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直线的点法式方程


二、直线的点法式方程 教学目的 1、了解直线的法向量概念 2、了解直线的点法式方程。 3、会简单地利用直线的法向量求直线方程。 教学重、难点 1、 直线的方向概念 2、 利用直线的方向求直线方程 教学计划 两课时 教学过程 1、 直线的法向量 如果非零向量 n 与直线 l 垂直,则称向量 n 为直线 l 的法向量 2、直线法向量的求法 过直线外一点与直线垂直的直线有且仅有一条。举例说明 注意 直线的法向量不唯一 3、直线的点法式方程 已知直线 l 过点 P0( x0 , y0),一非零向量 n=(A , B)是它的法向量,求直线 l 的方程。 设 P(x , y)是直线 l 上的任意一点,则点 P(x, y)在直线 l 上的充要条件是:
? p0 p ? n ? 0

又 p 0 p =(x-x0,y-y0) ,n=(A , B) 所以
(x ? x0 , x ? y0 ) ? (?, ?) ? 0

整理,得直线 l 的方程为 A(x-x0)+B(y-y0)=0 此方程是由直线 l 上一点 P0( x0 , y0),直线 l 的法向量 n=(A , B)确定的,所以,该方 程叫做直线的点法式方程 如果 B=0,则直线与 x 轴垂直与 y 轴平行,方程为 x=x0。 如果 A=0,则直线与 y 轴垂直与 x 轴平行,方程为 y=y0。 4、 例题讲解 例 1 已知直线 l 过点 P0(3,1) ,且与两点 P1(-1,0),P2(3,2)的连线垂直,求直线 l 的方程. 解: 因为 p 1 p 2 ? l ,所以, p 1 p 2 ? ( 3 ? 1, 2 ? 0 ) ? ( 4 , 2 ) 为所求直线 l 的一个法向量, 即

n=(4, 2) 又因为直线过点(3,1) ,代入直线的点法式方程得 4(x-3)+2(y-1)=0

整理,得直线 l 的方程为 2x+y-7=0 5、附加题 求满足下列条件的直线方程 1、过点(4,-3) ,且与 y 轴垂直的直线。 2、过点(-2,3) ,且与 x 轴垂直的直线。 3、过点(2,0) ,且与向量 n=(0,3)垂直的直线。 6、作业 P195 习题 A 第 5 题(5) 、(6)


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