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2017高考数学一轮复习 第九章 计数原理、概率与统计 第十节 二项分布及其应用、正态分布习题 理


第十节
[基础达标]

二项分布及其应用、正态分布

一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1. (2015·山东师大附中模拟) 设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1),若 P(ξ >1)=p,则

P(-1<ξ <0)=
A.

( B.1-p C.1

-2p D.

)

+p

-p

1.D 【解析】由 P(ξ >1)=p 得 P(0<ξ <1)=

-p,又由正态分布的图象关于 y 轴对称,所以

P(-1<ξ <0)=P(0<ξ <1)=

-p.

2.衣柜中有 5 件外形完全相同的“李宁牌”球衣(3 件白色,2 件黑色),现每次取 1 件,无放回 地抽取两次,则在第一次抽到白色球衣的条件下,第二次仍然抽到白色球衣的概率为 ( A. B. C. D. )

2.C 【解析】设条件 A 为“第一次取一件球衣取到白色球衣”,则 P(A)= ,AB 为“无放回

地抽取两次,都取到白色球衣”,则 P(AB)=

,所以所求概率

P(B|A)=

.

3.“少林寺”想从某地区的儿童中挑选武术学员,已知该地区儿童体型合格的概率为 ,身

体关节构造合格的概率为 .从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与 身体关节构造合格与否相互之间没有影响) A. B. C. D. ( )

1

3.B 【解析】可用互斥事件的概率公式 1-

.
2

4. (2015·河南中原名校仿真) 设随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ ,σ )(σ >0),若

P(ξ <0)+P(ξ <1)=1,则 μ 的值为
A.-1 B.1 C.D.

(

)

4.D 【解析】由 P(ξ <0)+P(ξ <1)=1 得 P(ξ <1)=1-P(ξ <0)=P(ξ >0),由正态分布曲线的对 称性知 μ =

.

5.某公司招聘员工,先由两位专家面试,若两位专家都同意通过,则被视作通过初审予以录用; 若这两位专家都不同意通过,则视作初审不予录用;当这两位专家意见不一致时,再由第三位 专家进行复审,若能通过复审则予以录用,否则不予录用,设应聘人员获得每位初审专家通过 的概率均为 0.5,复审能通过的概率为 0.3,各专家评审的结果相互独立.则 4 人应聘恰好有 1 人被录用的概率是 A. B. C. D. ( )

5.D 【解析】由题意可知某人被录用的概率为

,则 4 人

应聘恰好有 1 人被录用的概率是 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)

.

6. (2015·上海十二校联考) 小李同学在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红 灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是 ,则他在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的 概率为 6.

.(用最简分数表示)
【解析】由于在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是 ,则第三个

路口首次遇到红灯为 P=

.

2

7. (2015·怀化三模) 某省气象部门为了有效缓解近期的持续高温天气,拟进行人工降雨,为 了达到理想效果,首先在电脑上进行人工降雨模拟试验,准备用 A,B,C 三种人工降雨方式分 别对甲、乙、丙三地实施人工降雨,其试验数据统计如下: 方式 实施地点 大雨 中雨 小雨 模拟试验总次数

A B C

甲 乙 丙

4次 3次 2次

6次 6次 2次

2次 3次 8次

12 次 12 次 12 次

假设甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响.则甲、乙两地恰为中雨且丙为小雨的概 率为 7.

.
【解析】记“甲、乙两地恰为中雨且丙为小雨”为事件 A,则 P(A)= ,

故甲、乙两地恰为中雨且丙为小雨的概率为 . 8. (2015·广州六中质检) 设随机变量 ξ 服从正态分布 N(3,4),若 P(ξ <2a-3)=P(ξ >a+2), 则 a 的值为 8.

. =3,解得 a= .

【解析】由正态分布的性质可得

9.实验员进行一项实验,先后要实施 5 个程序,在程序 A 只能出现在第一步或最后一步的条件 下,程序 C 和 D 相邻的概率是 9.

.

【解析】 记“程序 A 只能出现在第一步或最后一步”为事件 A,“程序 C 和 D 相邻”为

事件 B,则 n(AB)=3

×2=24,n(A)=

=48,所以 P(B|A)=

.

