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北京市2013届高三数学理试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题)专题:三角函数(含答案)


北京 2013 届高三最新模拟试题分类汇编(含 9 区一模及上学期期末试题精选)专题:三角函 数
一、选择题 1 . (2013 届北京大兴区一模理科)函数

f ( x) ?

1 ? cos 2 x cos x





π π , ) 上递增 2 2 π π C

.在 (? , ) 上递减 2 2
A.在 (?

π π , 0] 上递增,在 (0, ) 上递减 2 2 π π D.在 (? , 0] 上递减,在 (0, ) 上递增 2 2
B.在 (?

2 . (北京市东城区普通校 2013 届高三 3 月联考数学(理)试题 )已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象如图所示,

则该函数的解析式可能是 .. y
1

O -1

?

2?

x

第 6 题图

4 1 sin(2 x ? ) 5 5 4 4 1 C. y ? sin( x ? ) 5 5 5
A. y ?

3 1 sin(2 x ? ) 2 5 4 4 1 D. y ? sin( x ? ) 5 5 5
B. y ?

3 . (北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷(解析) 已知函数 )

f ?x ? ? sin ?2 x ? ? ? ,其中 ? 为实数,若
( )

f ( x) ? f ( ) 对 x ? R 恒成立,且 f ( ) ? f (? ) .则下列结论正确的是 2 6
A. f ?

?

?

? 11 ? ? ? ? ?1 ? 12 ?

B. f ?

? 7? ? ?? ? ?? f? ? ? 10 ? ?5? ? ?

C. f ? x ? 是奇函数

D. f ? x ? 的单调递增区间是 ?k? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

?k ? Z ?

4 . (北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试 数学理试题

)函数 y ? 2sin(? x ? ? ) 在一个周期内的图象如图

所示,则此函数的解析式可能是 A. y ? 2sin(2 x ? C. y ? 2sin( x ?
二、填空题 5 . (2013 届北京大兴区一模理科)函数

( B. y ? 2sin(2 x ?



?
4

)

3? ) 8

) 4 x 7? D. y ? 2sin( ? ) 2 16

?

f() s xo 的最大值是 x?i ncs x



6 . (2013 届北京海滨一模理科)在 ?ABC 中,若 a ? 4, b ? 2, cos A ? ? 7 . (2013 届北京海滨一模理科)已知函数 f ( x ) ? sin

1 ,则 c ? _____,sin C ? ____ . 4

π x ,任取 t ? R ,定义集合: 2

At ? { y | y ? f ( x ) ,点 P (t , f (t )) , Q ( x, f ( x )) 满足 | PQ |? 2} .
设 M t , mt 分别表示集合 At 中元素的最大值和最小值,记 h(t ) ? M t ? mt . 则 (1)函数 h(t ) 的最大值是_____; (2)函数 h(t ) 的单调递增区间为________.
8 . 2013 届 北 京 市 延 庆 县 一 模 数 学 理 ) 在 (

?ABC 中 , a, b, c 依 次 是 角 A, B, C 的 对 边 , 且 b ? c . 若

a ? 2, c ? 2 3 , A ?

?
6

,则角 C ?

.

9 . (2013 届门头沟区一模理科)在 ? ABC 中,若 a ? 2 , c ? 3 , tan B ? ? 10. (北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)若 sin ? ? ?

15 ,则 b ?



3 ,且 tan ? ? 0 ,则 cos ? ? . 5 π 11. (北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理科数学) 在△ ABC 中,若 ?B ? , b ? 2a ,则 4

?C ?



12. (北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题) 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

a?

? 1 时, f ( x) 的值域是______;若 f ( x) 的值域是 [? ,1] ,则 a 的取值范围是______. 3 2

π π 其中 x ? [? , a ] . 当 ), 6 6

13.北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷 ( (解析)在 ?ABC 中,若 b ? 4, cos B ? ? )

1 , sin A ? 4

15 , 8

则 a ? _______, c ? ________.
14. 北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试 数学理试题 ( ) 已知 ?ABC 中, AB=

BC=1, C ? 3 cos C , 3, sin

则 ?ABC 的面积为______.
15.北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ) △ABC 中, b ? 2 2 , c ? 1 , B ? 2 2 , a = ( 在 若 则 tan 16.【解析】北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )在 ?ABC 中,若 a ? 2, ?B ? 60?, b ? (

.

