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数学理科课件与练习数学第七章


第七章

直线与圆

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§7.1 直线方程与两直线的位置关系 §7.2 圆的方程 §7.3 直线与圆、圆与圆的位置关系

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高 端· 考 向 透 析
考纲要求 1.直线与方程 (1)在平面直角坐标系中,结合具体图形掌握确定直线 位置的几何要素. (2)理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直 线斜率的计算公式. (3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂 直. (4)掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的三 种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函 数的关系.
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考纲要求 (5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐 标. (6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式, 会求两条平行直线间的距离. 2.圆与方程 (1)掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一 般方程. (2)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置 关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. (3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. (4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
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高考回眸与链接

2008年

江西?8 安徽?4 重庆?8 广东?6 天津?14
海南宁夏?4 江苏?18 辽宁?4 天津?14

上海?7 湖南?14 山东?16 四川?14 广东?12

2009年

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2010年 全国Ⅱ?16 安徽?8 四川?4 江苏?9,18 辽宁?3 福建?14 天津?15 湖北?9,19 陕西?5 重庆?3,15 北京?7,19 广东?11 山东?11

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考向预测 “直线与圆”是每年高考的必考内容,分析近几 年高考题不难发现试题多以选择题、填空题的形式出 现,主要考查直线的倾斜角、斜率等基本概念,求不 同条件下的直线方程以及直线方程的应用,直线与圆、 圆与圆的位置关系等. 预测对这部分内容考查如下: 1.以基础题型为主,侧重于考查基础知识的掌握 和基本数学思想方法的灵活运用,一般难度不大.

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考向预测 2.该部分与其他章节的综合题仍将是今后高考的 热点、重点,也可能会出探索开放、新颖别致的实际应 用题目,特别应注意解析几何与平面向量、导数等知识 交汇的问题. 3.在新课标的教材中,对圆锥曲线的要求有所降 低,而直线与圆这部分知识又与平面几何联系紧密,因 此高考中会加强这部分与平面几何综合考查的力度,这 有可能成为下一个考查热点.

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导学建议

1.把握重点内容. 应用本章知识主要解决四类问题: (1)求直线的方程; (2)求圆的方程; (3)运用坐标公式求距离、面积及圆的切线、弦长等问题; (4)直线与圆的综合题. 2.重视数学思想方法的应用. 在解决上述问题过程中,数形结合、函数与方程、等价 转化、分类讨论等数学思想,坐标法、向量法、参数法、消 元法、配方法、待定系数法、换元法等数学方法都会得以充 分体现,因此复习时要重视数学思想方法的渗透和应用.

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导 学 建 议 3.重视基础知识. 由于本章内容高考主要考查一些基本问题,所以在 复习中应重基础、重方法,不应搞难度过大的题目,但 要求对基本概念、基本公式理解深刻,因为高考对斜率 公式、距离公式以及对称的考查较灵活. 温馨提示:此表的作用,(1)整体感知高考对本部分的考 查;(2)速查高考题;(3)总结归纳高考的命题规律.

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§7.1

直线方程与两直线的位置关系
自 主· 基础构建

导学建议
对于直线方程,首先要让学生熟记它的五种形式,并 通过点拔使学生掌握各种直线方程的适用范围;对于两 直线的位置关系的判断,要注意提醒学生不要遗漏斜率 不存在的情形;两个距离公式可要求学生默写,并做到 熟练应用.

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知识梳理
直线的倾斜角 α 的范围是[0,π ),当倾斜角 α ≠90° 时, 直线的斜率 k=tan α .若直线经过两点 P1(x1, y 1 ), P 2 ( x2, y2)(x1≠x2)的直线的斜率 【温馨提示】每一条直线都有倾斜角,但并不是每条直 π 线都有斜率(当直线与 x 轴垂直时,即倾斜角为 时,斜率不 2 存在).

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2.直线方程的几种形式
名称 点斜式
不表示斜率不存在的直线 斜截式 两点式 截距式

方程

适用条件

y=kx+b
不表示与坐标轴平行或重 合的直线 不表示过原点或与坐标轴 平行或重合的直线

一般式

A、B不能同时为零

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【温馨提示】(1)直线方程最终都可化为一般式; (2)求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的 形式,再利用待定系数法求解.

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3.直线与直线的位置关系

当两直线斜率k1,k2都存在时:
(1)l1∥l2?k1=k2. (2)l1⊥l2?k1· k2=-1. 【探究与思考】两条直线l1、l2垂直的充要条件是 斜率之积为-1,这句话正确吗?

【提示】不正确,当两条直线垂直时,它们的斜率
有的可能不存在.

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| Ax0 ? By0 ? C | P ( x , y ) d ? 4.点 . 0 0 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离 A2 ? B 2

5.平行直线 Ax ? By ? C1 ? 0 与 Ax ? By ? C2 ? 0 之间的距离
d? | C1 ? C2 | . A2 ? B 2

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达标自测 π 1. 若- <α<0, 则直线 y=-xtan α+1 的倾斜角为( ) 2 π π A.-α B. +α C.π+α D. -α 2 2 【解析】设倾斜角为 θ,则 tan θ=-tan α=tan (-α).
π π ∵- <α<0,∴0<-α< . 2 2 又 0<θ<π,∴θ=-α. 【答案】 A

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2.(2011年广州模拟)已知直线mx+4y-2=

0与2x-5y+n=0互相垂直,垂足为(1,p),则m
-n+p为( ) A.24 B.20 C.0 D.-4 m2 【解析】由垂直性质可得- ·=-1,即 2m-20=0,m 4 5
? ? ?10+4p-2=0, ?p=-2, =10.由垂足可得? 得 ? ? ? ?2-5p+n=0, ?n=-12. 所以 m-n+p=20. 【答案】 B
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3.(2009年· 上海)已知直线l1:(k-3)x+(4

-k)y+1=0,与l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,
则k的值是( ) A.1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2
【解析】当 k=3 时,两直线平行.当 k≠3 时,由两直 3-k 线平行时斜率相等,得 =k-3,解得 k=5. 4-k 【答案】 C

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4.根据所给条件求直线的方程. 10 (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为 ; 10 (2)直线过点(-3,4), 且在两坐标轴上的截距之和为 12; (3)直线过点(5,10),且到原点的距离为 5. 【解析】(1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点
斜式. 10 设倾斜角为 α,则 sin α= (0<α<π), 10 3 10 1 从而 cos α=± ,则 k=tan α=± . 10 3 1 故所求直线方程为:y=± (x+4). 3
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即 x+3y+4=0 或 x-3y+4=0. x y (2)由题设知截距不为 0,设直线方程为a+ =1, 12-a -3 4 从而 + =1,解得 a=-4 或 a=9. a 12-a 故所求直线方程为:4x-y+16=0 或 x+3y-9=0. (3)当斜率不存在时,所求直线方程为:x-5=0; 当斜率存在时,设其为 k, 则 y-10=k(x-5),

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即 kx-y+(10-5k)=0. 由点到直线的距离公式,得 3 解得 k= . 4 故所求直线方程为 3x-4y+25=0. 综上所知,所求直线方程为 x-5=0 或 3x-4y+25=0.

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5.已知两条直线l1:x+m2y+6=0,l2:(m
-2)x+3my+2m=0,当m为何值时,l1与l2:(1) 相交;(2)平行;(3)重合. 【解析】当m=0时,l1:x+6=0,l2:x=0,

∴ l1∥ l2 ;
当m=2时, l1 :x+4y+6=0,l2:3y+2=0, ∴l1与l2相交;

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1 当 m≠0 且 m≠2 时,由 = m -2

,得 m=-1 或 m=3,

1 6 由 = ,得 m=3. m -2 2 m 故(1)当 m≠-1 且 m≠3 且 m≠0 时,l1 与 l2 相交;(2) 当 m=-1 或 m=0 时,l1∥l2;(3)当 m=3 时,l1 与 l2 重合.

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【交流感悟】 ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________

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互 动· 方 法 探 究
导学建议 求直线方程以及直线与直线的位置关系判断难度不 大,相关题型在讲解中适当点拔即可.讲解的重点可放 在与本节有关的含参问题,要注意提醒学生解题时务必

要考虑直线斜率是否存在.在教学中要注意渗透分类讨
论、数形结合、特殊值检验等基本的数学思想方法.
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典例研习 类型一 直线的倾斜角与斜率

【温馨提示】倾斜角与斜率互化时,一般选择公式 k= tan α ,已知两点求斜率时一般选择公式 .确 定直线的斜率、倾斜角时,还要特别注意斜率存在的条件及 倾斜角的范围.