10.低碳生活,从“衣食住行”开始,在国内一些网站中出现了“碳足迹”的应用,人们可以 由此计算出自己每天的碳排放量,如家居用电的二氧化碳排放量(千克)=耗电度数×0.785, 家用天然气的二氧化碳排放量(千克)=天然气使用立方数×0.19 等.某校开展“节能减排, 保护环境,从我做起!”的活动,该校高一(6)班同学利用假期在东城、 西城两个小区进行了区 3

民的关于“生活习惯是否符合低碳排放标准”的调查,生活习惯符合低碳观念的称为“低碳 家庭”,否则称为“非低碳家庭”.经统计,这两类家庭占各自小区总户数的比例 P 数据如 下:

东城小区

低碳家庭

非低碳家庭

西城小区

低碳家庭

非低碳家庭

比例 P

比例 P

如果在东城、西城两个小区内各随机选择 2 个家庭,则这 4 个家庭中恰好有两个家庭是“低 碳家庭”的概率为 10. 【解析】

. .

三、解答题(共 25 分) 11.(12 分) (2015·常德模拟) 某旅游景点,为方便游客游玩,设置自行车骑游出租点,收费标 准如下:租车时间不超过 2 小时收费 10 元,超过 2 小时的部分按每小时 10 元收取(不足一小 时按一小时计算).现甲、 乙两人独立来该租车点租车骑游,各租车一次.设甲、 乙不超过两小 时还车的概率分别为 时间都不超过 4 小时. (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率; (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量 ξ ,求 ξ 的分布列与数学期望. 11.【解析】(1)甲、乙所付费用可以为 10 元,20 元,30 元. 甲、乙两人所付费用都是 10 元的概率为 P1= , ;2 小时以上且不超过 3 小时还车的概率分别为 ,且两人租车的

甲、乙两人所付费用都是 20 元的概率为 P2=

,

甲、乙两人所付费用都是 30 元的概率为 P3= 1-

×

,

4

故甲、乙两人所付费用相等的概率为 P=P1+P2+P3= (2)随机变量 ξ 的取值可以为 20,30,40,50,60,

.

P(ξ =20)=

,

P(ξ =30)=

,

P(ξ =40)=

,

P(ξ =50)=

,

P(ξ =60)=
故 ξ 的分布列为 ξ 20

.

30

40

50

60

P

所以 ξ 的数学期望是 Eξ =20× +30×

+40×

+50×

+60×

=35.

12.(13 分) (2015·长沙三模) 一场只有甲、乙两队参加的球赛,由多局组成,比赛分出胜负, 且每局比赛甲获胜的概率为 . (1)若赛制为“三局两胜”(即先胜两局者为冠军),求乙队获得冠军的概率; (2)若赛制为“五局三胜”(即先胜三局者为冠军),设比赛结束后,乙队胜的局数为 ξ ,求变 量 ξ 的数学期望. 12.【解析】(1)设每局比赛乙队获胜为事件 A,则 P(A)= .

5

P(乙队获得冠军)=P(AA)+P(A A)+P( AA)=
(2)依题意 ξ =0,1,2,3.

.

P(ξ =0)=P(

)=

,

P(ξ =1)=

,

P(ξ =2)=

,

P(ξ =3)=1-P(ξ =0)-P(ξ =1)-P(ξ =2)=
所以随机变量 ξ 的数学分布列为 ξ 0

,

1

2

3

P

所以随机变量 ξ 的数学期望为 Eξ =0×

+1×

+2×

+3×

.

[高考冲关] 1.(5 分) (2015·山东高考) 已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布 N(0,3 ),从 中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为 (附:若随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ ,σ ),则
2 2

(

)

P(μ -σ <ξ <μ +σ )=68.26%,P(μ -2σ <ξ <μ +2σ )=95.44%)
A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%

1.B 【解析】由题意可得 P(-3,3)=68.26%,P(-6,6)=95.44%,则 P(3,6)=

[P(-6,6)-P(-3,3)]=

=13.59%.

6

2.(5 分)为向国际化大都市迈进,沈阳市今年新建三大类重点工程,它们分别是 30 项基础设 施类工程、20 项民生类工程和 10 项产业建设类工程.现有来沈阳的 3 名工人相互独立地从 60 个项目中任选一个项目参与建设,则 3 人中有 2 人选择的项目属于基础设施类工程或产业 建设类工程的概率是 A. B. C. D. ( )

2.B 【解析】任意一名工人选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的概率是 ,则 3 人中有 2 人选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的概率是

.
3.(5 分) (2015·湖南长郡中学模拟) 先后掷骰子(骰子的六个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个 点)两次,落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为 x,y,设事件 A 为“x+y 为偶数”,事件 B 为“x,y 中有偶数且 x≠y”,则概率 P(B|A)= A. B. C. D. ( )

3.A 【解析】P(B|A)=

.

