tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

坐标系与参数方程


坐标系与参数方程

考纲要求:
?

?
? ? ? ?

?

坐标系的有关概念 简单图形的极坐标方程 极坐标方程与直角坐标方程互化 参数方程 直线、圆及椭圆的参数方程 参数方程与普通方程的互化 参数方程的简单应用

A B B B B B B
<

br /> 第一讲

极坐标系

与简单曲线的极坐标方程

【学习目标】 1.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图 形的变化情况. 2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解 在极坐标系中和平面直角坐标系中表示点的位置的区 别,能进行极坐标和直角坐标的互化. 3 .能在极坐标系中给出简单图形 ( 如过极点的直 线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.

【基础检测】 1.极坐标方程 ρ=sinθ +2cosθ 能表示的曲线的 直角坐标方程为______________ .y=0 x2+y2-2x- 2.在极坐标系中,圆 ρ=-2sinθ 的圆心的极坐 标是( B ) ? ? π? π? A.?1,2 ? B.?1,-2 ? C.(1,0) D.(1,π) ? ? ? ?
【解析】 圆的方程可化为 ρ2 =- 2ρsin θ ,由 ? ?x=ρcos θ, ? 得 x2+y2=-2y,即 x2+(y+1)2=1,圆 ? ?y=ρsin θ, ? π? ? 心(0,-1),化为极坐标为?1,- ? . ? 2? ?

3.在平面直角坐标系 xOy 中,方程 x2+y2=1 所 ? ?x′=2x 对应的圆经过伸缩变换? 后的图形是_______ , 椭圆 ? ?y′=y

x2 2 +y = 1 . 其方程为____________ 4

x′ ? ? ?x′=2x ?x= 2 ,代入 【解析】由? 得? ? ?y′=y ? x′2 +y′2=1, 4 ?y= y′

x2+y2=1,得

x2 2 故应填椭圆 +y =1. 4

4.在极坐标系中,直线 =4 截得的弦长为______ 4 3.
【解析】直线

? ? ρsin?θ ?

π? ? + ?=2 被圆 ρ 4?

? π? ? ρsin?θ+ ? ?=2 4 ? ?

可化为 x+y-2 2

=0,圆 ρ=4 可化为 x2+y2=16,由圆中的弦长公式 ?2 2? ? ?2 2 2 2 得 2 r -d =2 4 -? ? =4 3. 2 ? ?

知识梳理:
1.极坐标系与点的极坐标 在平面上取一个定点 O,自点 O 引一条射线 Ox, 同时确定一个长度单位和计算角度的正方向 (通常取逆 时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系.其 中,点 O 称为极点,射线 Ox 称为极轴. 设 M 是平面上任一点,ρ 表示 OM 的长度,θ 表 示以射线 Ox 为始边, 射线 OM 为终边所成的角. 那么, 有序数对____________ (ρ,θ) 称为点 M 的极坐标.显然,每 一个有序实数对(ρ,θ)决定一个点的位置.其中,ρ 称 为点 M 的_________ 极径 ,θ 称为点 M 的_________ 极角 . 由极径的意义可知 ρ≥0,当极角 θ 的取值范围是 [0, 2π)时, 平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ, θ)(ρ≠0) 建立一一对应的关系,我们约定,极点的极坐标是极 径 ρ=0,极角 θ 可取任意角.

2.坐标之间的互化

(1)点的极坐标和直角坐标的互化 以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为 极轴,且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图).平 面内任意一点 P 的直角坐标与极坐标分别为(x, y)和(ρ, θ),则由三角函数的定义可以得到如下两组公式: ? 通常情况下,将点的直角坐标化为极坐标时,取 ρ≥0,0≤θ<2π.

? ? 2 ? x2 ? y2 x ? ? cos? ? tan? ? y ?? ? 0 ? y ? ? sin ? ,_____________________ ______________ . ? x ?

?

3.直线的极坐标方程 (1)特殊位置的直线的极坐标方程: 直线 过极点 倾斜角 为α 过点(a,0), 与极轴垂直 极坐标方程 θ=α _____(ρ∈R)或 θ 和 θ=π+α(ρ≥0)) ________ ρcosθ =a
? ? ? ?

图 形

=_____ π+α (ρ∈R)(θ=α

π π? - <θ< ? 2 2? ?

π? 过点 a,2? ?, ? 与极轴平行

? ? ? ?

ρsinθ ______=a
(0<θ<π)

(2)一般位置的直线的极坐标方程: 若直线 l 经过点 M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为 α,直线 l 的极坐标 方程为:_______________________________ ? sin ? ?? ? ? sin ? ?? .