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例1 直线 ax+y+1=0 与连接 A(2,3)、 B(-3,2)的线段相 交,则 a 的取值范围是( ) A.[-1,2] B.(-∞,-1]∪[2,+∞) C.[-2,1] D.(-∞,-2]∪[1,+∞)

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【切入思维】直线与线段AB相交,即可得直线与线段

的交点在线段上,于是只需在直线上取一定点,与线段两
端点求出斜率即可. 【解答】直线的斜率为k=-a,且直线经过定点P(0, -1),分别求出直线PA、PB的斜率为2、-1,可得斜率 k的取值范围是(-∞,-1]∪[2,+∞),则a的取值范

围是(-∞,-2]∪[1,+∞).
【答案】 D

【点评】解答已知直线过某定点且与已知线段有交点,

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求其中参数的取值范围时,常用数形结合法,分别求
出该定点与线段的两个端点连线的斜率,再根据图形列出 不等式(组)来求解. 【变式与思考】(1)本题可否利用线性规划的思想解 决?(2)若直线ax+y+1=0与连接B(-3,2),C(4,3)

的线段相交,试求该直线的倾斜角α的取值范围.
【提示】(1)可以,因为A、B两点在直线ax+y+1 =0的两侧(或直线上),故有(2a+4)(-3a+3)≤0, π π π 3π 由此也可得解; (2)α∈[ , )∪( , ] 4 2 2 4
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类型二 直线的方程

【温馨提示】求直线方程的通法为待定系数法,在具 体求解时,要注意以下几点: (1) 根据题设条件选取适当 的方程形式; (2) 利用直线的点斜式、斜截式解题时,要

注意检验斜率不存在的情况; (3) 利用截距式解题时,要
注意截距为0或截距不存在的情况.

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例2

(1)等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶

点B都在直线2x+y-6=0上,顶点A的坐标是(1,-

1),求边AB,AC所在的直线方程;
(2)过点P(2,1)作直线l分别交x、y轴正半轴于A、B 两点,求|OA|·|OB|取得最小值时直线l的方程.

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【切入思维】(1)从确定直线 AB、AC 的条件入手,直线 AC 满足:经过点 A 且垂直于直线 2x+y-6=0,直线 AB 满 π 足:经过点 A 且与直线 2x+y-6=0 成 角,或|AB|等于点 A 4 到直线 2x+y-6=0 的距离的 2倍;(2)可用截距式,也可用 点斜式. 【解析】(1)由条件知直线 AC 垂直于直线 2x+y-6=0, 设直线 AC 的方程为 x-2y+c=0,把 A(1,-1)代入得 c=- 3,故直线 AC 的方程 x-2y-3=0.

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5 ∵|AC|= = 5,∴|AB|= 10,设 B(x,y),则 5 解得 B(2,2)或 B(4,-2),所以直线 AB 的方程为 3x-y-4=0 或 x+3y+2=0.

x y (2)设直线 l 的方程为 + =1(a>0,b>0), a b 由题设知|OA|?|OB|=ab,
∵P∈l,∴ + =1,∴ab=2b+a≥2 2ab, 2 1

a b

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∴ab≥8,当且仅当 a=2b 即 a=4,b=2 时取等号, x y ∴所求直线 l 的方程为 + =1, 4 2 即 x+2y-4=0. 【点评】求直线方程的一般步骤:(1)寻找所求直线满足 的两个条件;(2)将条件转化,使转化后的条件更利于列出方 程组;(3)列方程组求解. 【变式与思考】(1)在第(1)小题中,若条件不变,试求△ ABC 斜边上的高所在的直线方程;(2)在第(2)小题中,若条件 不变,试求|PA|· |PB|取得最小值时直线 l 的方程.

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【提示】(1)x+3y-3=0或3x-y-9=0;(2)(提示:可设
l的倾斜角为α,然后利用解直角三角形知识将|PA|· |PB|用 α的三角函数表示出来,然后求最值)x+y-3=0.

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类型三 直线与直线的位置关系与距离

【温馨提示】对于两条直线的位置关系的判定,常

见方法有二:(1)利用斜率判定,此时要注意斜率不存在
的情况;(2)利用方程的系数判定,此时要注意系数为零 的情况.要注意熟记距离公式,其中应用平行线间的距离 公式的前提是两平行直线的方程中 x 与 y 的系数必须对应 相等,否则应先将其系数转化为对应相等.

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例3 (1)已知点A(0,3)、B(-1,0)、C(3,0),求点D的坐标, 使四边形ABCD为直角梯形. (2)已知直线l经过点A(2,4),且被平行直线l1:x -y+1=0,l2:x-y-1=0所截得的线段的中点M在直线x +y-3=0上,求直线l的方程.

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【切入思维】(1)可设出点D(x,y),将各边的斜

率表示出来之后,建立斜率之间的关系即可;(2)思路
1:利用点到直线的距离公式求中点M;思路2:利用 平行直线间的距离公式并结合直线系方程求点M.

【解析】(1)设所求点D的坐标为(x,y),如图所
示,由于kAB=3,kBC=0,所以kAB· kBC=0≠-1, 即AB与BC不垂直.

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①若 CD 作为直角梯形的垂直于底的腰,即 BC⊥CD,AD ⊥CD,AD∥BC,所求点 D 的坐标为(3,3). ②若 AD 作为直角梯形的垂直于底的腰,即 AD⊥AB,AD y -3 y y-3 y ⊥CD,因为 kAD= ,kCD= ,所以 ?3=-1, x x -3 x x -3 18 9 18 9 =3.解得 x= ,y= ,所以点 D 的坐标为( , ). 5 5 5 5 18 9 故所求点 D 的坐标为(3,3)或( , ). 5 5

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(2)(法一)因为 M 在直线 x+y-3=0 上,所以设点 M 的 坐 标 为 (t,3 - t) , 则 有 M 到 两 平 行 线 距 离 相 等 , 所 以 有 |t-?3-t?+1| |t-?3-t?-1| 3 = .解得 t=2,所以点 M 的坐标为 2 2 3 3 y-2 x-2 3 3 (2, 又 l 经过点 A(2,4), 所以直线 l 的方程为 2). 3= 3, 4-2 2-2 即 5x-y-6=0.

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(法二)设与两直线平行且距离相等的直线为 l3:x-y+C =0. |C-1| |C+1| 所以 = ,解得 C=0,所以 l3:x-y=0. 2 2 由题意得点 M 在 l3 上,又在 x+y-3=0 上,
? ? x - y =0 , 所以? ? ?x+y-3=0.

3 3 解得点 M 的坐标为( , ).同上得 2 2

5x-y-6=0.

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【点评】(1)一些与平行或垂直有关的几何问题,
在有坐标系或易于建立坐标系的情况下,可以考虑应用 斜率解决.解题时要注意借助草图,分析各边所在直线 的位置关系及斜率情况. (2)合理使用直线系方程可以回避解方程组,从而

达到减少运算量的目的.
【变式与思考】(1)在(1)中,若四边形ABCD为 平行四边形,则点D的坐标是多少?(2)将(2)中的条 件为“直线l经过点A(2,4),且被平行直线

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l1:x-y+1=0,l2:x-y-1=0所截得的线

段之长为2,试求此时直线l的方程.
【提示】(1)D(4,3);(2)直线l的方程为x=2, 或y=4.

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类型四 对称问题

【温馨提示】对于对称问题,最终可归结为中心对称 与轴对称两种,其中中心对称问题常利用中点坐标公式进 行求解,而轴对称问题则一般从“对称轴是连接对称点所

得线段的中垂线”这一性质入手,利用“垂直”“平分”
这两个条件建立方程组进行求解.