7,

则 BC 边上的高等于



17. (北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )在△ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,

A?

? , a ? 13, b ? 3, 则 c ? 3

,△ABC 的面积等于

.

三、解答题 18. (2013 届北京大兴区一模理科)在 ? B 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, cos A = AC

3 π ,B = ,b = 5 4

2.

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求 sin C 及 ? B 的面积. AC

19. (2013 届北京丰台区一模理科)已知函数

f ( x) ? (sin x ? cos x) 2 ? 2 cos 2 x.

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间;

? 3? (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 [ , ] 上的值域. 4 4

20. (2013 届北京海滨一模理科)已知函数 f ( x ) ? 2 ? ( 3 sin x ? cos x ) 2 .

(Ⅰ)求 f ( ) 的值和 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [ ?

π 4

? ? , ] 上的最大值和最小值. 6 3

21. (2013 届北京市延庆县一模数学理)已知 f ( x) ?

3 sin 2 x ? 2 sin 2 x .

(Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)若 x ? [0,

?
6

] ,求 f (x) 的最小值及取得最小值时对应的 x 的取值.

22. (2013 届北京西城区一模理科)已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的一个零点是

π . 4

(Ⅰ )求实数 a 的值; (Ⅱ )设 g ( x) ? f ( x) ? f ( ? x) ? 2 3 sin x cos x ,求 g ( x) 的单调递增区间.

C b c 且 23. (2013 届东城区一模理科) 在△ ABC 中, 三个内角 A ,B , 的对边分别为 a , , , b sin
(Ⅰ)求角 B ; (Ⅱ)若 b ? 2 3 ,求 ac 的最大值.

A ? 3a cos B .

24. (2013 届房山区一模理科数学)已知函数 f ( x) ? 2cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a , b , c ,若 f ( ) ? 2 且 c 2 ? ab , 试判断△ABC 的形状.
25. (2013 届门头沟区一模理科)已知:函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x cos(
2

C 2

π ? x) . 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的对称轴方程; (Ⅱ)当 x ? [0,

7π ] 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值. 12

26. (北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习(二)数学(理)试题 )(本小题满分 13 分) 已

知函数 f ( x) ? sin ? ?x ?

? ?

??

?? ? 2 ?x , 其中 ? ? sin ? ?x ? ? ? 2 cos 6? 6? 2 ?

x ? R ,? ? 0 .

(1)求函数 f (x) 的值域; (2)若函数 f (x) 的图象与直线 y ? ?1 的两个相邻交点间的距离为

?
2

,求函数 f (x) 的单调增区间.

27. (北京市东城区普通校 2013 届高三 3 月联考数学 (理) 试题 ) ?ABC 中, A, B, C 的对边分别为 a, b, c, C ? 在 角

?
3



a ? 5 , ?ABC 的面积为 10 3 .
(Ⅰ)求 b , c 的值; (Ⅱ)求 cos( B ?

?
3

) 的值.

28. (北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)已知函数 f ( x) ?

3 sin x cos x ? cos 2 x ? a .

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期及单调递减区间; (Ⅱ)若 f ( x) 在区间 [ ?

? ? 3 , ] 上的最大值与最小值的和为 ,求 a 的值. 6 3 2

29. (北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理科数学)已知 sin( A ?

π 7 2 π π , A? ( , ) . )? 4 10 4 2

(Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ?

5 sin A sin x 的值域. 2

30. (北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)在△ ABC 中,已知

3 sin 2 B ? 1 ? cos 2 B .

(Ⅰ )求角 B 的值; (Ⅱ )若 BC ? 2 , A ?

? ,求△ ABC 的面积. 4

31 .( 北 京 市 顺 义 区

2013

届 高 三 第 一 次 统 练 数 学 理 科 试 卷 ( 解 析 )) 已 知 函 数

?? ?? ? ? f ? x ? ? cos? 2?x ? ? ? cos? 2?x ? ? ? 1 ? 2 sin 2 ?x, ? x ? R, ? ? 0 ? 的最小正周期为 ? . 6? 6? ? ?
(I)求 ? 的值; (II)求函数 f ? x ? 在区间 ??

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 4 3? ?

32. (北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 )已知函数 f ? x ? ? sin x cos x ? cos x ?
2

(Ⅰ)求 f ? x ? 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ? x ? 在 ? ?