?

?

0

?

0

?

5.半径为 r 的圆的极坐标方程 (1)特殊位置的圆的极坐标方程: 圆心 (0,0) (r,0)
? π? ?r, ? 2? ?

极坐标方程

图 形

r ρ=_______ (0≤θ<2π) ρ=________ 2rcosθ
?? ? ? ?? ?? ? ? 2? ? 2

ρ =2rsin θ (0≤θ<π) ρ=-2rcos θ
?π 3π? ? ≤ θ< ? 2? ?2

(r,π)
? 3π? ?r, ? 2? ?

ρ =-2rsin θ (π≤θ<2π)

(2)一般位置圆的极坐标方程: 若圆心为 M(ρ 0, θ0), 2 半径为 r,则圆的极坐标方程是 ρ -2ρ0ρ cos(θ-θ0)+ 2 2 ρ0 -r =0.

典例剖析:
例 1(1)已知曲线 C 与曲线 ρ=5 3cosθ -5sinθ
? 关于极轴对称,则曲线 C 的方程为______________ .π ? ? ?

ρ=10cos?θ -
?

6? ?

【解析】在曲线 C 上任取一点 M(ρ,θ),关于极轴 的对称点为 M′(ρ, - θ) , 将其代入到 ρ=5 3cos θ- ? π? ? 5sin θ中,化简后可得 ρ=10cos?θ- ? ?. 6 ? ?

(2)圆 ρ=a(a>0)上有两个动点 P,Q 同时自圆上定 点 A(a,0)出发,按逆时针方向作匀角速运动,点 P 的 角速度为 ω,点 Q 的角速度为 2ω,则线段 PQ 中点 M θ ρ=acos __. 的轨迹的极坐标方程为__________ 3 【解析】设时刻 t 时,P,Q 位置如图所示, 则∠POA=ωt,∠QOA=2ωt. 设点 M 的坐标为(ρ,θ), ωt+2ωt 3 则 θ= = ωt,??① 2 2 1 在 Rt△OMP 中,∠MOP= ωt, 2 1 |OM|=|OP|· cos∠MOP, ∴ ρ = a· cos ωt, ??② 2
由①②消去 t,得 ρ=acos

θ

3 这就是点 M 轨迹的极坐标方程.



【点评】 求曲线的极坐标方程的两个基本方法是直 接法和待定系数法, 极坐标系中用直接法求点的轨迹方 程时常用“三角形法” ,它通过找出一个三角形,利用 三角形中的边角关系,求得轨迹的极坐标方程.

例 2 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C 的极坐标方程为 ? π? ? ? ρcos?θ - ?=1,M,N 分别为 C 与 x 轴、y 轴的交点. 3? ? (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M、N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程.

? π? ? ? 【解析】(1)由 ρcos?θ- ?=1 3? ? ?1 ? 3 得 ρ? cos θ+ sin θ?=1. 2 ?2 ?

1 3 从而曲线 C 的直角坐标方程为 x+ y=1, 2 2 即 x+ 3y=2. 当 θ=0 时,ρ=2,所以 M(2,0). ?2 3 π? π 2 3 ? ? 当 θ= 时,ρ= ,所以 N? , ?. 2 3 3 2 ? ? (2)M 所以
? 2 3? ?. 点的直角坐标为(2, 0). N 点的直角坐标为?0, 3 ? ? ? 3? P 点的直角坐标为 ?1, ? . 则 P 点的极坐标为 3? ?

?2 3 π? ? ? ,所以直线 , ? 3 6? ? ?

π OP 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R). 6

【点评】 直角坐标方程化为极坐标方程, 只需把公 式 x=ρcos θ及 y=ρsin θ直接代入并化简即可; 而极 坐标方程化为直角坐标方程要通过变形, 构造形如 ρcos θ,ρsin θ,ρ2 的形式,进行整体代换.其中方程的 两边同乘以(或同除以)ρ 及方程两边平方是常用的变形 方法.但对方程进行变形时,方程必须保持同解,因此 应注意对变形过程的检验.

例 3 (1)点

? π ? A?5, 3 ?

? ? ?在条件: ?

①ρ >0,θ∈(-2π

? 5π ? ? ? ?5,- 3 ? ? ? ,0)下的极坐标是_______ ;

②ρ <0,θ∈(2π ,4π ? 1 4π ? θ ? ? (2)点 P?- , 与曲线 C:ρ=sin 的关系是 ? 2 3 ? ? 2 点P 在曲线 C 上 _________ .

