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2016高中数学联赛一试(A)


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2016 年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分。 1.设实数 a 满足 a ? 9a ? 11a ? a , 则 a 的取值范围是_____________. 2.设复数 z , w 满足 z ? 3, z ? w z ? w ? 7 ? 4i, 其中 i 是虚数单位,z ,

w 分别表示 z , w 的共 轭复数,则 z ? 2 w z ? 2 w 的模为______________. 3.正实数 u , v, w 均不等于 1,若 log u vw ? log v w ? 5, log v u ? log w v ? 3, 则 log w u 的值为 ___________. 4.袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币, 袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元纸 币,现在随机从两个袋子中各取出两张纸币,则 A 中剩下的纸币面值之和大于 B 中剩下的 纸币面值之和的概率为______________. 5.设 P 为一圆锥的顶点, A, B, C 是其底面圆周上的三点,满足 ?ABC ? 90 , M 为 AP 的 中点,若 AB ? 1, AC ? 2, AP ? 6.设函数 f ( x ) ? sin
4 0 3

?

??

?

?

??

?

2 , 则二面角 M ? BC ? A 的大小为__________.

kx kx ? cos 4 , 其中 k 是一个正整数,若对于任意实数 a ,均有 10 10

? f ( x) | a ? x ? a ? 1? ? ? f ( x) | x ? R?, 则 k 的最小值为__________.
7.双曲线 C 的方程为 x ?
2

y2 ? 1, 左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过点 F2 作一直线与双曲线 C 的 3
0

右半支交于点 P, Q ,使得 ?F1 PQ ? 90 , 则 ?F1 PQ 的内切圆半径是______________. 8.设 a1 , a2 , a3 , a4 是 1,2,3,? ,100 中的 4 个互不相同的数,满足

?a

2 1

2 2 2 2 2 ? a2 ? a3 a2 ? a3 ? a4 ? ?a1a2 ? a2 a3 ? a3 a4 ? ,则这样的有序数组 ?a1 , a2 , a3 , a4 ? 的个 2

??

?

数为_____________. 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.(本题满分 16 分)在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 2 BA ? BC ? 3CA ? CB. 求 sin C 的最大值.

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10.(本题满分 20 分)已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数, f (1) ? 1, 且对任意 x ? 0 均有

? x ? ? 1 ? ?1? ? 1 ? ?1? ? 1 ? ? 1 ? ?1? f? ? ? xf ( x). 求 f (1) f ? ? ? f ? ? f ? ? ? f ? ? f ? ? ?? ? f ? ? f ? ? 的 ? x ?1 ? ? 100 ? ? 2 ? ? 99 ? ? 3 ? ? 98 ? ? 50 ? ? 51 ?
值.

11.(本题满分 20 分)如图所示, 在平面直角坐标系 xOy 中,F 是 x 轴正半轴上的一个动点, 以 F 为焦点、O 为顶点作抛物线 C ,设 P 是第一象限内 C 上的一点, Q 是 x 轴负半轴上一 点,使得 PQ 为 C 的切线,且 PQ ? 2, 圆 C1 , C2 均与直线 OP 相切于点 P ,且均与 x 轴相 切,求点 F 的坐标,使圆 C1 与 C 2 的面积之和取到最小值.

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