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上海市各区2014届高三数学(理科)一模试题分类汇编:应用题


上海市各区 2014 届高三数学(理科)一模试题分类汇编

应用题
2014.01.26 (杨浦区 2014 届高三 1 月一模,理)10. 某公司一年购买某种货物 600 吨,每次都购买 x 吨,运费为 3 万 元/次,一年的总存储费 用为 2 x 万元,若要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购买 吨.

10. 30

; (虹口区 2014 届高三 1 月一模,理)18、如图 1,一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心

装饰块,容器内盛有 a 升水.平放在地面,则水面正好过圆锥的顶点 P ,若将容器倒置如 图 2,水面也恰过点 P .以下命题正确的是( ).
P

1 ; 2 2 B. 圆锥的高等于圆柱高的 ; 3
A. 圆锥的高等于圆柱高的

P

C. 将容器一条母线贴地,水面也恰过点 P ;
任意摆放,当水面静止时都过点 P .

D. 将容器
图1

图2

(普陀区 2014 届高三 1 月一模,理)21.(本题满分 14 分) 本大题共有 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小 题 8 分. 如图所示,一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时,滴管内匀速滴下球状液体,其 中球状液体的半径 r ? 3 10 毫米,滴管内液体忽略不计. (1)如果瓶内的药液恰好 156 分钟滴完,问每分钟应滴下多少滴? (2)在条件(1)下,设输液开始后 x (单位:分钟) ,瓶内液面与进气管的距离为 h (单位:厘米) ,已知
3 mm3 ) 当 x ? 0 时, h ? 13 .试将 h 表示为 x 的函数.(注 1cm ? 1000

21. (本题满分 14 分) 本大题共有 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. 【解】 (1)设每分钟滴下 k ( k ? N )滴,??????1 分
*

2 2 则瓶内液体的体积 V1 ? ? ? 4 ? 9 ? ? ? 2 ? 3 ? 156 ? cm ??????3 分
3

4 40 k k? k 滴球状液体的体积 V2 ? k ? ? ? ? 10 ? mm 3 ? cm3 ??????5 分 3 3 75 k? ? 156 ,解得 k ? 75 ,故每分钟应滴下 75 滴。??????6 分 所以 156? ? 75
页 1第

(2)由(1)知,每分钟滴下 ? cm 药液??????7 分
3

x ,此时 0 ? x ? 144 ???10 分 16 x 当 1 ? h ? 4 时, x? ? ? ? 4 2 ? 9 ? ? ? 2 2 ? (4 ? h) ,即 h ? 40 ? ,此时 144 ? x ? 156 ???13 分 4
当 4 ? h ? 13 时, x? ? ? ? 4 2 ? (13 ? h) ,即 h ? 13 ?

x ? 13 ? , 0 ? x ? 144 ? ? 16 综上可得 h( x ) ? ? ??????14 分 ?40 ? x , 144 ? x ? 156 ? 4 ?
(杨浦区 2014 届高三 1 月一模,理)21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 5 分, 第(2)小题满分 9 分 . 某校同学设计一个如图所示的 “蝴蝶形图案 (阴影区域) ” , 其中 AC 、BD 是过抛物线 ? 焦点 F 的两条弦, 且其焦点 F ( 0 ,1) , AC ? BD ? 0 ,点 E 为 y 轴上一点,记 ?EFA ? ? ,其中 ? 为锐角. (1) 求抛物线 ? 方程; (2) 如果使“蝴蝶形图案”的面积最小,求 ? 的大小?

21. 【解】

理科 (1) 由抛物线 ? 焦点 F ( 0 ,1) 得,抛物线 ? 方程为 x 2 ? 4 y

??5 分 ??6 分 ??7 分

?, mc o ? s ? 1) (2) 设 AF ? m ,则点 A(?m s i n
2 所以, (?m sin ? ) ? 4(1 ? m cos? ) ,既 m sin ? ? 4m cos? ? 4 ? 0
2 2

2(cos ? ? 1) sin 2 ? 2(1 ? sin ? ) 同理: BF ? cos 2 ? 2(1 ? sin ? ) DF ? cos 2 ? 2(1 ? cos ? ) CF ? sin 2 ?
解得

AF ?