? 10π ? ? ? -5, . )下的极坐标是? 3 ? ?_______ ?

【解析】(1)①当 ρ>0 时,点
? ? π ? 般形式为?5, +2kπ? (k∈Z). ? 3 ? ?

? π? ? A?5, ? 的极坐标的一 3? ? ?

π 由-2π<θ<0, 得-2π< +2kπ<0, 解得 k=-1, 3 π 5π 所以 θ= -2π=- , 3 3 ? 5π? ? ? 所以满足条件的点 A 的极坐标为?5,- ?. 3 ? ? ? π? ? ②当 ρ<0 时,点 A?5, ? ?的极坐标的一般形式是 3 ? ? ? ? π ?-5, +(2k+1)π?(k∈Z). 3 ? ? π 由 2π<θ<4π,得 2π< +(2k+1)π<4π,解得 3 k=1,

π 10π 所以 θ= +3π= , 3 3
? 10π? ? ? 故满足条件的点 A 的极坐标为?-5, . 3 ? ? ? ? 1 4π? ?1 π? ? ? ? ? (2)因为点 P?- , 与点 P ′ 是同一点, 且 , ?2 3 ? 3? ? 2 ? ? ?

π π 1 θ 3 sin =sin = ,所以点 P′在曲线 C:ρ=sin 上, 2 6 2 2 ? 1 4π? θ ? ? 故点 P?- , 也在曲线 C:ρ=sin 上. 2 3 ? ? 2 ?

【点评】(1)若(ρ,θ)是点 M 的极坐标,则(ρ,θ+ 2kπ)(k∈Z), (-ρ, θ+π+2kπ)(k∈Z)也都是点 M 的 极坐标,总之,点 M(ρ,θ)的极坐标可以是(ρ,θ+ 2kπ)(k∈Z)或(-ρ,(2k+1)π+θ)(k∈Z). (2)点(ρ,θ)的极坐标不满足曲线的极坐标方程,但 (ρ,θ)也可能在此曲线上.

方法总结:
勿忘 1 点注意 平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的, 但点的极坐标的表示形式不唯一. 熟记 2 种方法 极坐标问题通常有两种研究方法: 一是用极坐标的知识直接求解;二是转化为直角坐标的形式, 用直角坐标的知识求解. 勿忘 2 点注意 进行极坐标方程与直角坐标方程互化时, 1. 注意 ρ,θ 的取值范围及其影响. 2.重视方程的变形及公式的正 用、逆用、变形使用.

拓展提高:

1 的距离是____ 1 .

? π ? 1. 在极坐标系中, 点?2, 6 ?

? ? ?到直线 ?

? ? ρsin?θ ?

π? ? - ?= 6?

2.在极坐标系中,P 是曲线 ρ=12sin θ 上的动点, ? π? ? ? Q 是曲线 ρ=12cos?θ - ?上的动点, 试求 PQ 的最大值. 6 ? ?
【解析】∵ρ=12sin θ,∴ρ2=12ρsin θ, ∴x2+y2-12y=0,即 x2+(y-6)2=36. ? π? ? 又∵ρ=12cos?θ- ? ?, 6 ? ? ? π π? ? ? 2 ∴ρ =12ρ?cos θcos +sin θsin ?, 6 6? ? ∴x2+y2-6 3x-6y=0, ∴(x-3 3)2+(y-3)2=36, ∴PQmax=6+6+ (3 3)2+32=18.

18

3.在极坐标系中,已知三点
? 0)、P? ?2 ?

? π ? M?2,- 3 ?

? ? ?、N(2, ?

π? ? 3, ?. 6? (1)将 M、N、P 三点的极坐标化为直角坐标; (2)判断 M、N、P 三点是否在一条直线上.
? ?x=ρcos 【解析】 (1)由公式? ? ?y=ρsin

θ, 得 M 的直角坐标 θ

为(1,- 3);N 的直角坐标为(2,0);P 的直角坐标为 (3, 3). 3- 0 3 (2)∵kMN= = 3,kNP= = 3. 2-1 3- 2 ∴kMN=kNP,∴M、N、P 三点在一条直线上.

4 .已知直线
? π ? 2kcos?θ+ 4 ?

? l : ρsin ? ?θ ?

π? ? - ? = 4 和圆 C : ρ = 4?

? ? 若直线 ?(k≠0), ?

l 上的点到圆 C 上的点的最

小距离等于 2. (1)求圆心 C 的直角坐标; (2)求实数 k 的值.
【解析】(1)∵ρ= 2kcos θ- 2ksin θ, ∴ρ2= 2kρcos θ- 2kρsin θ, ∴圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2- 2kx+ 2ky= 0,
? 即?x- ?