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例4 (12分)已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1, -2),求: (1) 点A关于直线l的对称点A′的坐标; (2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线

m′的方程;
(3)直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l′的方程;

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【切入思维】求对称直线的方程,常转化为点

关于点或点关于直线的对称问题,故本例可先设出
两条直线上的一对对称点的坐标,再寻找两点间的 联系,利用相关点代入法来解决.此外,第(3)小 题也可从l∥l′这一角度入手求解. 【标准解答】 (1)设点A关于l的对称点是

A′(x,y),

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? y+ 2 2 ? ·=-1, ?x+ 1 3 ∵? ? x-1 y-2 ?2· -3 +1=0, 2 ? 2 33 4 ∴A′(- , ).4 分 13 13 (2)设点 P′(x′,y′)是直线 m 上任意一点,P′(x′,y′)关于 直线 l 的对称点为 P(x,y), 33 ? x =- , ? 13 解得? ?y= 4 , ? 13

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? y-y′ 2 ? ·=-1, ?x-x′ 3 ∴? ? x+x′ y+y′ ?2· -3 +1=0, 2 2 ? ? 5x+12y-4 ? , ?x′= 13 解得? ? 12x-5y+6 y′ = , ? 13 ? ∵P′(x′,y′)在直线 m 上,

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5x+12y-4 12x-5y+6 ∴3 -2 -6=0. 13 13 化简得 9x-46y+102=0.8 分

(3)(法一)设点 Q′(a,b)是直线 l 上任意一点,点 Q′(a, ? a+ x ? ? 2 =-1, b)关于点 A(-1,-2)的对称点为 Q(x,y),即? ? b+ y =-2, ? ? 2

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? ?a=-2-x, 解得? ? ?b=-4-y, 因点 Q′(a,b)在直线 l 上,故 2(-2-x)-3(-4-y) +1=0, 化简得 2x-3y-9=0.12 分 (法二)设直线 l′的方程 2x-3y+c=0(c≠1),则点 A 到直线 l 与点 A 到直线 l′的距离相等.

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|2??-1?-3??-2?+c| 22+32 ,





|2??-1?-3??-2?+1| 22+32

解得 c=1(舍去),或 c=9. ∴直线 l′的方程为 2x-3y-9=0.12 分

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【点评提升】曲线关于点、曲线关于直线的对称问 题,一般是转化为点的中心对称或轴对称问题(这里既 可选特殊点,也可选任意点实施转化).一般结论如下: (1)曲线f(x,y)=0关于已知点A(a,b)的对称

曲线的方程是f(2a-x,2b-y)=0.
(2)曲线f(x,y)=0关于直线y=kx+b的对称曲 线的求法:设曲线f(x,y)=0上任意一点为P(x0, y0),P点关于直线y=kx+b的对称点为P′(x,y),

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则 P 与 P′的坐标满足

从中解出 x0、 y0 ,

代入已知曲线 f(x,y)=0,应有 f(x0,y0)=0,利用坐标代换法 就可求出曲线 f(x,y)=0 关于直线 y=kx+b 的对称曲线方程.

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同类训练

(1)(2011年江苏高三段考)直线x+2y-3=0与直线ax
+4y+b=0关于点A(1,0)对称,则b=________. (2)(2011年甘肃兰州模拟)光线从点P(-3,5)射到直 线l:3x-4y+4=0上,经过反射,其反射光线过点 Q(3,5),则光线从P到Q所走过的路程为________.

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【解答】(1)两直线x+2y-3=0与ax+4y+b

=0关于点A(1,0)对称,可知这两直线平行,所以a=
2,在直线x+2y-3=0上任选一点,如(3,0),其关 于A(1,0)对称点坐标为(-1,0),代入ax+4y+b=

0(a=2)得b=2.
(2)点P(-3,5)关于直线l:3x-4y+4=0的对 称点P′(3,-3).P到Q的距离即P′Q=8. 【答案】 (1)2 (2)8

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高考排雷
例1 求与点M(4,3)的距离为5,且在两坐标轴上的截

距相等的直线方程.
x y 【错解】设所求直线方程为a+a=1,即 x+y-a=0.因 |4+3-a| 为点 M(4,3)与所求直线的距离为 5.所以 =5, 解得 2 a=7± 5 2,即所求直线方程为 x+y-7-5 2=0 或 x+y -7+5 2=0.
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【剖析】本解法忽略了截距为零的情况导致出错.因为截 距存在的直线不一定能用截距式方程表示,如果选用截距式, 一定要考虑截距为零是否适合题意. x y 【正解】当截距不为 0 时,设所求直线方程为a+a=1,即 x+y-a=0, ∵点 M(4,3)与所求直线的距离为 5, |4+3-a| ∴ =5,∴a=7± 5 2. 2 ∴所求直线方程为

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x+y-7-5 2=0 或 x+y-7+5 2=0. 当截距为 0 时,设所求直线方程为 y=kx,即 kx-y=0. 4 同理可得 =5,∴k=- . 3 1+k2 4 ∴所求直线方程为 y=- x,即 4x+3y=0. 3 综上所述,所求直线方程为 x+y-7-5 2=0 或 x+y- 7+5 2=0 或 4x+3y=0. |4k-3|

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三年高考

1.(2010年·安徽)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直
线方程是( ) B.x-2y+1=0 A.x-2y-1=0

C.2x+y-2=0

D.x+2y-1=0

【解析】设直线方程为x-2y+c=0,又经过 (1,0).故c=-1,所求方程为x-2y-1=0. 【答案】 A

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【考题赏析】本题主要考查两直线间的位置关系、 求直线方程,系教材中例题的改编题,充分体现了“源 于教材,高于教材”的高考命题原则.

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2.(2010年· 上海)圆C:x2+y2-2x-4y+4

=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=
________. 【 解 析 】 圆 心 (1,2) 到 直 线 3x + 4y + 4 = 0 距 离 d =
|3?1+4?2+4| =3. 5

【答案】

3

【考题赏析】本题主要考查圆的一般方程,点到直 线距离公式,属容易题,只要正确求出圆心坐标,并记

准点到直线的距离公式,问题便迎刃而解.
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感悟提升

1.直线方程是表述直线上任意一点M的坐标x与y
之间的关系式,由斜率公式可导出直线方程的五种形 式.这五种形式各有特点又相互联系,解题时具体选取 哪一种形式,要根据直线的特点而定. 2.待定系数法是解析几何中常用的思想方法之一,

用此方法求直线方程,要注意所设方程的适用范围.如:
点斜式、斜截式中首先要存在斜率,截距式中横纵截距 存在且不为0,两点式的横、纵坐标不能相同等.
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3.在运用待定系数法设出直线的斜率时,就是一

种默认斜率存在的情况,若有不存在的情况时,就会出
现解题漏洞,此时就要补救,较好的方法是看图,数形 结合来找差距.

4.在利用直线的截距式解题时,要注意防止由于
“零截距”造成丢解的情况.如题目条件中出现直线在 两坐标轴上的“截距相等”、“截距互为相反数”、 “在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的m倍 (m>0)”等时,采用截距式就会出现“零截距”,从而

丢解.此时
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好采用点斜式或斜截式求解或者先讨论截距为0的情况. 5.设直线方程的一些常用技巧 (1)知直线纵截距b,常设其方程为y=kx+b; (2)知直线横截距x0,常设其方程为x=my+x0(它不 适用于斜率为0的直线); (3)知直线过点(x0,y0),当斜率k存在时,常设其方程

为y=k(x-x0)+y0,当斜率k不存在时,则其方程为x
= x0 ;

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(4)与直线l:Ax+By+C=0平行的直线可表示

为Ax+By+C1=0(c1≠c);
(5)与直线l:Ax+By+C=0垂直的直线可表示 为Bx-Ay+C1=0. 6.处理两直线位置关系的有关问题时,要注意其 满足的条件.如两直线垂直时,有两直线斜率都存在和

斜率为0与斜率不存在的两种直线垂直情况.
|C-C′| 7.在应用公式 d= 求平行线间的距离时,一 A2+B2 定要把 x,y 项系数化成相等的系数.
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创 新· 预测演练

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§7.2

圆 的 方 程
自 主· 基础构建

导学建议

对于圆的标准方程和一般方程,要注意它们的基本形
式,理解二元方程与圆之间的区别与联系,明确方程的适 用情形,要注意引导学生运用圆的定义及方程去理解圆的 几何性质,并做到灵活应用.
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知识梳理 1.圆的定义

平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆.
2.圆的标准方程 圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程为(x-a)2 +(y-b)2=r2. 3.圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.

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(1)圆的一般方程体现了圆方程的代数特点:x2、y2 项系数相等且不 为零,没有 xy 项. (2)当 D2+E2-4F=0 时,方程表示点(- ,- );当 D2+E2-4F<0 2 2 时,方程不表示任何图形;当 D +E -4F>0 时,二次方程 x +y +Dx+Ey +F=0 表示圆,其圆心为(- ,- ),半径为 2 2 【探究与思考】试探究方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆 的充要条件.
2 2 2 2

D

E

D

E

【提示】其充要条件为A=C≠0,且B=0,且D2+E2- 4AF>0.
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4.点M(x0,y0)与圆C(x-a)2+(y-b)2=r2

的位置关系
(1)点M在圆C上?(x0-a)2+(y0-b)2=r2; (2)点M在圆C外?(x0-a)2+(y0-b)2>r2; (3)点M在圆C内?(x0-a)2+(y0-b)2<r2.

