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选修2-3第二章第2节二项分布及其应用(理)






高二 张变英 林卉





数学





人教新课标 A 版 (理)

课程标题 编稿老师 一校

选修 2-3 第二章 第 2 节 二项分布及其应用 二校

李秀卿 审核 孙永涛

一、学习目标: 1. 理解条件概率和相互独立事件的概念,并能进行简单的运用。 2. 理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布,并能解答一些简单的实际问题。

二、重点、难点:
重点:理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布,并能解答一些简单的实际问题 难点:能进行一些与 n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

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三、考点分析:
1. 在近几年的高考试题中,二项分布是分布列中最重要的一种分布,因此我们要熟练 掌握并运用它。主要以一道解答题来考查该知识点。 2. 要理解条件概率和相互独立事件,并能结合我们所学的互斥事件来综合求解概率问 题。

基本概念
1. 条件概率的定义: 一般地,设 A,B 为两个事件,且 P(A)>0,称 P ( B A) ?

P ( AB ) 为在事件 A 发 P ( A)

生的条件下,事件 B 发生的条件概率。一般把 P(B|A)读作 A 发生的条件下 B 发生的概 率。为了把条件概率推广到一般情形,不妨记原来的样本空间为 Q,则有

n? A B ? n ?Q? P ( AB ) n ( AB ) P( B |A ) ? ? ? n ? A? P( A ) n ( A ) n ?Q?

一般地,我们用 Q 来表示所有基本事件的集合,叫做基本事件空间(或样本空间) 注意: (1)条件概率的取值在 0 和 1 之间,即 0≤P(B|A)≤1 (2)如果 B 和 C 是互斥事件,则 P(B∪C |A)= P(B|A)+ P(C|A) (3)要注意 P(B|A)与 P(AB)的区别,这是分清条件概率与一般概率问题的关键。 2. 概率 P(B|A)与 P(AB)的区别与联系 联系:事件 A,B 都发生了

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区别:样本空间不同: 在 P(B|A)中,事件 A 成为样本空间; 在 P(AB)中,样本空间仍为 Q。 3. 相互独立事件的概念 设 A,B 为两个事件,如果事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响(即

P( AB) ? P( A) P( B) ) ,则称事件 A 与事件 B 相互独立。
(1)必然事件 Q 及不可能事件 ? 与任何事件 A 相互独立 (2)若事件 A 与 B 相互独立,则以下三对事件也相互独立: 4. 相互独立事件同时发生的概率: P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

, An 相互独立,那么这 n 个事件同时发生的概率,等于每 个事件发生的概率的积, P( A1 ? A2 ? ? An ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? P( An )
一般地,如果事件 A1 , A2 , 5. n 次独立重复试验与二项分布 (1)n 次独立重复试验的定义: 指在同样条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验 (2)n 次独立重复试验的概率公式: 一般地, 如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 P , 那么在 n 次独立重复试验中这个
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k k 事件恰好发生 k 次的概率 Pn (k ) ? Cn P (1 ? P) n?k .它是 ? (1 ? P) ? P ? 展开式的第 k ? 1
n



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(3)离散型随机变量的二项分布: 在 一 次 随 机 试 验 中 , 某 事 件 可 能 发 生也 可 能 不 发 生 , 在 n 次独立重复试验中这个事件发生的次数 X 是一个随机变量.如果在一次 试验中某事件发生的概率是 P,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率 是
k k n ?k (k=0,1,2,…,n, q ? 1 ? p ) . Pn ( X ? k ) ? Cn p q ,

于是得到随机变量 X 的概率分布如下: X P 0 1
0 n 0 n

?
1 n 1 n ?1

k

?
k n k n?k

n
n n 0 Cn p q

C pq

C pq

?

C p q

?

k k n?k 由 于 Cn p q 恰好是二项展开式
0 0 n 1 1 n?1 k k n ?k n n 0 (q ? p) n ? Cn p q ? Cn p q ? ? ? Cn p q ? ? ? Cn p q

中 各 项 的值 , 所以 称 这样 的 随 机变 量 X 服 从 二项 分 布 ,记 作 X ~ B ( n , p ) ,其中 n , p 为参数。

知识点一 条件概率的运用 例 1. 在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题,如果不放回地依次抽取 2 道题,求:
(1)第一次抽取到理科题的概率; (2)第一次和第二次都抽取到理科题的概率; (3)在第一次抽到理科题的条件下,第二次抽到理科题的概率。 思路分析: 1)题意分析:本题考查了古典概型概率和条件概率的综合运用。