2 ?2 ? 2 ?2 k? +?y+ k? =k2, 2 ? 2 ? ? ? 2 2 ? ∴圆心的直角坐标为? k,- k?. 2 ? ? 2

2 2 (2)∵ρsin θ· -ρcos θ· =4, 2 2 ∴直线 l 的直角坐标方程为 x-y+4 2=0, ? 2 ? 2 ? k+ k+4 2? 2 ? 2 ? ∴ -|k|=2, 2 即|k+4|=2+|k|, 两边平方,得|k|=2k+3 ? ? ?k>0 ?k<0 ∴? 或? ,解得 k=-1. ? ? ?k=2k+3 ?-k=2k+3

5、 (1)(2013· 福建高考)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极 点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点 A 的极坐标为
5? ? ? ? π? ? 2, ? ? ? 4 ? ? ? ,直线 l 的极坐标方程为 ρcos?θ-4 ?=a,且点 A 在直线 l

上.求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程; (2)(2013· 天津高考)已知圆的极坐标方程为 ρ=4cos θ,圆心为 C,点 P
? π? 的极坐标为?4,3 ?,求 ? ?

CP.

[解] (1)∵点 A 在直线 l 上, π ∴把 ρ= 2,θ= 代入直线 l 方程应成立, 4 即
?π π? 2cos?4-4 ?=a,得 ? ?

a= 2.
? ρ?cos ?

∴直线 l 的方程可化为

π π? θcos +sin θsin ?= 2 4 4?

化简得 ρcos θ+ρsin θ=2. 从而直线 l 的直角坐标方程为 x+y-2=0.

(2)由 ρ=4cos θ 可得 x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4,因此圆心 C 的直角坐标为(2,0). 又点 P 的直角坐标为(2,2 3). 因此 CP=2 3.

6、 (2014· 南师附中月考)在极坐标系下,已知圆 O:ρ=cos θ +sin θ 和直线
? π? l:ρsin?θ-4 ?= ? ?

2 . 2

(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ∈(0,π)时,求直线 l 与圆 O 公共点的极坐标.

[解] (1)由 ρ=cos θ+sin θ 可得 ρ2=ρcos θ+ρsin θ, ?ρ2=x2+y2, ? 把?ρcos θ=x, ?ρsin θ=y ? 代入 ρ2=ρcos θ+ρsin θ 得圆 O 的直角坐标

方程:x2+y2-x-y=0. 由
? π? l:ρsin?θ-4 ?= ? ?

2 ,得 ρsin θ-ρcos θ=1, 2 所以 x-y+1=0.

? ?ρcos θ=x, 因为? ? ?ρsin θ=y,

? ?x-y+1=0, (2)由? 2 2 ? ?x +y -x-y=0,

? ?x=0, 解得? ? ?y=1,

2 2 2 ρ = x + y , ? ? ? ?ρ=1, 由? 得? 因为 θ∈(0,π),所 y ? tan θ=x?x≠0?, ?tan θ不存在, ? ?

? π? π 以 θ= ,故公共点的极坐标为?1,2?. 2 ? ?

7、(1)在极坐标系中,已知圆 ρ=2cos θ 与直线 3ρcos θ+4ρsin θ+a=0 相切,求实数 a 的值. (2)(2014· 南通质检)在极坐标系中,已知圆 C:ρ=4cos θ 被直 π 线 l:ρsin(θ- )=a 截得的弦长为 2 3,求实数 a 的值. 6

[解 ]

(1)将极坐标方程化为直角坐标方程,得圆的方程为 x2

+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,直线的方程为 3x+4y+a=0. |3×1+4×0+a| 由题设知,圆心(1,0)到直线的距离为 1,即有 32+42 =1, 解得 a=-8 或 a=2. 故 a 的值为-8 或 2.

(2)圆 C:ρ=4cos θ 的直角坐标方程为 x2+y2=4x, ∴(x-2)2+y2=4,则圆心 C(2,0),半径 r=2, 又直线 l 的直角坐标方程为 x- 3y+2a=0. |2+2a| ∴圆心 C 到 l 的距离 d= =|1+a|, 2 因为 l 被圆 C 截得弦长为 2 3. ∴r2-d2=3,即 4-|1+a|2=3. ∴a=0 或 a=-2.

8、求经过极点 标方程.

? ? π? O(0,0)、A?6,2 ?、B?6 ? ? ?

9π? 2, ?三点的圆的极坐 4?