1 . 2

? π π? , 的最大值和最小值. ? 8 2? ?

33. (北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试 数学理试题

) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 锐角 ? 和钝角 ?

的终边分别与单位圆交于 A , B 两点.

3 12 ,点 B 的纵坐标是 ,求 5 13 ??? ??? ? ? 3 (Ⅱ) 若∣AB∣= , 求 OA ? OB 的值. 2
(Ⅰ)若点 A 的横坐标是

y B A

sin(? ? ? ) 的值;

O

x

34. (北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )

(本小题满分 13

分)已知函数

(2 3 sin 2 x ? sin 2 x) ? cos x f ( x) ? ?1. sin x

(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域及最小正周期;

(Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [ , ] 上的最值.

? ? 4 2

35.【解析】北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 ) ( (本小题满分 13 分)

已知函数 f ( x) ? sin

x x x cos ? cos 2 ? 1 . 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递减区间; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 [ ,

? ?? ] 上的最小值. ? ?

36.【解析】北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )已知函数 f ( x ) ? (

sin 2 x ( sin x ? cos x ) . cos x

(Ⅰ)求 f (x) 的定义域及最小正周期; (Ⅱ)求 f (x) 在区间 ??

? ? ?? , 上的最大值和最小值. ? 6 4? ?

37 . 北 京 市 房 山 区 2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 理 试 题 ) 本 小 题 满 分 13 分 ) 已 知 函 数 ( (

f ( x) ?

sin 2 x ? cos 2 x ? 1 . 2 cos x

(Ⅰ)求函数 f (x) 的定义域; (Ⅱ)若 f (? ?

?
4

)?

3 2 ,求 cos ? 的值. 5

北京 2013 届高三最新模拟试题分类汇编(含 9 区一模及上学期期末试题精选)专题:三角函数参考答案 一、选择题 1.

D 2. D
3.

答 案 D 因 为 f ( x) ? f ( ) 恒 成 立 , 所 以

?

?
6

6

是 函 数 的 对 称 轴 , 即 2?

?
6

?? ?

?
2

? k? , k ? Z , 所 以

??

?

? k? , k ? Z ,又 f ( ) ? f (? ) ,所以 sin(? ? ? ) ? sin(2? ? ? ) ,即 ? sin ? ? sin ? ,所以 sin ? ? 0 ,所 6 2

?

以? ?

?

6

,即 f ( x) ? sin(2 x ?

?

6

) .由 ?

?

2

? 2 k? ? 2 x ?

?

6

?

?

2

? 2k? ,得 ?

?

3

? k? ? x ?

?

6

? k? ,即函数

的单调递增区间是 ?k? ?
4.

? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

?k ? Z ? ,所以 D 正确,选 D.

【答案】B 解:由图象可知

T 5? ? ? 2? ? ? ? ,所以函数的周期 T ?? ,又 T ? ?? ,所以 ? ? 2 。所以 2 8 8 2 ?

y ? 2sin(2 x ? ? ) ,又 y ? f ( ) ? 2sin(2 ? ? ? ) ? 2 ,所以 sin( ? ? ) ? 1 ,即 ? ? ? ? 2k? , k ? Z , 8 8 4 4 2
所以 ? ?
二、填空题 5.

?

?

?

?

?

?

? 2k? ,所以 y ? 2sin(2 x ? ) ,选 B. 4 4

?

1 2

3,
6. 7. 8. 9.

3 15 16

2, (2k ? 1, 2k ), k ? Z
120 ?
4

10. 【答案】 ?

4 5

解:因为 sin ? ? ?
11. 【答案】 7?

3 2 4 3 ? 0 , tan ? ? 0 所以 ? 为第三象限,所以 cos ? ? 0 ,即 cos ? ? ? 1 ? (? ) ? ? 。 5 5 5

12
a b 1 a 2a ,即 ,解得 sin A ? ,因为 b ? 2a ? a ,所以 ? ? ? sin A sin B 2 sin A sin 4

【解析】根据正弦定理可得

A ? B ,所以 A ?
12. 【答案】 [ ?

?
6

,所以 C ? ? ? A ? B ?

7? 。 12

1 ? ? ,1] , [ , ] 2 6 2 ?x?

解:若 ? 域是 [?

?
6

?
3

,则 ?