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2)解题思路:首先分析这次试验的所有的基本事件数,对于第(1) (2)小题,结合 我们所学的古典概型可直接得解。而第(3)小题要求条件概率,故需结合条件概率来解 答。 解题过程:设第 1 次抽到理科题为事件 A,第 2 次抽到理科题为事件 B,则第 1 次和 第 2 次都抽到理科题为事件 AB。 (1)从 5 道题中不放回地依次抽取 2 道题的事件数为 2 n(?) ? A5 ? 20 1 1 根据分步乘法计数原理,n( A) ? A3 ? A4 ? 12

? P ( A) ?

n( A) 12 3 ? ? n(? ) 20 5

2 (2) n( AB) ? A3 ?6

? P ( AB ) ?

n( AB ) 6 3 ? ? n(? ) 20 10

(3)解法一:由(1) (2)可得,在第一次抽到理科题的条件下,第二次抽到理科题 的概率为

3 P( AB) 10 1 P( B A) ? ? ? 3 2 P( A) 5
解法二:因为 n(AB)=6,n(A)=12,所以

P( B A) ?

n( AB) 6 1 ? ? n( A) 12 2

解法三:第一次抽到理科题,则还剩下两道理科题、两道文科题,故第二次抽到理科 题的概率为

1 。 2

解题后的思考: 理解一般概率的求解和条件概率的求解的不同之处在于样本空间的变 化。 例 2. 甲、乙两地都位于长江下游,根据一百多年的气象记录,知道甲、乙两地一年中 雨天所占的比例分别为 20%和 18%,两地同时下雨的比例为 12%,问: (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少? (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少? (3)甲、乙两地至少一地下雨的概率是多少? 思路分析: 1)题意分析:本题直接考查了条件概率的求解运用。 2)解题思路:对于第(1) (2)小题,我们可根据条件概率的公式求解。而第(3) 小题中对“至少一地下雨”的概率的理解是我们解此题的关键。能从集合的角度来分析则 较好理解。 解题过程: 设 A={甲地为雨天}, B={乙地为雨天}, 则P (A) =20%, P (B) =18%, P(AB)=12%, (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是 P ( AB ) 12% 2 P ( A B) ? ? ? P ( B ) 18% 3

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(2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是 P ( AB ) 12% 3 P ( B A) ? ? ? P ( A) 20% 5
(3)∵ {甲乙两地至少一地下雨}=A∪ B 而 P(A∪ B)=P(A)+P(B)-P(AB)=20%+18%-12%=26% ∴ 甲、乙两地至少一地下雨的概率为 26% 解题后的思考: 理解条件概率的概念及求解两事件中至少有一个事件发生时所用的概 率公式 P(A∪ B)=P(A)+P(B)-P(AB) 。

知识点二 相互独立事件的概念
例 3. 判断下列事件是否为相互独立事件。 ① 篮球比赛的“罚球两次”中, 事件 A:第一次罚球,球进了。 事件 B:第二次罚球,球进了。 ② 袋中有三个红球,两个白球,采取不放回的取球。 事件 A:第一次从中任取一个球是白球。 事件 B:第二次从中任取一个球是白球。 ③ 袋中有三个红球,两个白球,采取有放回的取球。 事件 A:第一次从中任取一个球是白球。 事件 B:第二次从中任取一个球是白球。 思路分析: 1)题意分析:本题考查对相互独立事件的概念的简单运用。 2)解题思路:理解相互独立事件的概念,然后判定事件 A 的发生是不是对事件 B 发 生的概率有所影响来确定。 解题过程:对于① ,两次罚球,由于第一次罚球对第二次罚球是否进球没有影响,故 是相互独立事件。 对于② ,由于不放回的取球,事件 A 为第一次取出白球的概率为 次取出白球的概率为

2 ,事件 B 为第二 5

1 2 1 。若事件 A 不发生,则事件 B 的概率为 = 。显然事件的概率 4 4 2

受到了影响,故它们不是相互独立事件。 对于③ ,由于是有放回的取球,故事件 A 的发生与否,对事件 B 发生的概率都没有 影响,二者发生的概率都是

2 ,因此是相互独立事件。 5

解题后的思考:理解相互独立事件的概念,并能在实际中进行简单的判定。注意有放 回的抽样问题和不放回的抽样问题的不同之处。 例 4.(1)甲,乙两人同时对敌机进行炮击,已知甲击中敌机的概率为 0.6,乙击中敌机 的概率为 0.5,求敌机被击中的概率。 (2)已知诸葛亮解出问题的概率为 0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为 0.5,老二为 0.45,老三为 0.4,且每个人必须独立解题,问三个臭皮匠中至少有一人解出问题的概率 与诸葛亮解出问题的概率相比较,谁大? 思路分析:

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1)题意分析:本题考查独立事件概率的求解运用。 2)解题思路:理解相互独立事件的概率,并能利用其解决实际问题。 解题过程: (1)设 A={ 甲击中敌机 },B={ 乙击中敌机 },C={敌机被击中 } 则C ? A B. 依题设, P( A) ? 0.6, P( B) ? 0.5 由于甲,乙同时射击,甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性,所以 A 与 B 相互 独立,进而

C ? A B ? P(C) ? 1 ? P(C ) ? 1 ? P( A) P( B) ? 1 ? [1 ? P( A)][1 ? P( B)] ? 1 ? (1 ? 0.6)(1 ? 0.5) = 0.8
故敌机被击中的概率为 0.8 (2)三个臭皮匠中至少有一人解出问题的概率为

1 ? P( A ? B ? C ) ? 1 ? 0.5 ? 0.55 ? 0.6 ? 0.835 ? 0.8 ? P ( D)
所以,合三个臭皮匠之力则解出问题的把握就大过诸葛亮。 解题后的思考:能综合运用对立事件的概率及相互独立事件的概率来解决概率的问 题。

知识点三 n 次独立重复试验与二项分布
例 5. 某射手每次射击击中目标的概率是 0.8,求这名射手在 10 次射击中, (1)恰有 8 次击中目标的概率; (2)至少有 8 次击中目标的概率. (结果保留两个有效数字) 思路分析: 1)题意分析:本题考查 n 次独立重复试验中事件 A 发生 k 次的概率的运用。 2)解题思路:理解“恰好”与“至少” ,从而结合 n 次独立重复试验中事件 A 恰好 发生 k 次的概率来求解。 解题过程:设 X 为击中目标的次数,则 X~B(10,0.8). (1)在 10 次射击中,恰好有 8 次击中目标的概率为
8 P(X=8)= C10 ? 0.88 ? (1 ? 0.8)10?8 ? 0.30 。

(2)在 10 次射击中,至少有 8 次击中目标的概率为 P(X≥8)=P(X=8)+ P(X=9)+ P(X=10)
8 9 10 C10 ? 0.88 ? (1 ? 0.8)10?8 ? C10 ? 0.89 ? (1 ? 0.8)10?9 ? C10 ? 0.810 ? (1 ? 0.8)10?10 ? 0.68 。

解题后的思考:解“至多”,“至少”类问题往往运用逆向思维法。

王新敞
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例 6. 一批玉米种子,其发芽率是 0.8。 (1)问每穴至少种几粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于 98% ?(2)若 每穴种 3 粒,求恰好有 2 粒发芽的概率. ( lg 2 ? 0.3010 ) 思路分析: 1)题意分析:本题是对 n 次独立重复试验与二项分布的综合考查。 2)解题思路:对于实际问题的求解,审核题目是关键。第一问,为保证每穴至少有 一粒发芽的概率大于 98%,运用对立事件的概率求解较简单。第二问,每穴种 3 粒,相当 于 3 次独立重复试验,然后求事件 A 恰好发生 2 次的概率。

) ? 0 8 . 解题过程: 记事件 A =“种一粒种子, 发芽”, 则 P( A

,P( A) ? 1 ? 0.8 ? 0.2 ,

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(1)设每穴至少种 n 粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于 98% . ∵ 每穴种 n 粒相当于 n 次独立重复试验,记事件 B =“每穴至少有一粒发芽”,则
0 0 n n P(B) ? P n (0) ? Cn 0.8 (1 ? 0.8) ? 0.2 。