[解 ]

将点的极坐标化为直角坐标,那么点 O、A、B 的直角

坐标分别为(0,0)、(0,6)、(6,6), 故△OAB 是 OB 为斜边的等腰直角三角形,故经过 A、B 三 点圆的圆心为(3,3),半径为 3 2. 圆的直角坐标方程为(x-3)2+(y-3)2=18, 即 x2+y2-6x-6y=0,x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入上述方程, π 得 ρ =6ρ(cos θ+sin θ),即 ρ=6 2cos(θ- ). 4
2

第二讲

曲线的参数方程及应用

【学习目标】 1.了解曲线参数方程的意义,掌握直线、圆及圆 锥曲线的参数方程,会应用参数方程解决有关的问题. 2.掌握参数方程与普通方程的互化,会根据已知 给出的参数,依据条件建立参数方程.

基础检查:
50° ____ .

? ?x=-1+tsin 40°, 1.直线? (t ? ?y=3+tcos 40°
2 ? x = t , ? 2.圆锥曲线? (t ? ?y=2t

为参数)的倾斜角为

(1 , 0) ______.

为参数)的焦点坐标是

θ , 3.如果曲线 (θ 为参数)上有 θ 且仅有两个点到原点的距离为 2,则实数 a 的取值范围 是_____________________ . (-2 2,0)∪(0, 2 2)
【解析】将曲线 C
? ?x=a+2cos 的参数方程? ? ?y=a+2sin

? ?x=a+2cos C:? ? ?y=a+2sin

θ, (θ θ

为参数)转化为普通方程,即(x-a)2+(y-a)2=4,由题 意可知,问题可转化为以原点为圆心,以 2 为半径的圆 与圆 C 总相交, 根据两圆相交的充要条件得 0< 2a2<4, ∴0<a2<8,解得 0<a<2 2或-2 2<a<0.

4.已知在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(x,y)是 x2 y2 椭圆 + =1 上的一个动点,则 S=x+y 的取值范围 2 3 [- 5, . 5] 为___________
x2 y2 【解析】因椭圆 + =1 的参数方程为 2 3 ? ?x= 2cos φ, ? (φ 为参数),故可设动点 P 的坐标为 ? ?y= 3sin φ ( 2cos φ, 3sin φ),其中 0≤φ<2π,因此 S=x+y= 2 3 2cos φ+ 3sin φ= 5 cos φ+ sin φ= 5 5 6 5sin(φ+γ),其中 tan γ= ,所以 S 的取值范围是 3 [- 5, 5].

【知识要点】 1.参数方程的定义 在平面直角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标

x ? f (t ) (x,y)都是某个变数 t 的函数,即________________ y ? g (t ) ,
并且对于 t 的每一个允许值,由该方程组所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,那么此方程组就叫做这条曲 线的参数方程,联系变数 x,y 的变数 t 叫做参变数, 简称参数. 对于参数方程而言, 直接给出点的坐标间关 系的方程 F(x,y)=0 叫做普通方程.

?

2.参数方程和普通方程的互化 由参数方程化为普通方程:_____________ 消去参数,消参 数的方法有代入法、加减(或乘除)消元法、三角代换法 等.如果知道变数 x,y 中的一个与参数 t 的关系,例 如 x=f(t), 把它代入普通方程, 求出另一个变数与参数 的关系
? ?x=f(t) y=g(t),那么? 就是曲线的参数方程, ? ?y=g(t)

在参数方程与普通方程的互化中,必须使 x,y 的取值 范围保持一致.

3.直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程 轨迹 直线 圆 椭圆 双曲线 抛物线 普通方程 参数方程
?x=x0+tcos θ y-y0=tan α(x-x0) ? (t 为参数) ?y=y0+tsin θ (x-a) +(y-b) =r
2 2 2

?x=a+rcos θ ? (θ 为参数) ?y=b+rsin θ ?x=acos θ ? (θ 为参数) ?y=bsin θ ?x=asec θ ? (θ 为参数) ?y=btan θ ?x=2pt2 ? (t 为参数) ?y=2pt

x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 x2 y2 - =1 a2 b2 y2=2px(p>0)

典例剖析:
? ?x= 5cos 例1 已 知 两 曲 线 的 参 数 方 程 分 别 为 ? ? ?y=sin θ

θ ,

52 ? ?x= t , 4 (0≤θ<π )和? (t∈R),求它们的交点坐标. ? ?y= t

【解析】 将两曲线的参数方程化为普通方程分别为 x2 2 4 2 +y =1 (0≤y≤1,- 5<x≤ 5)和 y = x,联立解得 5 5 ? 2 5? ?. 交点为?1, 5 ? ?
【点评】(1)参数方程化为普通方程常用的消参技 巧有代入消元、加减消元、平方后再加减消元等.对于 与角 θ 有关的参数方程,经常用到的公式有 sin2θ+ 1 2 2 cos θ=1,1+tan θ= 2 等. cos θ (2)在将曲线的参数方程化为普通方程时,还要注 意其中的 x,y 的取值范围,即在消去参数的过程中一 定要注意普通方程与参数方程的等价性.

