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【高考调研】2015高考数学(人教新课标文科)课时作业:专题研究 一元二次方程根的分布]


课时作业(四十一)
1. (2013· 天津)已知函数 f(x)=x(1+a|x|). 设关于 x 的不等式 f(x+a)<f(x)的解 1 1 集为 A.若[-2,2]?A,则实数 a 的取值范围是( A.( 1- 5 2 ,0) B.( 1- 3 2 ,0) 1- 5 2 ) )

1- 5 1+ 3 C.( 2 ,0)∪(0, 2 ) 答

案 解析 A

D.(-∞,

由题意可得 0∈A, 即 f(a)<f(0)=0, 所以 a(1+a|a|)<0, 当 a>0 时无解,

所以 a<0,此时 1-a2>0,所以-1<a<0.函数 f(x)的图像(图略)中两抛物线的对称 1 1 轴 x=2a,x=-2a之间的距离大于 1,而[x+a,x]的区间长度小于 1,所以不等 1 a 1 a 1 1 1 a 1 a 式 f(x+a)<f(x)的解集是(2a-2,-2a-2),所以[-2,2]?(2a-2,-2a-2). 1 a 1 ? ?2a-2<-2, 所以? 1 a 1 - ? ? 2a-2>2,
2 ?a -a-1<0, 1- 5 1+ 5 即? 2 解得 2 <a< 2 , 又-1<a<0, ?a +a+1>0,

1- 5 所以实数 a 的取值范围是( 2 ,0). 2.设 A=[-2,4),B={x|x2-ax-4≤0},若 B?A,求实数 a 的取值范围. 答案 思路 决. 解析 因 x2-ax-4=0 有两个实根 a2 a 4+ 4 ,x2=2+ a2 4+ 4 , [0,3) 观察到方程 x2-ax-4=0 有两个实根,故此题不妨用求根公式来解

a x1=2-

故 B?A 等价于 x1≥-2 且 x2<4,即 a 2- a2 a 4+ 4 ≥-2 且2+ a2 4+ 4 <4,解之得 0≤a<3.

3.已知方程 x2+(3m-1)x+(3m-2)=0 的两个根都属于(-3,3),且其中至 少有一个根小于 1,求 m 的取值范围.

答案 解析

1 5 (-3,3) 原方程即为(x+1)(x+3m-2)=0,所以方程两根分别为-1,2-3m,

1 5 而-1 在(-3,1)上,则由题意,另一根满足-3<2-3m<3?-3<m<3. 4. 已知方程 4x2+2(m-1)x+(2m+3)=0(m∈R)有两个负根, 求 m 的取值范 围. 答案 [11,+∞) 依题意有?-?m-1?<0,

解析

?

Δ=4?m-1?2-4×4?2m+3?≥0,

?2m+3>0,

∴m≥11. 5.求实数 m 的范围,使关于 x 的方程 x2+2(m-1)x+2m+6=0. (1)有两个实根,且一个比 2 大,一个比 2 小; (2)有两个实根 α,β,且满足 0<α<1<β<4; (3)至少有一个正根. 答案 解析 (1)(-∞,-1) 7 5 (2)(- ,- ) (3)(-∞,-1] 5 4

设 y=f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6.

(1)依题意有 f(2)<0,即 4+4(m-1)+2m+6<0,得 m<-1.

?f?0?=2m+6>0, (2)依题意有?f?1?=4m+5<0, ?f?4?=10m+14>0,
7 5 解得-5<m<-4. (3)方程至少有一个正根,则有三种可能: Δ≥0, ? ?f?0?>0, ①有两个正根,此时可得? 2?m-1? ? ? -2 >0,

?m≤-1或m≥5, 即?m>-3, ?m<1,

∴-3<m≤-1.

②有一个正根,一个负根,此时可得 f(0)<0,得 m<-3. ?6+2m=0, ③有一个正根,另一根为 0,此时可得? ?2?m-1?<0, ∴m=-3. 综上所述,得 m≤-1. 6. 已知二次方程 mx2+(2m-1)x-m+2=0 的两个根都小于 1, 求 m 的取值 范围. 答案 解析
2

3+ 7 1 (-∞,- )∪[ ,+∞) 2 4 方法一:二次方程两个根都小于 1,其充要条件为 ① ②

?2m-1? +4m?m-2?≥0, ? ?m[m+?2m-1?-m+2]>0, ? 2m-1 ? ?- 2m <1. ③

①即为 8m2-12m+1≥0,它的解集是(-∞,

3- 7 3+ 7 ] ∪ [ 4 4 ,+∞).

1 ②即为 m(2m+1)>0,它的解集是(-∞,-2)∪(0,+∞). 1 ③的解集是(-∞,0)∪(4,+∞). 3+ 7 1 所以 m 的取值范围是(-∞,-2)∪[ 4 ,+∞). 方法二:二次方程 mx2+(2m-1)x-m+2=0 有两个根的充要条件是 Δ≥0. 设两根为 x1,x2,由于 x1,x2 都小于 1,即 x1-1<0,x2-1<0,其充要条件 为: ??x1-1?+?x2-1?<0, ? ??x1-1??x2-1?>0, ?x1+x2-2<0, 即? ?x1x2-?x1+x2?+1>0.

因此,方程两个根都小于 1 的充要条件是:

? ?-2m-1-2<0, ? m -m+2 2m-1 ? ? m + m +1>0,
以下同方法一(略).

?2m-1?2+4m?m-2?≥0,

7.如果二次函数 y=mx2+(m-3)x+1 的图像与 x 轴的交点至少有一个在原 点的右侧,试求 m 的取值范围. 答案 解析 {m|m≤1 且 m≠0} ∵f(0)=1>0,

(1)当 m<0 时,二次函数图像与 x 轴有两个交点且分别在 y 轴两侧,符合题 意. ?Δ≥0, ? (2)当 m>0 时,则?3-m >0, ? ? m

解得 0<m≤1.

综上所述,m 的取值范围是{m|m≤1 且 m≠0}. 8.已知 a 是实数,函数 f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函数 y=f(x)在区间[- 1,1]上有零点,求 a 的取值范围. 答案 解析 (-∞, -3- 7 ]∪[1,+∞) 2

函数 y=f(x)在区间[-1,1]上有零点, 即方程 f(x)=2ax2+2x-3-a=0

在[-1,1]上有解. a=0 时, 不符合题意, 所以 a≠0, 方程 f(x)=0 在[-1,1]上有解?f(-1)· f(1)≤0

? ?af?1?≥0, 或?Δ=4+8a?3+a?≥0, 1 ? ?-a∈[-1,1]
1≤a≤5 或 a≤

af?-1?≥0,

?

-3- 7 -3- 7 或 a≥5?a≤ 或 a≥1. 2 2

所以实数 a 的取值范围是 a≤

-3- 7 或 a≥1. 2


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