∴P(B) ? 1 ? P(B) ? 1 ? 0.2n 。 由题意,令 P( B) ? 98% ,所以 0.2 ? 0.02 ,两边取常用对数得,
n

n lg 0.2 ? lg 0.02 .即 n(lg 2 ? 1) ? lg 2 ? 2 , lg 2 ? 2 1.6990 ∴n ? ? ? 2.43 ,且 n ? N ,所以取 n ? 3 。 lg 2 ? 1 0.6990
答:每穴至少种 3 粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于 98% 。 (2)∵ 每穴种 3 粒相当于 3 次独立重复试验, 2 ∴ 每穴种 3 粒,恰好有 2 粒发芽的概率为 P ? C3 0.384 , ? 0.82 ? 0.2 ?? 0.384 答:每穴种 3 粒,恰好有 2 粒发芽的概率为 0.384。 解题后的思考:能通过对试题的分析,理解 n 次独立重复试验,并能准确运用二项分 布的概率公式准确地计算。 小结:本讲内容我们主要理解三个基本概念:条件概率和相互独立事件,以及 n 次独 立重复试验。同时要能掌握三个概率公式:n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概 率,条件概率公式,以及相互独立事件同时发生的概率公式。以上所述是我们学好本讲的 关键。

1. n 次独立重复试验和二项分布是我们学习的重点,也是必须熟练掌握的知识。 2. 条件概率和相互独立事件,以及 n 次独立重复试验的概念的理解,是我们解决问题 的首要条件,根据不同的要求来选择合适的公式进行求解。

一、预习新知
选修 2-3 第二章 第 3 节 离散型随机变量的均值和方差

二、预习点拨
探究与反思: 探究任务:离散型随机变量的均值和方差 【反思】 (1)如何求离散型随机变量的均值和方差? (2)特殊两点分布和二项分布的均值和方差的公式分别是什么?

(答题时间:45 分钟)
一、选择题 1. 袋中有 3 个红球、2 个白球,从中任取 2 个,用 X 表示取到白球的个数,则 X 的分 布列为( )

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2. 两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为

2 3 和 ,两个零件是否 3 4
) D.

加工为一等品相互独立,则 这两个零件中恰有一个一等品的概率为( A.

1 2

B.

5 12

C.

1 4

1 6

3. 一位国王的铸币大臣在每箱 1 00 枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊, 他用两种方法来检测。方法一:在 10 箱子中各任意抽查一枚;方法二:在 5 箱中各任意 抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为 p1 和 p2 ,则( ) A. p1 = p2 C. p1 > p2 B. p1 < p2 D. 以上三种情况都有可能

4. 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次,记“硬币正面向上”为事件 A,“骰子 向上的点数是 3”为事件 B,则事件 A,B 中至少有一件发生的概率是( ) A.

5 12

B.

1 2

C.

7 12

D.

3 4


5. 若事件 E 与 F 相互独立,且 P ? E ? ? P ? F ? ? A. 0 B.

1 16

C.

1 4

1 ,则 P?E ? F ? 的值等于( 4 1 D. 2

6. 位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向 为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是 率为( ) B. C5 ( )
2

1 。质点 P 移动 5 次后位于点 (2,3) 的概 2 1 2
3

1 5 A. ( ) 2

1 2

5

C. C5 ( )

3

D. C5 C5 ( )

2

3

1 2

5

二、填空题 7. 甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是 0.8、0.6、0.5,则三人

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都达标的概率是 ,三人中至少有一人达标的概率是 。 8. 口袋中有 5 个白色乒乓球,5 个黄色乒乓球,从中任取 5 次,每次取 1 个后又放回, 则 5 次中恰有 3 次取到白球的概率为 。 9. 某篮球运动员在三分线投球的命中率是 . (用数值作答)

1 ,他投球 10 次,恰好投进 3 个球的概率为 2


1 1 1 10. 事件 A,B,C 相互独立, 若 P( A 则 P( B) ? · B) ? ,P( B · C ) ? ,P( A ·B · C) ? , 6 8 8
三、解答题

11. 从集合 ?1,2,3,4,5? 的所有非空子集中,等可能地取出一个。 (1) 记性质 r: 集合中的所有元素之和为 10, 求所取出的非空子集满足性质 r 的概率; (2)记所取出的非空子集的元素个数为 ? ,求 ? 的分布列。 12. 某人向一目标射击 4 次,每次击中目标的概率为

1 ,该目标分为 3 个不同的部分, 3

第一、二、三部分面积之比为 1:3:6,击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成 正比。 (1)设 X 表示目标被击中的次数,求 X 的分布列; (2)若目标被击中 2 次,A 表示事件“第一部分至少被击中 1 次或第二部分被击中 2 次” ,求 P(A) 。 13. 在 1,2,3,?,9 这 9 个自然数中,任取 3 个数。 (1)求这 3 个数中恰有 1 个是偶数的概率; (2)记 ? 为这 3 个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为 1,2,3,则有两组 相邻的数 1,2 和 2,3,此时 ? 的值是 2) 。求随机变量 ? 的分布列。