??8 分 ??9 分 ??10 分 ??11 分
2第



“蝴蝶形图案”的面积 S ? S ?AFB ? S ?CFD ?

1 1 4 ? 4 sin ? cos? AF ? BF ? CF ? DF ? 2 2 (sin? cos? ) 2
??12 分

令 t ? sin ? cos? , t ? ? ? 0 , 2 ? , ? t ? ?2,?? ? ? ?
2

?

1?

1

1 ? 1? t ?1 1 ? 则 S ? 4 2 ? 4? ? ? ? 1 , ? ? 2 时,即 ? ? “蝴蝶形图案”的面积为 8 t 4 t ?t 2?
??14 分 (长宁区 2014 届高三 1 月一模,理)21.(本题满分 14 分,其中(1)小题满分 7 分, (2)小题

满分 7 分)
上海某化学试剂厂以 x 千克/小时的速度生产某种产品 (生产条件要求 1 ? x ? 10 ) , 为了保证产品的质 量,需要一边生产一边运输,这样按照目前的市场价格,每小时可获得利润是 100(5 x ? 1 ? ) 元. (1)要使生产运输该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产运输 900 千克该产品获得的利润最大,问:该工厂应该选取何种生产速度?并求最大利润. 21、解:(1)根据题意, ????4分 3 3 200(5 x ? 1 ? ) ? 3000 ? 5 x ? 14 ? ? 0 x x ????6分 ????7分

3 x

又 1 ? x ? 10 ,可解得 3 ? x ? 10 因此,所求 x 的取值范围是 [3,10]. (2)设利润为 y 元,则

y?

900 3 1 1 61 ????11分 ?100(5 x ? 1 ? ) ? 9 ?104 [?3( ? ) 2 ? ] x x x 6 12
????13分

故 x ? 6 时, y

max

? 457500 元.

因此该工厂应该以每小时 6 千克的速度生产才能获得最大利润,最大利润为 457500 元。 ????14 分 2(浦东新区 2014 届高三 1 月一模,理)0.(本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题 . 实践证明, 声音强度 D (分贝)由公式

D ? a lg I ? b ( a、 b 为非零常数)给出,其中 I (W / cm2 ) 为声音能量.
(1)当声音强度 D1 , D2 , D3 满足 D1 ? 2D2 ? 3D3 时,求对应的声音能量 I1 , I 2 , I 3 满足的等量关系式; (2)当人们低声说话,声音能量为 10
?13

W / cm2 时,声音强度为 30 分贝;当人们正常说话,声音能量为

10?12 W / cm2 时,声音强度为 40 分贝.当声音能量大于 60 分贝时属于噪音,一般人在 100 分贝~120 分贝
的空间内,一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时,人会暂时性失聪. 20.解: (1)? D1 ? 2D2 ? 3D3



3第

? a lg I1 ? b ? 2(a lg I 2 ? b) ? 3(a lg I 3 ? b) ? lg I1 ? 2 lg I 2 ? 3 lg I 3

??????????2 分

??????????????????4 分 ???????????????????6 分 ???????????????8 分

? I1 ? I 2 ? I 3
(2)由题意得 ?

2

3

?? 13a ? b ? 30 ?? 12a ? b ? 40 ?a ? 10 ? ?b ? 160

???????????????10 分

?1 2 0 ? 100 ? 10lg I ? 1 6 0 10?6 ? I ? 10?4
?????????????????????13 分

答:当声音能量 I ? (10?6 ,10?4 ) 时,人会暂时性失聪. ????????????14 分 (徐汇区 2014 届高三 1 月一模,理)21. (本题满分 14 分,第(1)小题 5 分,第(2)小题 9 分) 某种海洋生物身体的长度 f ? t ? (单位:米)与生长年限 t(单位:年) 满足如下的函数关系: f ? t ? ?

10 .(设该生物出生时 t=0) 1 ? 2?t ? 4

(1)需经过多少时间,该生物的身长超过 8 米; (2)设出生后第 t 0 年,该生物长得最快,求 t0 ?t0 ? N *? 的值.



4第



5第


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