例2将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变, 纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C. (1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2, 以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极坐标建立极坐标 系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标 方程.

【解析】(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下 ? ?x=x1, 2 变为 C 上的点(x,y).依题意得? 由 x2 1+y1=1 ? ?y=2y1, 2 ? ? y y 2 得 x2+?2? =1,即曲线 C 的方程为 x2+ =1. 4 ? ? ? ?x=cos t, 故 C 的参数方程为? (t 为参数). ? y = 2sin t ? 2 y ? ? ?x2+ =1, ?x=1, ? ?x=0, 4 (2)由? 解得? 或? ? ? ?y=0 ?y=2. ? ?2x+y-2=0 不妨设 P1(1,0),P2(0,2),则线段 P1P2 的中点坐 ?1 ? 1 ? ? , 1 标为 2 .所求直线斜率为 k= . 2 ? ? 1? 1 ? 于是所求直线方程为 y-1= ?x-2?,化为极坐标 2? ? 3 方程,并化简得 ρ= . 4sin θ-2cos θ

例3已知曲线
? ?x=8cos C2:? ? ?y=3sin

? ?x=-4+cos C1:? ? ?y=3+sin t

t

(t 为参数)和曲线

θ (θ 为参数). θ (1)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别 表示什么曲线; π (2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= ,Q 为 C2 上 2 ? ?x=3+2t 的动点,求 PQ 中点 M 到直线 l:? (t 为参数) ? ?y=-2+t 距离的最小值.

(x+4)2+(y-3)2=1, ? ?x=8cos θ x2 y2 由? (θ 为参数),消去 θ 得 + =1, 64 9 ? ?y=3sin θ 从而可知 C1 是圆心在(-4,3),半径为 1 的圆,C2 是 焦点在 x 轴上,半长轴长为 8,半短轴长为 3 的椭圆. (2)由题可得 P(-4,4),设 Q(8cos θ,3sin θ), ? ? 3 则 PQ 中点 M 坐标为?-2+4cos θ,2+2sin θ?, ? ? ? ?x=3+2t 又直线 l:? (t 为参数)相应的普通方程为 ? ?y=-2+t x-2y-7=0,

? ?x=-4+cos 【解析】(1)由? ? ?y=3+sin t

t

(t 为参数)消去 t 得

因 此 点 M 到 直 线 l 的 距 离 d = |-2+4cos θ-4-3sin θ-7| 12+(-2)2 5 4 = |4cos θ-3sin θ-13|, 则当 cos θ= , sin 5 5 3 8 5 θ=-5时,d 取最小值 5 . 【点评】 熟记直线与圆和圆锥曲线的参数方程的标 准式,并应明确参数方程中所隐含的信息:圆心坐标, 半径和直线的倾斜角, 同时还应了解直线与圆的参数方 程的多样性, 并灵活应用参数方程表示其曲线的点的坐 标,分析研究与其相交的问题(如最值问题).

? 10 ? 2 例4过点 ,0?作倾斜角为 α 的直线与曲线 x + 2 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ?的最小值及相应 α PM PN 2y =1 交于点 M,N,求? ?·? ? 的值.

? ? P? ?

10 ? ?x= +tcos α 2 【解析】设直线的参数方程为? (t 为 ? ?y=tsin α 参数), 3 2 2 代入曲线并整理得(1+sin α)t +( 10cos α)t+ =0 2 3 2 ? ? ? ? ? ? 则?PM?·?PN?=?t1t2?= 1+sin2α π ? ? ? 2 所以当 sin α=1,即 α= 时,? ?PM?·?PN?取得最小 2 π 3 值,且最小值为 ,此时 α= . 4 2

方法总结:
具备 1 种思想 在解决参数方程和极坐标方程问题时,常将 各类方程相互转化以方便求解. 勿忘 1 点注意 将参数方程化为普通方程时,要注意参数的 取值范围对普通方程中 x,y 的取值范围的影响.