?
3

? 2x ?

2? ? ? 5? 1 π , ? ? 2x ? ? ,此时 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ,即 f ( x) 的值 3 6 6 6 2 6

1 ,1] 。 2 ? x ? a ,则 ?

若?

?
6

?
3

? 2 x ? 2a , ?

?
6

? 2x ?

?
6

? 2a ?

?
6

。因为当 2 x ?

?
6

??

?
6

或 2x ?

?
6

?

7? 时, 6

? 1 1 ? ? 7? ? ,即 ? 2a ? ? ,所以 sin(2 x ? ) ? ? ,所以要使 f ( x) 的值域是 [? ,1] ,则有 ? 2a ? ? 6 2 2 2 6 6 3

?
6

?a?

?
2

,即 a 的取值范围是 [

? ?

, ]。 6 2

13. 答 案 2,3 由 cos B ? ?

15 1 a b 得 , sin B ? 1 ? cos 2 B ? .由正弦定理 得 a?2 . 又 ? 4 4 sin A sin B

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,即 c 2 ? c ? 12 ? 0 ,解得 c ? 3 .
14. 【答案】

3 2

解 : 由 sin C ? 3 cos C 得 tan C ? 3 ? 0 , 所 以 C ?

?
3

。根据正弦定理可得

BC AB ,即 ? sin A sin C

1 ? sin A

3 1 ? ? ? 2 ,所以 sin A ? ,因为 AB ? BC ,所以 A ? C ,所以 A ? ,即 B ? ,所以三角形为 2 6 2 3 2
1 3 。 ? 3 ?1 ? 2 2

直角三角形,所以 S ?ABC ?
15. 【答案】3

解 : 由 tan B ? 2 2 ? 0 , 知 0 ? B ?

?
2

, 得 sin B ?

2 2 1 , cos B ? , 由 余 弦 定 理 可 得 3 3

cos B ?

a 2 ? c2 ? b2 1 a2 ? 1 ? 8 1 7 ? ,即 ? ,整理得 3a 2 ? 2a ? 21 ? 0 ,解得 a ? 3 或 a ? ? (舍去) 。 2ac 3 2a 3 3

16. 【答案】

3 3 2

解:由余弦定理得 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos 60? ,即 7 ? 4 ? c 2 ? 2 ? 2c ? 所以 BC 边上的高为 c sin B ? 3 ? sin 60? ?

1 整理得 c 2 ? 2c ? 3 ? 0 ,解得 c ? 3 。 2

3 3 。 2

17.

4, 3 3

三、解答题 18.解:(Ⅰ)因为 cos A ?

3 4 , A是?ABC内角 ,所以 sin A ? , 5 5


由正弦定理:

a b ? sin A sin B

a 2 ? 4 ? sin 5 4

得: a ?

8 5

(Ⅱ)在 ?ABC 中, sin C ? sin[π ? ( A ? B )] ? sin( A ? B )

4 2 3 2 7 2 ? sin A cos B ? cos A sin B ? ? ? ? ? 5 2 5 2 10 1 1 8 7 2 28 ?ABC 的面积为: s ? ab sin C ? ? ? 2 ? ? 2 2 5 10 25
19.解: (Ⅰ) f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? 2 cos x ?
2

2 sin(2 x ? ) ,…………………3 分 4

?

? 最小正周期 T= ? , …………………………………………………4 分

3? ](k ? Z ) , …………………………………7 分 8 8 ? 3? ? 3? (Ⅱ)? ? x ? , ,? ? 2 x ? 4 4 2 2 ? ? 5? , ……………………………………………10 分 ? ? 2x ? ? 4 4 4 ? 3? …………………………………13 分 ? f ( x) 在 [ , ] 上的值域是 [?1, 2] . 4 4
单调增区间 [k? ?

?

, k? ?

20.解: (I)因为

f ( x ) ? 2 ? ( 3 sin x ? cos x ) 2

= 2 ? (3sin 2 x ? cos2 x ? 2 3 sin x cos x ) ? 2 ? (1 ? 2sin 2 x ? 3 sin 2 x ) ………………2 分
= 1 ? 2sin 2 x ? 3 sin 2 x

? cos 2 x ? 3 sin 2 x ………………4 分

π π π π 2π = 2sin(2 x ? ) ………………6 分所以 f ( ) ? 2sin(2 ? ? ) ? 2sin ? 3 ………………7 分 6 4 4 6 3
所以 f ( x ) 的周期为 T ?