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达标自测 1.(2009年·重庆)圆心在y轴上,半径为1,且过点 (1,2)的圆的方程为( A.x2+(y-2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 ) B.x2+(y+2)2=1 D.x2+(y-3)2=1

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【解析】设圆心坐标为(0,b),则由题意知 ,解得 b=2, 故圆的方程为 x2+(y-2)2=1. 【答案】 A

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2.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则

点P(3,2)(

)

A.是圆心 B.在圆上 C.在圆内 D.在圆外

【解析】(3-2)2+(2-3)2=2<4,故点P(3,2)在 圆内. 【答案】 C

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【解析】令x=0可得y2+2y+c=0,由∠APB=90°,可得|AB|=2xp=4,|yA-yB|=4,所以2=4,解得:c=-3. 【答案】 A

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3.圆 x2+y2-4x+2y+c=0 与 y 轴交于 A、B 两点,圆 心为 P,若∠APB=90°,则 c 等于( ) A.-3 B.3 C . 2 2 D .8
【解析】 令 x=0 可得 y2+2y+c=0, 由∠APB=90° , 可得|AB|=2xp=4,|yA-yB|=4,所以 2 1-c=4,解得: c=-3. 【答案】 A

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4.(2008年· 四川)已知直线l:x-y+4=0与

圆C:(x-1)2+(y-1)2=2,则C上各点到l的距离的
最小值为______.
【解析】圆心 C(1,1)到直线的距离为 2 2,所以圆上 的点到直线距离的最小值为 2 2- 2= 2. 【答案】 2

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5. 关于方程 x2+y2+2ax-2ay=0 表示的圆, 下列叙 述中: ①关于直线 x+y=0 对称; ②其圆心在 x 轴上; ③过 原点;④半径为 2a.其中叙述正确的是________.(要求 写出所有正确命题的序号)

【解析】化为标准方程(x+a)2+(y-a)2=2a2,可得① ③④正确. 【答案】 ①③④

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【交流感悟】 ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ _____________________

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互 动· 方 法 探 究
导学建议 学习本节时,要注意讲清楚圆的二种形式的方程的区 别与联系,由圆的方程来确定圆心坐标与半径.其中讲解 的重点可放在求圆的方程以及与圆有关的最值问题和轨迹

问题上,在讲解时还要注意提醒学生充分利用圆的特殊几
何性质,这样往往会使问题简单化.
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典例研习 类型一 求圆的方程

【温馨提示】求圆的方程的基本方法为待定系数
法.一般地,在选用圆的方程形式时,若问题涉及圆心及 半径,则选用标准方程比较方便,否则选用一般方程方便 些.此外,有时灵活运用圆的丰富的几何性质,往往能迅 速得出圆的圆心坐标或半径,从而简化求解过程.

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例1 (1)圆心C在直线2x-y-7=0上,且圆与y 轴交于点A(0,-4),B(0,-2),求圆C的方程. (2)求经过点A(4,2),B(-1,3)两点,且在两 坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程. 1.【切入思维】(1)由于已知条件与圆心有关,故可 设出圆的标准方程,用待定系数法解之,另一思路是利 用圆的几何性质直接得出圆心坐标与半径;(2)已知条件 与圆心或半径无直接关联,故本题宜采用圆的一般方程,

再用待定系数法求出系数D、E、F.
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【解答】(1)(法一)(待定系数法)设圆心C(a,b),
半径为r,圆心在直线2x-y-7=0上,得2a-b-7= 0 ①.
②. ③. A, B 在圆上, 有|AC|=|BC|=r, 得 a2+(4+b)2=r2 a2+(2+b)2=r2

? ?2a-b-7=0, ? 联立①②③得?a2+?4+b?2=r2, ? ? ?a2+?2+b?2=r2, 解得 a=2,b=-3,r= 5. 所以所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=5.
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(法二)(利用圆的几何性质)由于点 A,B 在圆上,AB 为 所求圆的弦,那么 AB 的垂直平分线应过圆心 C,易得 AB 的 垂直平分线方程为 y=-3, 即圆心 C 为直线 y=-3 与直线 2x - y - 7 = 0 的交点,得 C(2 ,- 3) ,所以半径为 |CA| = .所求的圆的方程 =5. 2 2 (2)设所求圆的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0.令 y=0, 得 x2+Dx+F=0,所以 x1+x2=-D.令 x=0,得 y2+Ey+F =0,所以 y1+y2=-E.由题意知-D-E=2,即 D+E+2 =0 ①.又因为圆过点 A、B,所以 16+4+4D+2E+F=0 ②.1+9-D+3E+F=0 ③.解①②③组成的方程组得 D =-2,E=0,F=-12.故所求圆的方程为 x2+y2-2x- 12=0.
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【变式与思考】(1)已知△ABC的三个顶点分别为A(4,2)、B(-1,3)、C(0,-),试求△ABC的外接圆的方程;(2)利用待定系数法确定圆的方程一般需要几个条件 【提示】(1)x2+y2-2x-12=0;(2)3个.

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【点评】第(1)小题中的两种解法中,法一为通法,

法二是从几何角度去探讨,既没有设未知数,也没有复
杂的计算,显得更为简单快捷.(2)在求圆的方程时, 常用到圆的以下几个性质:①圆心在过切点且与切线垂

直的直线上;②圆心在任一弦的中垂线上;③两圆内切
或外切时,切点与两圆圆心三点共线.
【变式与思考】(1)已知△ABC 的三个顶点分别为 A(4,2)、 B(-1,3)、C(0,- 12),试求△ABC 的外接圆的方程;(2)利用 待定系数法确定圆的方程一般需要几个条件? 【提示】(1)x2+y2-2x-12=0;(2)3 个
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类型二 与圆有关的最值问题

【温馨提示】最值问题是范围问题的特例,求与圆 有关的最值问题要善于挖掘某些代数式的几何意义,从 而将代数问题转化为几何问题求解.

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例2 已知实数 x、y 满足方程 x2+y2-4x+1=0.求:
y (1)x的最大值和最小值; (2)y-x 的最小值; (3)x2+y2 的最大值和最小值. 【切入思维】显然实数 x,y 所确定的点在圆 x2+y2-4x y +1=0 上运动, 而x 则可看成是圆上的点与原点连线的斜率, y-x 可以转化为截距; x2+y2 可以看成是圆上点与原点距离 的平方. 【解答】(1)如图,方程 x2+y2-4x+1=0 表示以点(2,0) 为圆心,以 3为半径的圆.
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y 设 =k,即 y=kx,则圆心(2,0)到直线 y=kx 的距 x
离为半径时直线与圆相切,斜率取得最大、最小值. 由 ,解得 k2=3, ∴kmax= 3,kmin=- 3.

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(也可由平面几何知识,得 OC=2,CP= 3,∠POC =60°,直线 OP 的倾斜角为 60°,直线 OP′的倾斜角 为 120°) (2)设 y-x=b,则 y=x+b,仅当直线 y=x+b 与 圆切于第四象限时,截距 b 取最小值,由点到直线的距 |2-0+b| 离公式,得 = 3,即 b=-2± 6, 2 故(y-x)min=-2- 6. (3)x2+y2 是圆上点与原点的距离的平方, 故连接 OC, 与圆交于 B 点,并延长交圆于 C′,则

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(x2+y2)max=|OC′|2=(2+ 3)2=7+4 3, (x2+y2)min=|OB|2=(2- 3)2=7-4 3.
【点评】 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题, 充分体现了数形结合以及转化的数学思想. 其中以下几类转化极为 y -b 常见,要注意熟记:(1)形如 m= 的最值问题,可转化为动直 x -a 线斜率的最值问题;(2)形如 t=ax+by 最值问题,可转化为动直 线截距的最值问题;(3)形如 m=(x-a)2+(y-b)2 的最值问题,可 转化为两点间距离的平方的最值问题.

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【变式与思考】(1)本例条件不变,求

y

x +2 (2)若点 P 的坐标(x, y)满足方程 x2+y2-4x+1=0, 试求点 P 到直线 x+y+2=0 的距离的最大值和最小值.

的取值范围;

39 39 【提示】(1)[- , ];(2)最大值为 2 2+ 3,最 13 13 小值 2 2- 3.

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类型三 与圆有关的轨迹问题

【温馨提示】求点的轨迹或轨迹方程的主要方法有:
直接法,相关点代入法,几何法,参数法等.要注意求 轨迹与求轨迹方程是不同的,求轨迹方程时得出方程即 可,而求轨迹时在得出方程后还要指出方程的曲线是什 么图形.

