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2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题评阅要点


2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 A 题评阅要点
[说明]本要点仅供参考,各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答,自主地进行评阅。 该问题是来自于加油站设备研究与生产企业的一个实际课题,问题由两大部分组成: (1)为了观察检验罐体变位对罐容表的影响,在已知变位参数的情况下,检测出油位高度和油量的对应数 值,建模分析罐容表的变化规律,并给出修正的罐容表,属于“正问题”。 (2)根据实际检测数据,正确识别罐体是如何变位的,具体变了多少?同时要给出罐容表的修正标定方法 和结果,属于“反问题”。 具体需要把握以下几个方面:

第一部分: 第一部分:小椭圆型实验罐的有关问题
(1)要明确给出小椭圆型油罐正常体位(无变位)的不同油位高度与储油量的计算模型和公式,正确的结 果(具体表达形式不唯一)是: , 其中分别为罐体截面椭圆的长半轴、短半轴和罐体长度,为罐内的油位高度。通过代入几何参数计算得到正常 (即标准)的罐容表对应值。
表1:正常情况下小椭圆罐的罐容表部分结果 : 油位高度/cm 油位高度 10 油量/L 油量 163. 59 450. 27 803. 54 油位高度/cm 油位高度 40 油量/L 油量 119 9.31 162 1.00 205 5.07 油位高度/cm 油位高度 70 油量/L 油量 248 9.15 291 0.84 330 6.61 油位高度/cm 油位高度 100 油量/L 油量 3659 .88 3946 .55 4110 .15

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(2)讨论罐体变位的影响,要求给出纵向倾斜变位后修正模型,用不同方法可能有不同的表达形式,但需要 分别考虑罐体两端有油/无油的不同情况。将变位参数代入模型,计算出修正后的罐容表标定值,并与正常的标 定值进行比较,分析罐体变位的影响。实际上,对于纵向倾斜变位的影响明显,最大误差在257L 以上,平均误 差达到190L 以上,平均相对误差达30%以上。
表2:小椭圆罐的修正罐容表的部分结果() :小椭圆罐的修正罐容表的部分结果() 油位高度 /cm 10 70.1 3 281. 86 595. 25 油量/L 油量 油位高度 /cm 40 965.6 6 1371. 88 1798. 52 油量/L 油量 油位高度 /cm 70 2232. 50 2661. 42 3072. 43 油量/L 油量 油位高度 /cm 100 3450. 72 3776. 64 4012. 74 油量/L 油量

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第二部分:实际大储油罐的有关问题 第二部分:
(1)根据储油罐纵向的变位方向,对于不同的油位高度,分别考虑油罐的两端有油和一端有油的情况建模 分析,可以得到罐内实际储油量与纵向倾斜变位参数、横向偏转变位参数和油位高度的关系模型,即。详细的 解析模型表述形式比较复杂,重在分析过程,注意油罐两端含油的不同情况。 当然,也可能通过实际数据采用数值方法、工程方法或几何方法等近似方法实现,但应关注引入变位参数 的方法和表示形式的合理性。 (2)必须明确给出变位参数的辨识准则。 因为实际罐内油量初值未知, 所以罐内储油量的准确值是未知的。 由附件2的检测数据可以知道不同时刻的 出油量 ,同时可以计算出相应油位高度的改变量,并由模型表达式计算得到实际储油量的改变量 ?,问题 可归结为求解非线性最小二乘问题: ,或等。 利用附件2中的部分数据(如前半部分) ,借助于工具软件或各种数值方法求解得到参数估计值。其具体的数值 用不同的方法会有差别,但结果应是纵向倾斜变位角略大于2度,横向偏转变位角影响不敏感。 如果直接使用附件2中的显示储油量和对应的做参数估计,即求问题的解,这是不对的,因为是无变位时的 显示储油量。若储油量的体积公式正确的,则用该方法得到的参数值会很小。 如果经分析说明横向偏转变位的影响不大,则可以直接考虑纵向变位的单参数辨识。

(3)根据修正模型及参数估计值,可以得到变位后的罐容表(参见表3) 。并利用附件2的实际检测数据(如 后半部分)分析检验模型的正确性与方法的可靠性。 (4)为便于比较计算结果,这里给出实际储油罐无变位情况的罐容表部分标定值(见表4) 参考要点给 。 出的仅是一种可行解决方法,学生可以使用各种数值方法、工程方法和近似处理方法,请根据实际情况评判。



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