掌握 2 个结论 设过点 M(x0,y0)的直线 l 交曲线 C 于 A、B
? ?x=x0+tcos α, 两点,若直线的参数方程为? ? ?y=y0+tsin α

(t 为参数)注意两个

结论的应用: 1.|AB|=|t1-t2|; 2.|MA|· |MB|=|t1· t2|.

拓展提高:
1、(2014· 福建高考)已知直线 l
? ?x=a-2t, 的参数方程为? ? ?y=-4t

(t

为参数),圆 C

? ?x=4cos θ, 的参数方程为? ? ?y=4sinθ

(θ 为参数).

(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (2)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围.

[解] (1)因为直线 l

? ?x=a-2t, 的参数方程为? ? ?y=-4t

(t 为参数),

a-x 由 x=a-2t,得 t= ,代入 y=-4t,得到直线 l 的普通方 2 程为 2x-y-2a=0. 同理可得曲线 C 的普通方程为 x2+y2=16.

(2)因为直线 l 与圆 C 有公共点, |-2a| 故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d= ≤4, 5 解得-2 5≤a≤2 5.

2、(2013· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数
? ?x=t+1, 方程为? ? ?y=2t

(t 为参数), 曲线 C

2 ? x = 2tan θ, ? 的参数方程为? ? ?y=2tan θ

(θ 为参数).试求直线 l 和曲线 C 的普通方程,并求出它们的公共 点的坐标.

[解 ]

因为直线 l

? ?x=t+1, 的参数方程为? ? ?y=2t

(t 为参数), 由 x=

t+1,得 t=x-1,代入 y=2t,得到直线 l 的普通方程为 2x-y-2 =0. 同理得到曲线 C 的普通方程为 y2=2x(x≥0).
? ?y=2?x-1?, 联立方程组? 2 ? ?y =2x, ?1 ? 解得公共点的坐标为(2,2),?2,-1?. ? ?

3、(1)(2014· 江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l ? 2 ?x=1- 2 t, 的参数方程为? ?y=2+ 2t 2 ?

(t 为参数),直线 l 与抛物线 y2=4x

相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长. (2)(2014· 江苏南通二模)在平面直角坐标系 xOy 中,设动点 P, Q 都在曲线
? ?x=1+2cos ? C: ? ?y=2sin θ

θ,

(θ 为参数)上, 且这两点对应的参

数分别为 θ=α 与 θ=2α(0<α<2π),设 PQ 的中点 M 与定点 A(1,0) 间的距离为 d,求 d 的取值范围.

? 2 ?x=1- 2 t [解] (1)将直线 l 的参数方程? ?y=2+ 2t 2 ?

代入抛物线 y2=4x

2 2 2 得(2+ t) =4(1- t),解得 t1=0,t2=-8 2. 2 2 所以|AB|=|t1-t2|=8 2.

(2)由题设可知 P(1+2cos α,2sin α),Q(1+2cos 2α,2sin 2α), 于是 PQ 的中点 M 的坐标为(1+cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). 从而 d2=|MA|2=(cos α+cos 2α)2+(sin α+sin 2α)2=2+2cos α. 因为 0<α<2π,所以-1≤cos α<1, 于是 0≤d2<4,故 d 的取值范围是[0,2).

x2 y2 4 、 (2014· 课标全国卷Ⅰ ) 已知曲线 C : + = 1. 直线 l : 4 9
? ?x=2+t, ? ? ?y=2-2t,

(t 为参数).

(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30° 的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最小值.

[解] (1)曲线 C

? ?x=2cos θ, 的参数方程为? ? ?y=3sin θ

(θ 为参数).

直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. 5 (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ, 3sin θ)到 l 的距离为 d= |4cos 5 θ+3sin θ-6|. d 2 5 则|PA|= = |5sin(θ+α)-6|, sin 30° 5 4 其中 α 为锐角,且 tan α= . 3

22 5 当 sin(θ+α)=-1 时,|PA|取得最大值,最大值为 . 5 2 5 当 sin(θ+α)=1 时,|PA|取得最小值,最小值为 . 5

5、在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系.已知直线 l 上两点 M,N 的极坐标分别为
?2 3 π? ? ? (2,0), 圆 , ? 3 ?, 2 ? ?

C

? ?x=2+2cos θ, 的参数方程为? ? ?y=- 3+2sin θ

(θ 为参数).

(1)设 P 为线段 MN 的中点, 求直线 OP 的平面直角坐标方程; (2)判断直线 l 与圆 C 的位置关系.

[解]
? 2 3? ? ? 0 , ? ?. 3 ? ?

(1) 由题意知, M , N 的平面直角坐标分别为 (2,0) ,

又 P 为线段 MN 的中点, 从而点 P

? ? 的平面直角坐标为?1, ?