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1. 【答案】D 【解析】考查了离散型随机变量分布列的求解运用 2. 【答案】B 【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为 A,则 P(A)=P(A1)+ P(A2)= 3.【答案】B 【解析】

2 1 1 3 5 ? + ? = 3 4 3 4 12

P1= 1-0.9910 ,P2= 1-0.985.
0 1 2 ?1 ? 0.01? =C10 ?? 0.01? ? C10 ?? 0.01? ? ? 0.9910 = ? C10 10 2

? 1 ? 0.1 ? 0.0045? ? ? 0.9045.
1 ?? 0.02? ? C52 ?? 0.02? ? ? 0.985 ? ?1 ? 0.02? ? C50 ? C5 5 2

? 1 ? 0.1 ? 0.04 ? ? ? 0.9040. ? P1 ? P2
4. 【答案】C 【解 析】 用 间接 法 考虑 ,事 件 A 、 B 一 件 都不 发生的 概 率为

7 ? 1? ? 1? 5 P AB ? P A ? P B ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ,则所求概率 ? 1 ? P AB ? ,故 C 正 12 ? 2 ? ? 6 ? 12
确。 5.【答案】B 【解析】 P?E ? F ? ? P?E ? ? P?F ? ?

? ? ?? ??

? ?

1 1 1 ? ? 4 4 16

6. 【答案】B 【解析】质点 P 在移动过程中向右移动 2 次、向上移动 3 次,因此质点 P 移动 5 次
2 后位于点 (2,3) 的概率为 P ? C5 ( ) (1 ? ) = C5 ? ? 。
2 2 3

1 2

1 2

?1? ? 2?

5

7. 【答案】0.24 0.76 【解析】三人均达标的概率为 0.8× 0.6× 0.5=0.24,三人中至少有一人达标的概率为 1-0.24=0.76。 8. 【答案】

5 16
3 5 ?3 3 5

【解析】本題是独立重复实验,任意取球 5 次,取得白球 3 次的概率为

?1? ? 1? P5 ?3? ? C ? ? ?1 ? ? ? 2? ? 2? 15 9. 【答案】 128

5 ?1? ? C ?? ? ? 。 ? 2 ? 16
3 5

5

【解析】利用 n 次独立重复试验的概率公式来求解。

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1 2 【解析】利用相互独立事件同时发生的概率公式求解运算。 11. 解: (1)记“所取出的非空子集满足性质 r”为事件 A,基本事件总数
10. 【答案】
1 2 3 4 5 n ? C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? C5 ? 31.

事件 A 包含的基本事件是{1,4,5}, {2,3,5},{1,2,3,4}; 事件 A 包含的基本事件数 m=3。

? P( A) ?

(2)依题意, ? 的所有可能取值为 1,2,3,4,5
1 3 C5 C52 10 C54 5 10 ? , P(? ? 2) ? ? , P(? ? 3) ? ? , 又 P(? ? 1) ? , 31 31 31 31 31 31 C4 C5 5 1 P(? ? 4) ? 5 ? , P(? ? 5) ? 5 ? , 31 31 31 31 故 ? 的分布列为: ? 1 2 3 4 5 5 10 10 5 1 P 31 31 31 31 31 80 ∴E ? = 31

m 3 ? . n 31

12. 解: (1)依题意可得:X 的分布列为 X P 0 1 2 3 4

16 81

32 81

24 81

8 81

1 81

(2)设 Ai 表示事件“第一次击中目标时,击中第 i 部分”,i=1,2。 B1 表示事件“第二次击中目标时,击中第 i 部分”,i=1,2 依题意知 P(A1)=P(B1)=0.1,P(A2)=P(B2)=0.3,

P( A) ? P( A1 B1 ) ? P( A1 B1 ) ? P( A1 B1 ) ? P( A2 B2 ) ? P( A1 ) P( B1 ) ? P( A1 ) P( B1 ) ? P( A1 ) P( B1 ) ? P( A2 B2 ) ? 1 ? 0.9 ? 0.9 ? 0.1 ? 0.1 ? 0.1 ? 0.3 ? 0.3 ? 0.28
13. 解: (1)记“这 3 个数中恰有 1 个是偶数”为事件 A,则 P( A) ?
1 2 C4 C5 10 ? . 3 21 C9

取 值 为 0,1,2, 则? 的分布列是 (2)随机变量 ?的

?
P

0

1

2

5 12

1 2

1 12

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