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2015年全国高中数学联合竞赛湖北省高二预赛试卷及答案


2015年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛评分标准 (高二年级) 说明: 1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设9分和0分两档;其他 各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档 次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在 评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中5分为一个档次,不 要增加其他中间档次. 一、填空题

(本大题共10小题,每小题9分,共90分.) 1 .若对于任意实数 x , | x ? a | ? | x ? 1 |? 2a 恒成立,则实数 a 的最小值为 1 3 . 2.将 5 名大学生村官分配到某乡镇的 3 个村就职,若每个村至少 1 名, 则不同的分配方案种数为 150 . 2 3 2 3. 若 ( x ? x ? 2) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? a3 x3 ? a4 x 4 ? a5 x5 ? a6 x 6 , 则 a1 ? a3 ? a5 ? -4 . 4.已知顶角为 20 ? 的等腰三角形的底边长为 a ,腰长为 b ,则 为 a3 ? b3 ab2 的值 3 . 5. 设 an ? 2n , bn ? 5n ? 1(n ? N*,S ? {a1 , a2 ,?, a2015 } ? {b1 , b2 ,?, ba } , 则集合 S 中 的元素的个数为 504 . 6. 已知点 P 在 Rt△ ABC 所在平面内,?BAC ? 90? ,?CAP 为锐角, | AP |? 2 , 2015 AP ? AC ? 2 , AP ? AB ? 1 .当 | AB ? AC ? AP | 取得最小值时, tan ?CAP ? 7 2 . 7.已知正三棱锥 P ? ABC 的底面的边长为 6,侧棱长为 21 ,则该三棱锥 的内切球的半径为 1 . 8.函数 f ( x) ? ( 1 ? x ? 1 ? x ? 2)( 1 ? x 2 ? 1) 的值域为 [2 ? 2 ,8] . x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点, A, B 分别是该椭圆的左顶点和 4 11 上顶点,点 P 在线段 AB 上,则 PF1 ? PF2 的最小值为 ? . 5 9.已知 F1 , F2 是椭圆 p ?1 p2 ?1 10.使得 和 都是完全平方数的最大质数 p 为 2 2 7 . 二、解答题(本大题共3小题,每小题20分,共60分.) 11 . 设 平 面 点 集 A ? {( x, y ) | ( y ? x) ? ( y ? 18 ) ? 0} 25 x , B ? {( x, y) | ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1} .若 ( x, y) ? A ? B ,求 2 x ? y 的最小值. 解 作出平面点集 A 、 B 所表示的平面区域, y P A B 表示如图阴影部分 D . 令 z ? 2 x ? y , 则 y ? 2 x? z, ?z 表 示 直 线 的纵截距. y ? 2 x? z x 易知:直线 y ? 2 x ? z 经过区域 D 中的点 P 时, O 取 得 最 小 z ? 2x ? y 值. …………… (5 分) 因为点 P 在圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 1上,设它的坐标为 (1 ? cos? ,1 ? sin ? ) ,结合 图形可知 ? ? ( , ? ) . 2 ? 又点 P 在曲线 y ? 即 sin ? cos ? ? sin ? ? cos ?

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