4.(5 分) (2015·新课标全国卷Ⅰ) 投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.已 知某同学每次投篮投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的 概率为 A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 ( )

4.A 【解析】若同学通过测试,则其需 3 次投篮投中 2 次或 3 次,即该同学通过测试的概率 为

×0.62(1-0.6)+

×0.63=0.648.

7

5.(5 分) (2015·上饶三模) 如图,在网格状小地图上,一机器人从 A(0,0)点出发,每秒向上或 向右行走 1 格到相应顶点,已知向上的概率是 ,向右的概率是 ,问 6 秒后到达 B(4,2)点的 概率为 A. B. C. D. ( )

5.D 【解析】由题意可得,6 秒钟里有 4 秒向右移动,2 秒向上移动,则概率为

.
6.(5 分) (2015·重庆三诊) 某校推行选修数学校本课程,每位同学可以从甲、乙两个科目中 任选一个.已知某班第一小组和第二小组各六位同学的选课情况如下表:

科目甲

科目乙

第一小组

1

5

第二小组

2

4

现从第一小组、第二小组中各选 2 人进行课程交流,则选出的 4 人均选修科目乙的概率 为 6.

.
【解析】P=

.

7.(5 分) (2015·河北百校联盟质检) 已知某高校高三学生有 2000 名,在第一次模拟考试中数 学成绩 ξ 服从正态分布 N(120,σ ),已知 P(100<ξ <120)=0.45,若学校教研室按分层抽样的 方式从中抽出 100 份试卷进行分析研究,则应从 140 分以上的试卷中抽 7.5 【解析】因为 P(ξ >140)= 份.
2

=0.05,所以应从 140 分以上的试卷中抽

×100=5 份.

8

8.(5 分)某校从 6 名教师中选派 3 名教师同时去 3 个边远地区支教,每地 1 人,在甲和乙不同 去的条件下,甲和丙同去或不同去的概率为 8.

.

【解析】记“甲和乙不同去”为事件 A,“甲和丙同去或不同去”为事件 B,则

P(A)=

,P(AB)=

,所以 P(B|A)=

.

9.(12 分) (2015·唐山三模) 某项比赛规则是:先进行个人赛,每支参赛队的成绩前三名队员 再代表本队进行团体赛,团体赛是在两队名次相同的队员之间进行且三场比赛同时进行.根 据以往比赛统计:两名队员中个人赛成绩高的队员在各场获胜的概率为 ,负的概率为 ,且 各场比赛互不影响.已知甲、乙队各有 5 名队员,这 10 名队员的个人赛成绩如图所示:

(1)计算两队在个人赛中成绩的均值和方差; (2)求甲队在团体赛中至少 2 名队员获胜的概率. 9.【解析】(1)由题中数据可知,

=88,

=88;

[(85-88)2+(83-88)2+(86-88)2+(96-88)2+(90-88)2]=21.2,

[(88-88)2+(84-88)2+(83-88)2+(92-88)2+(93-88)2]=16.4. (2)设甲队参加个人能力比赛成绩前三名在对抗赛的获胜的事件分别为 A,B,C, 由题意可知 P(A)= ,P(B)=P(C)= ,且 A,B,C 相互独立. 设甲队至少 2 名队员获胜的事件为 E, 则 E=(ABC)∪(AB )∪(A C)∪( BC),

9

则 P(E)=

.

10.(13 分) (2013·新课标全国卷Ⅰ) 一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产 品中任取 4 件做检验,这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件做检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件做检验, 若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的 优质品率为 50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为 ,且各件产品是否为优质品相互独 立. (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品的检验费用为 100 元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品做质量检 验所需的费用记为 X(单位:元),求 X 的分布列及数学期望. 10.【解析】(1)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1,第一次取出的 4 件产 品全是优质品为事件 A2,第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 B1,第二次取出的 1 件产品 是优质品为事件 B2,这批产品通过检验为事件 A,依题意有 A=(A1B1)∪(A2B2),且 A1B1 与 A2B2 互 斥, 所以 P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)

=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2) =

=

.

(2)X 可能的取值为 400,500,800,并且

P(X=400)=1所以 X 的分布列为

,P(X=500)=

,P(X=800)= ,

X P

400

500

800

10

则 EX=400×

+500×

+800× =506.25.

11


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