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例3 已知点A(2,0)为圆x2+y2=4上一点,B(1,1)为

圆内一点,P,Q为圆上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程; (2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程. 【切入思维】(1)由于AP的中点与动点P相关,故可 考虑相关点代入法或参数法;(2)设PQ的中点为N(x,y), 由∠PBQ=90°可知,|PN|=|BN|,将此等量关系结合 勾股定理求即可.

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∵P点在圆x2+y2=4上, ∴(2x-2)2+(2y)2=4. 故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1. (2)设PQ的中点为N(x,y),在Rt△PBQ中, |PN|=|BN|,设O为坐标原点,连接ON,则 ON⊥PQ,

所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,
所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4.

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故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.
【点评】本例涉及了三种求点的轨迹的重要方法,它们 的适用范围和基本步骤可归纳如下: (1)直接法:将动点满足的几何条件或者等量关系,直 接坐标化,列出等式化简即得动点轨迹方程,即直接通

过建立x、y之间的关系,构成F(x,y)=0,此法是求
轨迹的最基本的方法. (2)代入法(相关点法或转移法):动点所满足的条

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件不易表述或求出,但形成轨迹的动点P(x,y)却随着

另一动点Q(x1,y1)的运动而有规律的运动,且动点Q
的轨迹为给定或容易求得,则可先将x1,y1表示为x、 y的式子,再代入Q的轨迹方程,然后整理得P的轨迹方

程.
【变式与思考】在第(1)小题中,若线段AP上的点 M满足|AM|=2|MP|,试求动点M的轨迹方程.
2 16 【提示】(x-3)2+y2= 9 (利用相关点法求).
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类型四 圆的参数取值范围问题

【温馨提示】与圆相关的参数取值范围问题是一种
重要题型.对于此类问题,要注意挖掘题中的相等或 不等关系以及图形中的隐含关系,从而列出关于参数 的方程或不等式,要注意数形结合、转化与化归的数 学思想的应用.

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例4 (12分)已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y- 3=0相交于P、Q两点,O为原点,且OP⊥OQ,求实数m 的值. 【切入思维】可设P、Q两点的坐标为(x1,y1)、 (x2,y2),由kOP· kOQ=-1,再利用一元二次方程根与

系数的关系求解.
【标准解答】设点 P、Q 的坐标为(x1,y1)、(x2,y2), y1 y2 由 OP⊥OQ,则 kOP· kOQ=-1,得x · =-1, 1 x2
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即 x1x2+y1y2=0,①3 分 由 化为 5x2+10x+4m-27=0,②5 分 则 x1、x2 是方程 5x2+10x+4m-27=0 的两个根. 4m-27 ∴x1+x2=-2,x1x2= .③ 5

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又 P、Q 在直线 x+2y-3=0 上, 1 1 1 ∴y1y2= (3-x1)? (3-x2)= [9-3(x1+x2)+x1x2]. 2 2 4 将③代入,得 y1y2= 立, ∴m=3.12 分

m+12

5 将③、④代入①,解得 m=3,代入方程②,检验 Δ >0 成

.④ 9 分

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【点评提升】一般地,求参变量的值就是构造等式

解方程(注意检验);求参变量的取值范围可转化为解
不等式、求函数的值域.

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同类训练 对于圆x2+(y-1)2=1上任一点P(x,y),
不等式x+y+m≥0恒成立,求实数m的取值范围.
【解析】令
? ?x+y=u, u=x+y,由? 2 2 ? ?x +?y-1? =1;

得 2y2-2(u+1)y+u2=0. 于是有 Δ=4(u+1)2-8u2≥0, 解得 1- 2≤u≤1+ 2, ∴umin=1- 2,

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即 (x+y)min=1- 2. 又 x+y+m≥0 恒成立, 即 x+y≥-m 恒成立. ∴(x+y)min=1- 2≥-m 成立, ∴m≥ 2-1.

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三年高考
1.(2008年·广东)经过圆x2+2x+y2=0的圆心C,且与直 线x+y=0垂直的直线方程是________. 【解析】圆x2+2x+y2=0的圆心为C(-1,0),又与直线x +y=0垂直,故其斜率k=1,由点斜式得所求直线方程为y

-0=x-(-1),整理得x-y+1=0.
【答案】 x-y+1=0 【考题赏析】本题主要考查圆的一般方程、直线方程、 两条直线的位置关系,属基础题.
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2.(2010年· 海南宁夏)过点A(4,1)的圆C与直
线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为 ________. 【解析】设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,

则根据已知条件得
??4-a? +?1-b? =r , ??2-a?2+?1-b?2=r2, ? ?|a-b-1|=r 2 ?
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2

2

2

a=3, ? ? ??b=0, ? ?r2=2.

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【答案】 (x-3)2+y2=2

【考题赏析】本题主要考查圆的方程、直线与圆相
切等知识.由于条件与圆心有关,故本题应设出圆的 标准方程,再利用A、B在圆上,以及直线与圆相切 列出三个方程进行求解.

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感悟提升
1.不论圆的标准方程还是一般方程,都有三个字 母(a、b、r或D、E、F)的值需要确定,因此需要三 个独立的条件.利用待定系数法得到关于a、b、r( 或D、E、F)的三个方程组成的方程组,解之得到待

定字母系数的值.
2.求圆的方程的一般步骤:(1)选用圆的方程两 种形式中的一种(若知圆上三个点的坐标,通常选用 一般方程;若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间 的关系,通常选用标准方程);
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(2)根据所给条件,列出关于D、E、F或a、b、r的

方程组;
(3)解方程组,求出D、E、F或a、b、r的值,并把 它们代入所设的方程中,得到所求圆的方程. 3.点与圆的位置关系可通过点的坐标代入圆的方程 或点与圆心之间的距离与半径的大小比较来确定.

4.解析几何中与圆有关的问题,应充分运用圆的几
何性质帮助解题. 5.数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决 圆的有关问题时经常运用,应熟练掌握.
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创 新· 预测演练

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§7.3

直线与圆、圆与圆的位置关系
自 主· 基础构建

导学建议 判断直线与圆、圆与圆的位置关系主要有几何法和

代数法两种方法,对于这些判断方法,均要求学生能灵
活应用.在讲解基础知识的同时,也要引导学生去总结 一些常用结论,如圆的切线方程,弦长公式,两圆相交 弦方程等.
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知识梳理

1.直线与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系判断 设直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0), 圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),设d为圆心(a ,b)到直线l的距离,联立直线和圆的方程,消元后得

到的一元二次方程的判别式为Δ.
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关系 几何法 方法位置 相交 代数法

相切 相离

d__<__r d__= __r d__>__r

Δ__>__0 Δ__=__0 Δ__<__0

(2)圆的切线方程:过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点 M(x0,y0)的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 .

(3)直线被圆截得的弦长
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①几何法:在圆中,弦长 l 的一半与弦心距 d、某条半径 r 构成直角三角形,由勾股定理得 l=2 r2-d2. ②代数法:若直线与圆相交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 1 2 可得弦长公式|AB|= 1+k |x1-x2|= 1+ 2|y1-y2|,当直线

k

斜率不存在时,|AB|=|y2-y1|.

【探究与思考】在求过一定点的圆的切线方程时,应注 意什么?

【提示】(1)定点在圆上还是在圆外;(2)有时切线的斜
率可能不存在,不能遗漏这条切线. 【温馨提示】过圆内一点的直线一定与圆相交.
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2.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r21(r1>0),圆O2 :(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2>0).

方法
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
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代数法:两圆方程 几何法:圆心距d 联立组成方程组的 与r1,r2的关系 解的情况 d >r 1 + r 2 无解 d=r1+r2 一解 |r1-r2|<d<r1+r2 两解 d=|r1-r2|(r1≠r2) 一解 d<|r1-r2|(r1≠r2) 无解

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【温馨提示】两圆相切包括内切与外切,相离包括

内含与外离.
3.圆系方程 (1)同心圆系:设圆C的一般方程为x2+y2+Dx +Ey+F=0,则与圆C同心的圆系方程为x2+y2+ Dx+Ey+λ=0.