2π 2π ? = π ………………9 分 |? | 2

(II)当 x ? [ ?

π π π 2π π π 5π , ] 时, 2 x ? [ ? , ] , (2 x ? ) ? [ ? , ] 6 3 3 3 6 6 6

所以当 x ? ?

π π 时,函数取得最小值 f ( ? ) ? ?1 ………………11 分 6 6

当x ?

π π 时,函数取得最大值 f ( ) ? 2 ………………13 分 6 6
3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1
…………4 分 …………5 分 …………6 分 …………7 分 …………8 分

21.解: (Ⅰ) f ( x) ?

? 2 sin( 2 x ?
?T ?
由?

?
6

) ?1

?
2

2? ? ? ,? f (x) 最小正周期为 ? . 2 ? 2k? ? 2 x ?

?

? ?

?

2? ? ? 2k? ? 2 x ? ? 2k? 3 3 3 ? k? ? x ?

6

?

?

2

? 2k? (k ? Z ) ,得

?

6

? k?

? f (x) 单调递增区间为 [?
(Ⅱ)当 x ? [0,

?
3

? k? ,

?
6

? k? ](k ? Z ) .

…………9 分 …………10 分 …………11 分 …………13 分 ………………1 分

?
6

] 时, 2 x ?

?

? f (x) 在区间 [0, ] 单调递增, 6

?

?[ , ] , 6 6 2

? ?

?[ f ( x)]min ? f (0) ? 0 ,对应的 x 的取值为 0 .
22. (Ⅰ)解:依题意,得 f ( ) ? 0 ,

π 4

即 sin

π π 2 2a ? a cos ? ? ? 0, 4 4 2 2

………………3 分

解得 a ? 1 .

………………5 分

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin x ? cos x .

………………6 分

g ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? 2 3 sin x cos x ? (sin x ? cos x)(? sin x ? cos x) ? 3 sin 2 x ? (cos 2 x ? sin 2 x) ? 3 sin 2 x
………………7 分

………………8 分 ………………9 分

? cos 2 x ? 3 sin 2 x

π ………………10 分 ? 2sin(2 x ? ) . 6 π π π 由 2kπ ? ? 2 x ? ? 2kπ ? , 2 6 2 π π 得 kπ ? ? x ? kπ ? , k ? Z . ……………12 分 3 6 π π 所以 g ( x) 的单调递增区间为 [kπ ? , kπ ? ] , k ? Z . ……13 分 3 6
23.解: (Ⅰ)因为 b sin A ?

3a cos B ,

由正弦定理可得 sin B sin A ? 3 sin A cos B , 因为在△ ABC 中, sin A ? 0 , 所以 tan B ? 3 . 又0 ? B ? ?, 所以 B ?

? . 3

(Ⅱ)由余弦定理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , 因为 B ?

? ,b ? 2 3 , 3

所以 12 ? a 2 ? c 2 ? ac . 因为 a 2 ? c 2 ? 2ac , 所以 ac ? 12 . 当且仅当 a ? c ? 2 3 时, ac 取得最大值 12 .
24. (Ⅰ) f ( x) ? 2 cos x ? 2 3 sin x cos x ? 1
2

? cos 2 x ? 3 sin 2 x

………………………………………4 分

1 3 ? 2( cos 2 x ? sin 2 x) 2 2
周期为 T ?

? 2 sin(2 x ?

?
6

) …………………6 分
……………………………………7 分

2? ? ?. 2 C ? (Ⅱ)因为 f ( ) ? 2sin(C ? ) ? 2 2 6
所以

sin(C ?

?

6

) ?1
所以

因为 0 ? C ? ? 所以 C ?

?
6

?C?

?
6

?

7? 6

……………………………………8 分

?
6

?

?
2

所以 C ?

?
3

…………………………………9 分

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? a 2 ? b 2 ? ab ? ab ………………………………………11 分
整理得 a ? b 所以 三角形 ABC 为等边三角形
25.解: (Ⅰ) f ( x) ? sin x ? 3 cos x sin x
2

…………………………………………12 分 …………………………………………13 分

?

1 ? cos 2 x 3 sin 2 x ? 2 2 3 1 1 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

…… 5 分

?

