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2015届高三数学人教B版(通用,理)8函数与方程学生版


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函数与方程

1. 函数的零点 (1)定义:如果函数 y=f(x)在实数 α 处的值等于零,即 f(α)=0,则 α 叫做这个函数的零 点. (2)变号零点:如果函数图象通过零点时穿过 x 轴,则称这样的零点为变号零点. (3)几个等价关系 方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零

点. 2. 零点存在性定理 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值异号, 即 f(a)f(b)<0,则这个函数在这个区间上,至少有一个零点,即存在一点 x0∈(a,b),使 f(x0)=0. 3. 用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤 第一步,确定区间[a,b],验证 f(a)f(b)<0; 第二步,求区间(a,b)的中点 c1; 第三步,计算 f(c1): (1)若 f(c1)=0,则 c1 就是函数的零点; (2)若 f(a)f(c1)<0,则令 b=c1(此时零点 x0∈(a,c1)); (3)若 f(b)f(c1)<0,则令 a=c1(此时零点 x0∈(c1,b)); 第四步,判断 x0 是否满足给定的精确度;否则重复第二、三、四步. 4. 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 二次函数 y=ax2 +bx+c(a>0)的 图象 与 x 轴的交点 零点个数 (x1,0),(x2,0) 2个 (x1,0) 1个 无交点 0个 Δ=0 Δ<0

1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点.
1

(

)

(2)函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则 f(a)· f(b)<0. ( (3)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)在 b2-4ac<0 时没有零点. (4)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值. (5)函数 y=2sin x-1 的零点有无数多个. 1 (6)函数 f(x)=kx+1 在[1,2]上有零点,则-1<k<- . 2 2. (2013· 天津)函数 f(x)=2x|log0.5 x|-1 的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 ( ( ( ( ( )

) ) )

) )

3. (2013· 重庆)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点 分别位于区间 A.(a,b)和(b,c)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 ( )

4. 在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为 1 1 1 1 1 3 A.(- ,0) B.(0, ) C.( , ) D.( , ) 4 4 4 2 2 4

(

)

5. 已知函数 f(x)=ln x-x+2 有一个零点所在的区间为(k, k+1) (k∈N+), 则 k 的值为________.

题型一 函数零点的判断和求解 例1 (1)(2012· 湖北)函数 f(x)=xcos x2 在区间[0,4]上的零点个数为 A.4 B.5 C.6 D .7 ( )

2 (2)设函数 f(x)=x2+ (x≠0).当 a>1 时,方程 f(x)=f(a)的实根个数为________. x

(1)函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是 A.(-2,-1) C.(0,1) B.(-1,0) D.(1,2)

(

)

(2)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x), 且当 x∈[0,1]时, f(x)=x, 则函数 y=f(x) -log3|x|的零点个数是 A.多于 4 个 C.3 个 B.4 个 D.2 个
2

(

)

题型二 二次函数的零点问题 例2 是否存在这样的实数 a,使函数 f(x)=x2+(3a-2)x+a-1 在区间[-1,3]上恒有一个零 点,且只有一个零点?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由.

已知 f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比 1 大,一个零点比 1 小,求实 数 a 的取值范围.

题型三 函数零点的应用 例3 若关于 x 的方程 22x+2xa+a+1=0 有实根,求实数 a 的取值范围.

已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(x), 当-1<x≤1 时, f(x)=x3, 若函数 g(x)=f(x)-loga|x|至少有 5 个零点,则 a 的取值范围是 A.(1,5) 1 C.(0, ]∪[5,+∞) 5 1 B.(0, )∪[5,+∞) 5 1 D.[ ,1]∪(1,5] 5 ( )

3

函数与方程思想的应用 e2 典例:(12 分)已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ (x>0). x (1)若 y=g(x)-m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.

方法与技巧 1. 函数零点的判定常用的方法有 (1)零点存在性定理;(2)数形结合;(3)解方程 f(x)=0. 2. 研究方程 f(x)=g(x)的解,实质就是研究 G(x)=f(x)-g(x)的零点. 3. 转化思想:方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题;已知方程有解求 参数范围问题可转化为函数值域问题. 失误与防范 1. 函数 f(x)的零点是一个实数,是方程 f(x)=0 的根,也是函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的 横坐标. 2. 函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要条件;判断零点个数还要 根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.

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A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一、选择题 1. 方程 log3x+x-3=0 的解所在的区间是 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 2. 方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 3. 若关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是( A.(-1,1) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-2,2) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) ( )

(

)

)

4. 已知三个函数 f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x 的零点依次为 a,b,c,则 ( A.a<b<c C.b<a<c B.a<c<b D.c<a<b )

1 5. 已知 x0 是函数 f(x)= +ln x 的一个零点,若 x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( 1-x A.f(x1)<0,f(x2)<0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 二、填空题 B.f(x1)>0,f(x2)>0 D.f(x1)<0,f(x2)>0

)

6. 定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:当 x>0 时,f(x)=2 015x+log2 015x,则在 R 上,函数 f(x) 零点的个数为________.

x ? ?2 -1,x>0, ? 7. 已知函数 f(x)= 若函数 g(x)=f(x)-m 有 3 个零点,则实数 m 的取值 2 ? ?-x -2x,x≤0,

范围是________.

5

8. 若函数 f(x)=x2+ax+b 的两个零点是-2 和 3,则不等式 af(-2x) >0 的解集是________.

三、解答题 x 1 9. 已知函数 f(x)=x3-x2+ + . 2 4 1 证明:存在 x0∈(0, ),使 f(x0)=x0. 2

10.已知函数 f(x)=4x+m· 2x+1 有且仅有一个零点,求 m 的取值范围,并求出该零点.

B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 1. 已知 x1,x2 是函数 f(x)=e x-|ln x|的两个零点,则


(

)

1 A. <x1x2<1 e C.1<x1x2<10

B.1<x1x2<e D.e<x1x2<10

2. 若直角坐标平面内的两点 P,Q 满足条件:①P,Q 都在函数 y=f(x)的图象上;②P,Q 关于原点对称.则称点对[P,Q]是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(点对[P,Q]与[Q,
?log2x,x>0, ? P]看作同一对“友好点对”).已知函数 f(x)=? 2 则此函数的“友好点 ?-x -4x,x≤0, ?

对”有 A.0 对 B.1 对 C.2 对 D.3 对

(

)

3. 若方程 4-x2=k(x-2)+3 有两个不等的实根,则 k 的取值范围是________.

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4. 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的取值范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的取值范围.

5. 已知 a 是正实数,函数 f(x)=2ax2+2x-3-a.如果函数 y=f(x)在区间[-1,1]上有零点, 求 a 的取值范围.

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