(2)过直线l:Ax+By+C=0与圆C:x2+y2+
Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程为:x2+y2+Dx +Ey+F+λ(Ax+By+C)=0.
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(3)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2: x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+ D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠ -1).①

【温馨提示】方程①是一个圆系的方程,这些圆的圆
心都在两圆的连心线上,圆系方程代表的圆不包含圆x2 +y2+D2x+E2y+F2=0. λ=-1时,①式变为一条直线(D1-D2)x+(E1- E2)y+F1-F2=0 ②.若两圆相交,则方程②就是它们

的公切线方程.
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达标自测
1.(2011 年北京崇文一模)若直线 y=x+b 与圆 x2+ y2=2 相切,则 b 的值为( ) A.± 4 B.± 2 C.± 2 D.± 2 2

|b| 【解析】 = 2?|b|=2. 2 【答案】 B

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2.(2008年· 重庆)O1:x2+y2-2x=0和圆O2

:x2+y2-4y=0的位置关系是(

)

A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
【解析】转化为标准方程得圆 O1:(x-1)2+y2=1 和圆 O2:x2+(y-2)2=4, 圆心为 O1(1,0),O2(0,2),半径为 r1=1,r2=2,圆心之 间距离为: ?1-0?2+?0-2?2= 5,因为 2-1< 5<2+1, 所以两圆相交. 【答案】 B
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3.圆x2+y2-4x=0在点P(1,3 )处的切线方程

为______.
【解析】(x-2)2+y2=4 在点 P(1, 3)处的切线方程 为(1-2)(x-2)+ 3y=4. 【答案】 x- 3y+2=0

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4.(2010年· 四川)直线x-2y+5=0与圆x2+

y2=8相交于A、B两点,则|AB|=________.
【解析】 圆心到直线 x - 2y + 5 = 0 的距离为 d = |0+0+5| = 5, 12+?-2?2 |AB| 故( )2+( 5)2=(2 2)2,得|AB|=2 3. 2 【答案】 2 3

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【交流感悟】 ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ _____________________

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互 动· 方 法 探 究
导学建议

本节讲解的重点问题是借助数形结合的思想处理直线与
圆、圆与圆的位置关系,利用相切或相交的条件确定参 数的值或取值范围、求切线长或弦长.对于这些问题,

往往有几何法和代数法两种解题策略,对于这两种策略,
均应要求学生掌握,但要提醒学生具体解题时应优先考 虑用几何法求解.
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典例研习 类型一 直线与圆的位置关系

【温馨提示】由于圆的特殊性,在解答有关直线与

圆的位置关系问题时,一般不使用判别式和韦达定理,
而是利用点到直线的距离公式建立方程或不等式加以解 决,即用几何法求解,此法过程简捷,且运算量小.

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(1)直线 x+y=1 与圆 x2+y2-2ay=0(a>0)没有公共 点,则 a 的取值范围是( ) A.(0, 2-1) B.( 2-1, 2+1) C.(- 2-1, 2+1) D.(0, 2+1) (2)已知圆 M: (x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1, 直线 l: y=kx, 下面四个命题: ①对任意实数 k 与 θ,直线 l 和圆 M 相切; ②对任意实数 k 与 θ,直线 l 和圆 M 有公共点; ③对任意实数 θ, 必存在实数 k, 使得直线 l 与圆 M 相切; ④对任意实数 k, 必存在实数 θ, 使得直线 l 与圆 M 相切. 其中真命题的代号是________(写出所有真命题的代号).

例1

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【切入思维】计算圆心到直线的距离 d,并将其与 r 比较 进行求解. 【解答】(1)由圆 x2+y2-2ay=0(a>0)的圆心(0,a)到直 |a-1| 线 x+y=1 的距离大于 a, 得 >a, 解得- 2-1<a< 2- 2 1,且 a>0.∴0<a< 2-1. (2)圆心坐标为(-cos θ ,sin θ ), |-kcos θ -sin θ | 1+k2|sin ? θ +φ ? | d= = 2 1 +k 1 +k 2 =|sin (θ +φ )|≤1.

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说明圆心到直线的距离小于或等于半径.所以②④正确.
【答案】 (1)A (2)②④

【点评】(1)用圆心到直线的距离与半径的关系处理直线 与圆的关系的题型,结合图形更加直观,要注意数形结合思 想在解题中的应用;(2)第(1)小题中要注意不能遗漏掉

a>0这一条件.
【变式与思考】(1)在第(1)小题中,若直线与圆相交, 则a的取值范围是多少?若相切呢?(2)直线与圆的位置关系 与公共点的个数间的关系是什么?
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【提示】(1)当 a> 2-1 时,直线与圆相交;当 a= 2- 1 时,直线与圆相切.(2)直线与圆相交?直线与圆恰有 2 个公共点;直线与圆相切?直线与圆恰有 1 个公共点;直 线与圆相离?直线与圆没有公共点.

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类型二 求解圆的切线、弦长问题

【温馨提示】一般利用圆心到切线的距离等于半径
求出切线方程,但在求过某点的圆的切线方程时,应 首先确定点与圆的位置关系,再求直线方程.若点在 圆上,则过该点的切线只有一条;若点在圆外,则过 该点的切线有两条,此时应注意斜率不存在的切线. 在处理直线和圆相交所得的弦的弦长问题时,常考虑 几何法,因为用代数法往往计算量大,更容易出错.

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例2 已知圆M:x2+(y-2)2=1,Q是x轴上的动点, QA、QB分别切圆M于A,B两点.

(1)若点Q的坐标为(1,0),求切线QA、QB的方程;
(2)若|AB|=,求直线MQ的方程. 【切入思维】(1)可用待定系数法先设出切线方程, 再根据圆心到切线的距离为半径求出待定系数;(2)从 图形中观察点Q满足的条件.

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【解答】(1)设过点 Q 的圆 M 的切线方程为 x=my+1, 4 则圆心 M 到切线的距离为 1,∴ =1?m=- 或 0, 3 m2+1 ∴切线 QA、QB 的方程分别为 3x+4y-3=0 和 x=1. (2)设 AB 与 MQ(M 为圆心)交于点 P,则 MP⊥AB,MB⊥ BQ, |MP|= |2m+1|

2 2 1 1-? ?2= , 在 Rt△MBQ 中, MB2=MP· MQ, 3 3

1 即 1= |MQ|,∴|MQ|=3. 3

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∴直线 MQ 的方程为 2x+ 5y-2 5=0 或 2x- 5y+ 2 5=0. 【点评】求圆的切线方程的方法可归纳如下:①求过 圆上的一点 P(x0,y0)的圆的切线方程:先求切点与圆心连 1 线的斜率 k,则由垂直关系,切线斜率为-k,由点斜式方 程可求切线方程.如果 k=0 或 k 不存在,则由图形可直接 得到切线方程为 y=y0 或 x=x0.②求过圆外一点 P(x0,y0) 的圆的切线方程:设切线方程为 y-y0=k(x-x0),由圆心 到直线的距离等于半径,可求得 k,切线方程即可求出.也 可以通过联立方程组,利用 Δ=0,求出 k,切线方程即可 求出.
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【变式与思考】(1)若点 Q 的坐标为(1,2),试求过点 Q 的圆 M 的切线方程;(2)若斜率为 1 的直线 l 与圆 M 相切,试求直线 l 的方程. 【提示】 (1)1 条, 切线方程为 x=1; (2)y=x+(2± 2)

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类型三 圆与圆的位置关系

【温馨提示】判断两圆的位置关系常用几何法,即
用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系,一般不 采用代数法求解.

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例3 已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+(m2-5)=0与圆C2 :x2+y2+2x-2my+(m2-3)=0,当m为何值时:(1)两圆 外离;(2)两圆外切;(3)两圆相交;(4)两圆内切;(5)两圆

内含.
【切入思维】欲求m的值,只要列出关于m的一 个等式或不等式就可以了.因两圆的方程已给定,那么两 圆的圆心和半径就可以求出,进而获得含m的式子,问题 变成了圆心距与两圆半径之和或差的关系. 【解答】把圆C1与圆C2的方程变形得
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(x-m)2+(y+2)2=9,(x+1)2+(y-m)2=4. 故两圆的半径分别为 3 和 2,圆心距为:

(1)若两圆外离,则|C1C2|>3+2,即 两边平方整理得 m2+3m-10>0, 解之得 m>2 或 m<-5. ∴当 m>2 或 m<-5 时,两圆外离. (2)若两圆外切,则|C1C2|=3+2,即 m2+3m-10=0.解之得 m=2 或 m=-5.

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∴当 m=2 或 m=-5 时,两圆外切. (3) 若 两 圆 相 交 , 则 3 - 2<|C1C2|<3 + 2 , 即
? ? ? ? ?