π 1 ? sin(2 x ? ) ? 6 2
函数关于直线

…………………………… 7 分

π π ? ? kπ (k ? Z ) 对称 6 2 π kπ 所以 对称轴方程为 x? ? (k ? Z ) …………………………… 9 分 3 2 7π π π (Ⅱ)当 x ? [0, ] 时, 2 x ? ? [? , π] 12 6 6 π 1 由函数图象可知, sin(2 x ? ) 的最大值为 1,最小值为 ? ……………………………12 分 6 2 2x ?
所以函数 f ( x) 的最大值为
26.解: (1) f ( x ) ? sin ?x ?

3 2

,最小值为 0

……………………………13 分

3 1 3 1 ? cos ?x ? ? sin ?x ? ? cos ?x ? ? (1 ? cos ?x ) 2 2 2 2

= 3 sin ?x ? cos ?x ? 1 ? 2 sin(?x ? 所以函数 f ( x ) 的值域为 ?? 3,1?

?
6

) ?1

…………………………………5 分

…………………………………………………7 分

(2)由

1 2? ? 得? ? 2 ? ? 2 ? 2

…………………………………………………9 分

所以 f ( x ) ? 2 sin( 2 x ? 由? 得?

?

?

?

2

? 2k? ? 2 x ? ? k? ? x ?

?
6

6 ?

) ?1

?
2

? 2k?

………………………………………11 分

?
3

6

? k?

所以函数 f ( x ) 的单调增区间为 ??
27.解: (Ⅰ)由已知, C ?

? ? ? ? ? k? , ? k? ? (k ? Z ) . 3 ? 6 ?

………13 分

?
3

, a ? 5,

因为 即

S?ABC ?

1 ab sin C , 2

1 ? 10 3 ? b ? 5 sin 2 3



解得 b ? 8

.

由余弦定理可得: c 2 ? 64 ? 25 ? 80 cos 所以
c ? 7.

?
3

? 49 ,

………………..7 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)有 cos B ? 由于 B 是三角形的内角,

49 ? 25 ? 64 1 ? , 70 7

易知 sin B ? 1 ? cos 2 B ? 所以 cos( B ?
?

4 3 , 7

?
3

) ? cos B cos
.

?
3

? sin B sin

?
3
………………..13 分

4 3 3 1 1 13 ? ? ? ? 7 2 7 2 14

28.解: (Ⅰ) f ( x) ?

3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? ?a 2 2

? 1 ? sin(2 x ? ) ? a ? .……………………………………………3 分 6 2 所以 T ? ? .……………………………………………………………4 分 ? ? 3? 由 ? 2k ? ? 2 x ? ? ? 2k ? , 2 6 2 ? 2? 得 ? k? ? x ? ? k? . 6 3 ? 2? 故函数 f ( x) 的单调递减区间是 [ ? k ?, .…………………7 分 ? k ?] ( k ? Z ) 6 3

? ? ?x? , 6 3 ? ? 5? 所以 ? ? 2 x ? ? . 6 6 6 1 ? 所以 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 .…………………………………………………………10 分 2 6 ? ? 1 1 1 3 因为函数 f ( x) 在 [ ? , ] 上的最大值与最小值的和 (1 ? a ? ) ? (? ? a ? ) ? , 6 3 2 2 2 2 所以 a ? 0 .…………………………………………………………………………13 分
(Ⅱ)因为 ?
29.解: (Ⅰ)因为

π 7 2 π π , ? A ? ,且 sin( A ? ) ? 4 10 4 2

所以

π 2 π π 3π , cos( A ? ) ? ? . ? A? ? 4 10 2 4 4

因为 cos A ? cos[( A ?

π π π π π π ) ? ] ? cos( A ? ) cos ? sin( A ? ) sin 4 4 4 4 4 4

??

2 2 7 2 2 3 ? ? ? ? . 10 2 10 2 5

所以 cos A ?

3 . 5 4 . 5

……………………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 sin A ? 所以 f ( x) ? cos 2 x ?

5 sin A sin x 2

? 1 ? 2sin 2 x ? 2sin x

1 3 ? ?2(sin x ? ) 2 ? , x ? R . 2 2
因为 sin x ? [ ?1,1] ,所以,当 sin x ?