3? ? , ? 3?

3 故直线 OP 的平面直角坐标方程为 y= x. 3

(2)因为直线 l 上两点 M,N 的平面直角坐标分别为 (2,0),
? 2 3? ? ? 0 , ? ?,所以直线 3 ? ?

l 的平面直角坐标方程 3x+3y-2 3=0.

又圆 C 的圆心坐标为(2,- 3),半径 r=2,圆心到直线 l 的 |2 3-3 3-2 3| 3 距离 d= = <r,故直线 l 与圆 C 相交. 2 2 2 ? 3? + 3

6、(2014· 课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为 极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 ρ =2cos
? π? θ,θ∈?0, 2?. ? ?

(1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3x+2 垂 直,根据(1)中你得到的参数方程,确定 D 的坐标.

[解] (1)C 的普通方程为 (x-1)2+y2=1(0≤y≤1) 可得 C 的参数方程为
? ?x=1+cos ? ? ?y=sin t

t,

(t 为参数,0≤t≤π).

(2)设 D(1+cos t,sin t).由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半 径的上半圆.因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直,所以直线 GD 与 l π 的斜率相同,tan t= 3,t= . 3 故D
? 的直角坐标为?1+cos ?

π π? ,sin ?, 3 3?

?3 ? 即? , ?2

3? ? . ? 2?

7、(2014· 扬州调研)已知直线 l 的极坐标方程是 4 2,圆 M
? ?x=1+ 的参数方程是? ? ?y=1+

? π? ρcos?θ+4 ?= ? ?

2cos θ, (θ 是参数). 2sin θ

(1)将直线的极坐标方程化为普通方程; (2)求圆上的点到直线 l 上点距离的最小值.

[解] (1)由

? π? ρcos?θ+4 ?=4 ? ?

2 2 2得 ρcos θ- ρsin θ=4 2, 2 2

即 x-y-8=0.
? ?x=1+ 2cos θ, (2)由? ? ?y=-1+ 2sin θ

消去参数 θ 得(x-1)2+(y+1)2=2,

故圆的圆心为 M(1,-1),半径为 2, |1-?-1?-8| ∴圆心 M 到直线 l 的距离为 d= =3 2, 2 ∴圆上的点到直线 l 上点的距离的最小值是 3 2- 2=2 2.


推荐相关:

高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结

高中数学选修4—4(坐标系与参数方程)知识点总结_计算机软件及应用_IT/计算机_专业资料。坐标系与参数方程 知识点 1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x,...


高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案

高中数学选修4-4坐标系与参数方程完整教案_数学_自然科学_专业资料。第一讲 坐标系一 平面直角坐标系课题:1、平面直角坐标系教学目的:知识与技能:回顾在平面直角...


坐标系与参数方程 知识点

坐标系与参数方程 知识点_高一数学_数学_高中教育_教育专区。坐标系与参数方程 知识点 1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任...


选修4-4坐标系与参数方程 高考题 分类汇总 (题目和答案)

选修4-4坐标系与参数方程 高考题 分类汇总 (题目和答案)_数学_高中教育_教育专区。坐标系与参数方程,高考题,有答案。坐标系与参数方程 1 、( 2011 天津)下列...


坐标系与参数方程教案

高中数学选修 4-4 坐标系与参数方程一、【课程目标】 、【课程目标】 课程目标 本专题的内容包括:坐标系、曲线的极坐标方程、平面坐标系中几种变换、参数 方程...


坐标系与参数方程知识点汇总

坐标系与参数方程知识点汇总_数学_高中教育_教育专区。坐标系与参数方程知识点 1、平面直角坐标系中的伸缩变换: ? 2、 / ? ? x ? ? x, (? ? 0) / ?...


极坐标与参数方程知识点总结

坐标与参数方程知识点总结_高三数学_数学_高中教育_教育专区。极坐标与参数方程知识点和基本题型,以及历年高考例题汇编极坐标与参数方程知识点总结题型一、参数方程...


极坐标与参数方程题型及解题方法

坐标与参数方程题型及解题方法_高二数学_数学_高中教育_教育专区。极坐标与参数方程题型归纳及解题方法步骤 参 数方 程极 坐标 Ⅰ复习提问 1、 极坐标系和直角...


坐标系与参数方程常考题型及解析

坐标系与参数方程高考常考题型及解析随着高考改革的不但深入,考试内用也在不但改革,分为必修和选修两部分,选修部分 又分为高考必考部分和选考部分, 这是对部分...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com