2m2+6m+5<5, 2m +6m+5>1,
2

解之得-5<m<-2 或-1<m<2,

∴当-5<m<-2 或-1<m<2 时,两圆相交. (4)若两圆内切,则|C1C2|=3-2,即 2m2+6m+5=1, 解之得 m=-1 或 m=-2. ∴当 m=-1 或 m=-2 时,两圆内切.

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(4)若两圆内切, 则|C1C2|=3-2, 即 解之得 m=-1 或 m=-2. ∴当 m=-1 或 m=-2 时,两圆内切. (5)若两圆内含,则 0<|C1C2|<3-2,即 =1,

解之得-2<m<-1. ∴当-2<m<-1 时,两圆内含. 【点评】有关两圆的关系的问题,要注意利用平面几 何中圆的性质.
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【变式与思考】(1)条件不变,问:当m分别为

何值时,两圆恰有1条、2条、4条公切线?(2)若已
知两圆相交,试求它们的公共弦所在的直线方程(用 含m的代数式表示).

【提示】当m=-1或-2时,两圆内切,恰有
1条公切线;当-5<m<-2或-1<m<2时,两圆 相交,恰有2条公切线;当m>2或m<-5时,两圆 外离,恰有4条公切线.(2)(1+m)x-(m+2)y +1=0.
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类型四 圆系方程的应用

【温馨提示】利用圆系方程解题,体现了待定系数
的思想,主要有两种题型:(1)根据圆系方程探究符合 某特征的圆的性质及相关问题;(2)构造圆系方程,使 问题得到简化.利用圆系方程解题,往往简捷明了,收 到事半功倍之效.

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例4 求以圆C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2:x2

+y2+12x+16y-25=0的公共弦AB为直径的圆的方程.
【切入思维】利用过两个已知圆的交点的圆系方程求解. 【解答】已知两圆方程相减,得两圆的公共弦所在的直线 方程为4x+3y-2=0, ∵圆C1的圆心(6,1)不在公共弦上,

∴可设所求圆的方程为x2+y2+12x+16y-25+λ(x2+y2
-12x-2y-13)=0,11

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即(1+λ)x2+(1+λ)y2+12(1-λ)x+2(8-λ)y-(25+13λ)= 0, 其圆心 C
?6?λ-1? λ-8? ?. , 的坐标为? 1+λ? ? 1+λ

λ- 1 λ- 8 ∵点 C 在直线 4x+3y-2=0 上,∴24· +3· -2= 1+λ 1+λ 0,即 25λ-50=0, ∴λ=2. 故所求圆的方程为 3x2+3y2-12x+12y-51=0 即 x2+y2-4x+4y-17=0.

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【点评】圆系方程 μC1+λC2=0 表示所有过圆 C1 和圆 C2 的交点的圆,但一般常用 C1+λC2=0 的形式,后一形式不包括 圆 C2=0 本身,故使用这一形式,必须确定所求圆不可能是圆 C2=0 才行. 【变式与思考】(1)条件不变,试求两圆的公共弦 AB 的弦 长;(2)求经过题中圆 C1 和圆 C2 的交点,且圆心在直线 x+y-1 =0 上的圆的方程. 36 22 95 【提示】(1)10;(2)x +y - 7 x+ 7 y- 7 =0.
2 2

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类型五 点、直线、圆的位置关系的综合应用

【温馨提示】点、直线、圆的综合应用研究应注
意常见问题的处理方法,例如求圆的切线、弦长等, 同时应注重结合图形加以分析,化抽象为直观,从中 寻找解题思路.

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例5 (12分)已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0.问在圆C上 是否存在两点A、B关于直线y=kx-1对称,且以AB为直径 的圆经过原点?若存在,写出直线AB的方程;若不存在,说 明理由. 【切入思维】欲使圆上两点A、B关于直线y=kx-1对称,也 就是直线y=kx-1是弦AB的垂直平分线,则需圆心C在直线y =kx-1上,即可求得k的值.以AB为直径的圆经过原点,也 就是OA⊥OB,转化为kOA·kOB=-1求解.

【标准解答】圆C的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=9,
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于是可知,kAB=1.2分

设lAB:y=x+b,代入圆C的方程,
整理得2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0,4分 Δ=4(b+1)2-8(b2+4b-4)>0,b2+6b- 9<0,

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解得-3-3 2<b<-3+3 2. 设交点的坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=-b-1, 1 2 x1x2=2b +2b-2.6 分 由 OA⊥OB,知 x1x2+y1y2=0, 也就是 x1x2+(x1+b)(x2+b)=0,∴b2+4b-4-b2-b +b2=0,化简得 b2+3b-4=0,10 分

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解得b=-4或b=1,均满足Δ>0.

即直线AB的方程为x-y-4=0,或x-y+1=
0.12分 【点评提升】对于解析几何中的特定条件“以AB 为直径的圆经过原点”应转化为kOA· kOB=-1求解 ,进而转化为坐标运算x1x2+y1y2=0.再由直线与

曲线联立方程组,转化为关于x(或y)的方程,依据
根与系数的关系,建立方程求解.

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同类训练

(2011年广东佛山模拟)如图,直角三角形

ABC的顶点坐标A(-2,0),直角顶点B(0,-2),顶点C在x 轴上,点P为线段OA的中点.

(1)求BC边所在直线的方程; (2)M为直角三角形ABC外接圆的圆心,求圆M的方程; (3)若动圆N过点P且与圆M内切,求动圆N的圆心N的轨

迹方程.
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2 【解答】(1)∵kAB=- 2,AB⊥BC,∴kCB= ,∴BC 边所 2 2 在直线的方程为 y= x-2 2. 2 (2)在上式中,令 y=0,得 C(4,0),∴圆心 M(1,0). 又∵|AM|=3,∴外接圆的方程为(x-1)2+y2=9. (3)∵P(-1,0),M(1,0),圆 N 过点 P(-1,0),∴PN 是该 圆的半径,又∵动圆 N 与圆 M 内切,∴|MN|=3-|PN|,即|MN| +|PN|=3,∴点 N 的轨迹是以 M,P 为焦点,长轴长为 3 的椭 圆.

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三年高考
1.(2008 年· 辽宁)圆 x2+y2=1 与直线 y=kx+2 没有公 共点的充要条件是( ) A.k∈(- 2, 2) B.k∈(-∞,- 2)∪( 2,+∞) C.k∈(- 3, 3) D.k∈(-∞,- 3)∪( 3,+∞)

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【解析】依题意知,圆 x2+y2=1 与直线 y=kx+2 没有 公共点?d= >1?k∈(- 3, 3). 【答案】 C 【考题赏析】本小题主要考查直线和圆的位置关系,简 易逻辑等知识.需指出的是,此类问题一般可用几何法与代 数法两种方法求解,但几何法更为简捷.

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2.(2010 年?江西)直线 y=kx+3 与圆(x-3)2+(y -2)2=4 相交于 M,N 两点,若|MN|≥2 3,则 k 的取值范 围是( ) 3 3 A.[- ,0] B.(-∞,- ]∪[0,+∞) 4 4 3 3 C .[ - , ] 3 3 2 D.[- ,0] 3


【解析】圆心(3,2)到直线的距离

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【考题赏析】本题主要考查直线与圆的位置关系,点
到直线距离公式以及分式不等式的解法.圆中的弦长 一般利用公式l=2 心到直线的距离)速解. (l为弦长,r为半径,d为圆

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3.(2009 年?天津)若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6 =0(a>0)的公共弦长为 2 3,则 a=________.

【解析】由已知,两个圆的方程作差可以得到相交弦 1 1 的直线方程为 y= ,∴圆心(0,0)到直线的距离 d=| |

a

a



,解得 a=1. 【答案】 1

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【考题赏析】本题主要考查圆与圆的位置关系、两

圆的公共弦长.解决有关两圆相交所得弦长的一类问
题一般可以先求公共弦所在的直线方程,然后利用半 弦长、弦心距、半径构成直角三角形进行求解.

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感悟提升

1.处理直线与圆、圆与圆的位置关系的相关问
题,有代数法和几何法两种方法.要充分利用有关图 形的几何特征,如“垂直于弦的直径必平分弦”、“ 圆的切线垂直于过切点的半径”等等,尽可能简化计 算,讨论直线与圆的位置关系时,一般不用Δ>0,Δ =0,Δ<0,而用圆心到直线的距离d<r,d=r, d>r,分别确定相交、相切、相离的位置关系. 2.涉及圆的切线时,要考虑过切点与切线垂直 的
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半径,计算弦长时,要用半径、弦心距、半弦构成的直角三 角形,即直线被圆所截得的弦长为 (r 为半径,d 为圆心到直线的距离). 3.为简化运算,处理交点问题时,常采用“设而不求” 的方法,一般是设出交点后,再用根与系数的关系处理,这 种方法在处理直线与圆锥曲线的位置关系中也常常用到.