1 3 时, f ( x) 取最大值 ; 2 2

当 sin x ? ?1 时, f ( x) 取最小值 ?3 . 所以函数 f ( x) 的值域为 [ ?3, ] .
30. (Ⅰ)解法一:因为

3 2

……………………13 分

3 sin 2 B ? 1 ? cos 2 B ,
2

所以 2 3 sin B cos B ? 2sin B . 因为 0 ? B ? ? , 所以 sin B ? 0 , 从而 tan B ? 3 ,

………………3 分

………………5 分

所以 B ?

π . 3

………………6 分

解法二: 依题意得 所以 2sin(2 B ?

3 sin 2 B ? cos 2 B ? 1 ,

? ) ? 1, 6 ? 1 即 sin(2 B ? ) ? . 6 2
因为 0 ? B ? ? , 所以

………………3 分

? 5? . ? 6 6 π 所以 B ? . 3
所以 2 B ?

? ? 13? , ? 2B ? ? 6 6 6
………………5 分 ………………6 分

? π ,B ? , 4 3 AC BC 根据正弦定理得 , ? sin B sin A BC ? sin B 所以 AC ? ? 6. sin A 5? 因为 C ? ? ? A ? B ? , 12
(Ⅱ)解法一:因为 A ? 所以 sin C ? sin

………………7 分 ………………8 分 ………………9 分

5? ? ? 6? 2 , ? sin( ? ) ? 12 4 6 4
1 3? 3 . AC ? BC sin C ? 2 2

………………11 分

所以 △ ABC 的面积 S ? 解法二:因为 A ?

………………13 分

? π ,B ? , 4 3 AC BC 根据正弦定理得 , ? sin B sin A BC ? sin B 所以 AC ? ? 6. sin A
根据余弦定理得 AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos B , 化简为 AB 2 ? 2 AB ? 2 ? 0 ,解得 AB ? 1 ? 3 . 所以 △ ABC 的面积 S ?
31.解:(I)

………………7 分 ………………8 分 ………………9 分 ………………11 分

1 3? 3 . AB ? BC sin B ? 2 2

………………13 分

f ? x ? ? cos 2?x ? cos

?
6

? sin 2?x ? sin

?
6

? cos 2?x ? cos

?
6

? sin 2?x ? sin

?
6

? cos 2?x

? sin 2?x ? cos 2?x

?? ? ? 2 sin ? 2?x ? ? 4? ?
因为 f ? x ? 是最小正周期为 ? ,

2? ?? , 2? 因此 ? ? 1
所以 (II)由(I)可知, f ? x ? ? 因为 ? 所以 ?

?? ? 2 sin ? 2 x ? ? , 4? ?

?

?

4 4

?x?

?
3

,

? 2x ?

?
?
2 4

?

于是当 2 x ? 当 2x ?

?
4

11? 12

?

,即 x ?

?
8

时, f ? x ? 取得最大值 2 ; 时, f ? x ? 取得最小值 ? 1

?
4

??

?
4

,即 x ? ?

?

4

32.解: (Ⅰ)由已知,得

1 1 f ? x ? ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2

……………………2 分

?

2 ?? ? sin ? 2 x ? ? , 2 4? ?
T? 2? ?? , 2

……………………4 分

所以 即

f ? x ? 的最小正周期为 ? ;
?

……………………6 分

(Ⅱ)因为

?
8

?x?

?
2

,所以

0 ? 2x ?

?
4

?

5? . 4

……………… 7 分

于是,当 2 x ? 当 2x ?

?
4

?

?
2

时,即 x ?

?
8

时, f ? x ? 取得最大值

2 ;…… 10 分 2

?
4

?

5? ? 1 时,即 x ? 时, f ? x ? 取得最小值 ? .……………13 分 4 2 2

33.解: (Ⅰ)根据三角函数的定义得,

cos ? ?

3 12 , sin ? ? . ………………………………………………………2 分 5 13

4 . ……………………………………………3 分 5 5 ∵ ? 的终边在第二象限,∴ cos ? ? ? .………………………………………4 分 13 4 5 3 12 16 ∴ sin(? ? ? ) = sin ? cos ? ? cos ? sin ? = ?( ? ) + ? = .……………7 分 5 13 5 13 65 ? ? ??? ??? ??? ? (Ⅱ)方法(1)∵∣AB∣=| AB |=| OB ? OA |, ……………………………………9 分
∵ ? 的终边在第一象限,∴ sin ? ? 又∵ | OB ? OA | ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? 2 ? 2OA ? OB ,…………………11 分
2

??? ??? ? ?

