推导及其应用.
教学难点:如何灵活应用倍角公式进行三角式求值.

教学策略

小组讨论式教学,多媒体教学

教学流程 教师活动 学生活动 教学意图

一、导入新课: 请学生回忆上两节共同探讨的两角和公式, 教师引导学生: 当两角相等时,两角之和便为 此角的二倍 ,那么是否可把和角公式化归为 二倍角公式呢?今天,我们进一步探讨一下二 倍角的问题,由此展开新课. 问题 1: 让学生把和角公式填在学案上, 同时让一名学生到黑板展演。 学生填写完后, 教师打出课件,然后引导学生观察正弦、余 弦的和角公式,提醒学生注意公式中的 ? ,

学生填写两角和公式:

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

加深对两角和 公式的理解记 忆

cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

tan ?? ? ? ? ?
二倍角的整个 探索过程充分 地让学生去思 考、去探究, 并初步地感受 二倍角的意 义.同时开拓 学生的思维空 间,为学生将 来 遇 到 的 3? 或 3? 等角的 学生化简公式得到二倍角公 式。 探究附设类比 联想的源泉.

tan ? ? tan ? ? ,既然可以是任意角,你会有些什么样的 1 ? tan ? tan ?

奇妙想法呢?并鼓励学生大胆试一试. 问题 2:请同学们思考一下,在和角公 式中若令 ? ? ? ,你能得到怎样的式子? 请一名学生到黑板进行简化,其他学生 在自己的座位上简化,教师再与学生一起集 体订正黑板的书写,接着让学生将正确的书 写结果填在学案上。 这时教师适时地向学生指出,我们把这 三个公式分别叫做二倍角的正弦,余弦,正 切公式,然后教师适时提出问题 3。 问题 3:在得到的 C2? 公式中,还有其 他表示形式吗?怎样才能使表示式仅含 ? 的正弦(余弦)? 点 拨 学 生 结 合 sin ? ? cos ? ? 1 思
2 2

考,前后桌学生交流, 并将讨论结果向全班展 示。 这时教师点出,自此,我们补充完善了 cos 2? ? 2cos2 ? ? 1 二倍角的全部公式,这些公式都叫做倍角公 式(用多媒体演示) .倍角公式给出了 ? 的 cos 2? ? 1 ? 2sin 2 ? 三角函数与 2? 的三角函数之间的关系. 问题 4:细心观察二倍角公式结构,有 什么特征呢? 教师指导学生,这组公式用途很广,并 与学生一起观察公式的特征与记忆,首先公 式左边角是右边角的 2 倍;二倍角的余弦左 边是 2? 的三角函数的一次式,右边是 ? 的 三角函数的二次式,即左到右→升幂缩角, 观察并记忆二倍角公式的结 右到左→降幂扩角;二倍角的正弦是单项 构特征。 式,余弦是多项式,正切是分式.

针对教师提出的问题 3,前 后桌讨论,得出二倍角的余 弦公式又可表示为

因为还没有应 用,对公式中 的含义学生可 能还理解不到

问题 5:能看出公式中角的含义吗?思 考过公式成立的条件吗? ( Ⅰ )这里的“倍角”专指“二倍角”, 遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可 省去; ( Ⅱ)通过二倍角公式 ,可以用单角的三 角函数表示二倍角的三角函数; (Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公 式的特殊情况; (Ⅳ)公式( S 2? ),( C2? )中的角 ? 没有 限 制 , 都 是 ? ? R . 但 公 式 ( T2? ) 需 在

位,教师要引 导学生观察思 考公式的结构 特点。

2? ?

?
2

? k? 和 ? ?

?
2

? k? ( k ? Z ) 时 才

成立,这一条件限制要引起学生的注意. 问题 6:用二倍角公式填空:老师给出等号 左边的二倍角的正弦、余弦和正切,学生填 出等号的左边。 公式理解(公式巩固性练习) 1. 将适当的角填入下列空格: (1) sin

?
2

? 2sin ?
2

? cos ? ?
根据所学二倍角公式的结构 特点,将答案填写在学案相 应位置上。 为了让学生明 了二倍角的相 对性,即二倍 角公式不仅限 于 2? 是 ? 的 二倍的形式, 其他如 4? 是

cos ?
(2) ? cos

? ? ? sin 2 ? ? ? 1 ? 2sin 2 ? ? ? 2 cos 2 ? ? ? 1
2 tan ? 1 ? tan
2

(3) tan 4? ? 应用示例

? ?
5 ? ? , ?? ? ,求 13 4 2

?

2? 的二倍,


例 1:已知 sin 2? ?

a 2

sin 4? ,cos 4? , tan 4? 的值.
活动:教师引导学生分析题目中角的关 系,观察所给条件与结论的结构,注意二倍 角公式的选用,领悟“倍角”是相对的这一 换元思想.让学生体会“倍”的深刻含义, 它 是描述两个数量之间关系的 .本题中的已知 条件给出了 2? 的正弦值.由于 4? 是 2? 的 二倍角,因此可以考虑用倍角公式. 解:由

a 的二倍 4

等,所有这些 都可以应用二 倍角公式.

?
4

?? ?

?
2

,得

?
2

? 2? ? ? 。



? sin 2? ?

5 , ?cos 2? ? ? 1 ? sin 2 2a 13
在教师的引导下, 理清思路, 掌握三角函数解题的思想方 例 1 是直接应 法,同时注意解题规范和解 用二倍角公式 题格式。 解题,目的是 为了让学生初 步熟悉二倍角 的应用,理解 二倍角的相对 性。

5 12 ? ? 1 ? ( )2 ? ? . 13 13
于是

sin 4? ? sin ? ? 2 ? ? 2? ? ? ? ? 2sin 2? cos 2?

? 2?

5 ? 12 ? 120 ; ??? ? ? ? 13 ? 13 ? 169

2 cos 4? ? cos ? ? 2 ? ? 2? ? ? ? ? 1 ? 2sin 2?

? 5 ? 119 ? 1? 2? ? ? ? ? 13 ? 129
tan 4? ?

2



sin 4? ? 120 ? 169 120 ? ?? ?? ?? cos 4? ? 169 ? 119 119

点评:学生由问题中条件与结论的结构 不难想象出解法, 但要提醒学生注意,在解题 时注意优化问题的解答过程,使问题的解答 简捷、巧妙、规范,并达到熟练掌握的程度. 课题小结 本节我们通过对二倍角公式的推导及 应用,学习了二倍角的正弦、余弦和正切公 式,我们要熟记公式,在解题过程中要善于 发现规律,学会灵活运用公式. 在推导公式的过程当中渗透了由一般到 特殊的数学思想,运用公式当中用到换元的 数学思想方法。 布置作业: 一.必做:课本习题 3.1 A 组 15,16,17 二.选做:B 组 1

回忆所学,记忆公式。

课后巩固知识。

针对不同层次 的学生布置相 应的适合学生 自身的练习 题,有利于提 高学生学习兴 趣。

课后 反思


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