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本章总结
思维导图

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三年高考与名校模拟 1.(2009年· 上海)过圆C:(x-1)2+(y-1)2= 1的圆心,作直线分别交x、y正半轴于点A、B, △AOB被圆分成四部分(如图),若这四部分图形面积 满足SⅠ+SⅣ=SⅡ+SⅢ,则直线AB有( A.0条 B.1条 )

C.2条

D.3条

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【解析】由已知,得:SⅣ-SⅡ=SⅢ-SⅠ,第Ⅱ
、Ⅳ部分的面积是定值.所以,SⅣ-SⅡ为定值,即SⅢ -SⅠ为定值,当直线AB绕着圆心C移动时,只可能有

一个位置符合题意,即直线AB只有一条.
【答案】 B

【考题赏析】本题为近年高考的一大热门题型—— 动态型几何问题,此类问题解题关键是“动中觅静”, 即找出图中的不变的量,如本题解题的关键是抓住“第

Ⅱ、Ⅳ部分的面积是定值”.
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2.(2009年· 海南宁夏)已知圆C1:(x+1)2+

(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对
称,则圆C2的方程为( )

A.(x+2)2+(y-2)2=1 B.(x-2)2+(y+2)2=1 C.(x+2)2+(y+2)2=1 D.(x-2)2+(y-2)2=1

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【解析】设圆 C2 的圆心为(a,b),则依题意, ? ? a - 1 - b+ 1-1 = 0 , 2 ? 2 有? ? b- 1 =-1. ? a + 1 ?
? ? a= 2 解得 ? ? ?b=-2

,对

称圆的半径不变仍为 1,即圆 C2 为(x-2)2+(y+2)2=1. 【答案】 B 【考题赏析】本题主要考查圆的对称问题及圆的标 准方程.一般地,两圆间的对称问题都可转化为相应的 两个圆心间的对称问题,且两个圆的半径相等.

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3.(2011年福建“四地六校”联考)过圆x2+ y2=4内一点A(1,1)作一弦交圆于B、C两点,过 点B、C分别作圆的切线交于点P,则点P的轨迹方

程为(

)

A.x2+y2=9 B.x+y=4 C.x2+y2=5 D.3x+2y=4

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【解析】设 P(x0,y0)、B(x1,y1)、C(x2,y2),过点 B 的 切线方程为 x1x+y1y=4,过点 C 的切线方程为 x2x+y2y=4, 而两切线都过点 P,所以 所以直线 BC 的方程为 x0x+y0y=4. 又因为直线 BC 经过点 A(1,1), 所以 x0+y0=4,换为 x,y 得 x+y=4. 【答案】 B 【考题赏析】圆的弦长与切线问题既可以从圆的几何性 质角度也可从代数的角度研究解决,因此在高考中常以它为 载体考查运用数型结合的思想方法和代数方法解决几何问题 的能力,特别是“设而不求”的代数方法.
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4.(2010 年?全国)已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的 两条切线,A、B 为切点,那么 的最小值为( ) A.-4+ 2 B.-3+ 2 C.-4+2 2 D.-3+2 2

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【解析】设∠APB=2θ , cos 2θ = 2 cos 2θ =( -1)(1-2sin 2θ )=(x -1)(1- ) =x -2 - 1+ ≥-3+2 2.当且仅当 x = ,即 x= 2 时取等号. 【答案】 D 【考题赏析】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的 切线长定理,着重考查最值的求法——均值不等式法.同时 也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.
2 2

4

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5. (2008 年?江苏)在平面直角坐标系中, 设三角 形 ABC 的顶点分别为 A(0,a)、B(b,0)、C(c,0),点 P(0,p)在线段 AO 上(异于端点),设 a,b,c,p 均为 非零实数,直线 BP、CP 分别交 AC、AB 于点 E、F,一 同学已正确算得 OE 的方程:( - )x+( - )y=0, 1 1 1 1

b c
1

p a

请你求 OF 的方程:(

)x+( - )y=0.

1

p a

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x y 【解析】 由截距式可得直线 AB: + =1, 直线 CP: b a x y 1 1 1 1 + =1, 两式相减得( - )x+( - )y=0(*), 显然直 c p c b p a
线 AB 与 CP 的交点 F 满足此方程,又原点 O 也满足此方 程,故方程(*)为所求直线 OF 的方程. 【答案】 1

c b



1

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6.(2011年武汉市高三调研)若x2+y2=1,则 的最大值为________.

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【解析】依题意,设 x=sin θ ,y=cos θ ,t=sin θ π +cos θ = 2sin(θ + )∈[- 2, 2],则 t2=(sin θ 4 + cos θ )2 = 1 + 2sin θ cos θ , sin θ cos θ =

t2-1
2



t2-1
2 xy sin θ cos θ t+1 - 2+1 = = = , x+y-1 sin θ +cos θ -1 t-1 2 2 2+1 xy 1 ≤ ≤ ,故 的最大值是 ( 2+1). 2 2 x+y-1 2

t+1

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2+1 2

【答案】

【考题赏析】本题为一道圆与三角函数综合的试题, 求解与圆相关的最值问题一般有几何法与参数法两 种.其中对于与 x,y 相关的代数式的最值问题,一般考 虑构造三角参数,利用三角函数知识求解.

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7.(2011年湖北省荆州市质检)关于x,y的方

程x2+y2=(xcos α+ysin α)2(0≤α<2π)表示
的曲线是________(只需说明曲线类型),当α变 化时,该曲线顶点的轨迹方程是________.

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【解析】 =|xcos α +ysin α +2|, 表示动点(x,y)到点(0,0)的距离,|xcos α + ysin α +2|表示动点(x,y)到直线 l:xcos α +ysin α +2=0 的距离,所以动点(x,y)的轨迹是以 O(0,0)为焦 2 2 点,以直线 l 为准线的抛物线;直线 l 与圆 x +y =4 相 切,设切点为 A,OA⊥l,OA 的中点 B(x,y)为抛物线的 1 顶点,OB= OA=1,所以 x2+y2=1. 2 【答案】 抛物线

x2 +y2 =1

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【考题赏析】本题综合考查了抛物线与圆的方

程、点的轨迹、直线与圆的位置关系等,难度较大.
综合题的求解除了需要扎实掌握相关知识外,还需具 有敏锐的观察能力和较强的综合运用知识的能力.

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8.(2010 年?全国)已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F, 过点 K(-1,0)的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,点 A 关于 x 轴 的对称点为 D. (1)证明:点 F 在直线 BD 上; (2)设 8 = ,求△BDK 的内切圆 M 的方程. 9

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【解析】设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x1,-y1).l 的 方程为 x=my-1(m≠0). (1)将 x=my-1 代入 y2=4x 并整理得 y2-4my+4=0, 从而 y1+y2=4m,y1y2=4. 直线 BD 的方程为 , 即 令 y=0,得 ,

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所以点 F(1,0)在直线 BD 上. (2)由(1)知, x1 + x2 = (my1 - 1) + (my2 - 1) = 4m2 - 2 , x1x2 = (my1 - 1)(my2-1)=1. 因为 = (x1- 1, y1), = (x 2-1 ,y 2) , =(x1-1)(x2 - 1) + y1y2 =x1x2-(x1+x2) +1 +4 =8 - 4m2, 8 4 故 8-4m = ,解得 m=± . 9 3
2

所以 l 的方程为 3x+4y+3=0 或 3x-4y+3=0.

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又由(1)知 y2-y1=± ? 4m? 2-4?4=± 4 7, 3

4 3 故直线 BD 的斜率 =± . y2-y1 7 因而直线 BD 的方程为 3x+ 7y-3=0,3x- 7y-3=0. 因为 KF 为∠BKD 的平分线, 故可设圆心 M(t,0)(-1<t<1), 3|t+1| 3|t-1| M(t,0)到 l 及 BD 的距离分别为 , . 5 4 3|t+1| 3|t-1| 1 由 = 得 t= , 或 t=9(舍去), 故圆 M 的半 5 4 9 3|t+1| 2 径 r= = . 5 3
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1 4 所以圆 M 的方程为(x- )2+y2= . 9 9

【考题赏析】本小题为解析几何与平面向量综合的 问题,主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系,

直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的
求解、平面向量的数量积等知识,考查考生综合运用数 学知识进行推理论证的能力,运算能力和解决问题的能 力,同时考查了数形结合思想、设而不求思想.

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