??? 2 ?

??? 2 ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

∴ 2 ? 2OA ? OB ?

??? ??? ? ?

∴ OA ? OB ? ? .…………………………………………………………………13 分 方 法 ( 2 ) ∵
P

??? ??? ? ?

9 , 4

1 8

A D B E C

cos ?AOB ?

| OA |2 ? | OB |2 ? | AB |2 1 ? ? , …………………10 分 2 | OA || OB | 8
??? ??? ? ? 1 . ………………………………… 13 分 8

∴ OA ? OB = | OA || OB | cos ?AOB ? ?
34.解: (Ⅰ)由 sin x ? 0 得 x ? k π ( k ? Z),

??? ??? ? ?

故 f ( x ) 的定义域为 {x ? R | x ? k π, k ? Z}.…………………2 分 因为 f ( x) ?

(2 3 sin 2 x ? sin 2 x) ? cos x ?1 sin x

? (2 3 sin x ? 2cos x ) ? cos x ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x
π ? 2sin(2 x ? ) ,………………………………6 分 6

所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? (II)由 x 挝 , ], 2 x [ 当 2x ? 当 2x ?

2π ? π .…………………7 分 2

? ? 4 2

? ? ? 5? [ , ?], 2 x [ , ], …………..9 分 2 6 3 6

? 5? ? ? , 即x ? 时, f ( x)取得最小值1 ,…………….11 分 6 6 2 ? ? ? ? , 即x ? 时, f ( x)取得最大值2 .……………….13 分 6 2 3

35.解: (Ⅰ) f ( x) ? sin

x x 1 ? cos x cos ? ?1 2 2 2 1 1 1 …………………………………………2 分 ? sin x ? cos x ? 2 2 2

?

2 ? 1 sin( x ? ) ? . 2 4 2

……………………………………………4 分

所以函数 f ( x) 的最小正周期为 2? . 由 2k ? ?

…………………………………………6 分

? ? 3? ? 5? ? x ? ? 2k ? ? , k ? Z ,则 2k ? ? ? x ? 2k ? ? . 2 4 2 4 4

? 5? [2k ? ? , 2k ? ? ] 4 4 , k ? Z . ………………………9 分 函数 f ( x) 单调递减区间是
(Ⅱ)由

? ?? ? ? 7? ,得 ? x ? ? . ?x? ? ? 2 4 4

………………………………………11 分

则当 x ?

2 ?1 ? 3? 5? ,即 x ? 时, f ( x) 取得最小值 ? . ? 2 4 2 4

…………………13 分

36. (Ⅰ)因为 cos x

? 0 ,所以 x ? k? +

?
2

,k ? Z .

所以函数 f (x) 的定义域为 {x x ? k? + |

?
2

, k ? Z}

……………2 分

sin 2(sin x ? cos x) x cos x ?2sin x ? sin x + cos x ? =2sin 2 x + sin 2 x f ( x) ? ? 2 sin(2 x - ) ? 1 4 T ??

?

……………5 分 ……………7 分

7? ? ? (Ⅱ)因为 ? ? x ? ,所以 ? 2 x- ? 12 4 4 6 4
当 2 x-

?

?

……………9 分 ……………11 分

?

4

?

?

4

时,即 x ?

?

4

时, f (x) 的最大值为 2 ;

2 37. (Ⅰ)由 cos x ? 0
得 x?

当 2 x-

?
4

?-

?

时,即 x ? ?

?
8

时, f (x) 的最小值为 - 2+1 .

………13 分 ………………1 分

? ? k? , k ? Z 2
{x | x ?

………………3 分

所以函数 f (x) 的定义域为 (Ⅱ) f ( x) ?

? ? k? , k ? Z } 2

……………4 分

sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 cos x
……………8 分

=

2sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 1 ? 1 2 cos x
2 sin( x ? ) 4

= sin x ? cos ?

?

……………10 分

? ? 3 2 f (? ? ) ? 2 sin(? ? ) ? 4 2 5
所以 cos ? ? sin(? ?

? 3 )? 2 5

……………13 分


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