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【2015届备考】2014全国名校数学试题分类解析汇编:F单元 平面向量


F 单元 目录

平面向量

F 单元 平面向量 ........................................................................................................................... 1 F1 平面向量的概念及其线性运算............................................................................................... 1 F2 平面向量基本定理及向量坐标运算....................................................................................... 5 F3 平面向量的数量积及应用....................................................................................................... 8 F4 单元综合 ................................................................................................................................ 24

F1

平面向量的概念及其线性运算

【文·浙江效实中学高二期末·2014】18.已知 | a |? 1, | b |? 2 , a 与 b 的夹角为 60 , 求(1) a 在 b 方向上的投影;(2) c ? ? a ? b 与 d ? a ? 2b 的夹角为锐角,求 ? 的取值范 围。 【知识点】向量的投影,向量的夹角 【 答 案 解 析 】 (1)

1 1 1 ; ( 2? ) ( 3, ) ? ( ?, 解 析 ) :解:(1) a 在 b 方向上的投影为 2 2 2 1 1 a cos 60 = 1 ? ? ;(2)若 c ? ? a ? b 与 d ? a ? 2b 的夹角为锐角,则 c ? d ? 0 且 2 2 1 1 两向量不共线,得 ? a ? b ? a ? 2b ? 3? ? 9 ? 0 且 ? ? ,得 ? ? ?3且? ? . 2 2

?

? ?

?

【思路点拨】在求一个向量在另一个向量上的投影时,可直接利用定义进行计算,判断两个 向量的夹角为锐角或钝角时, 可直接利用数量积的符号进行解答, 注意要排除两向量共线的 情况.21· cn· jy· com

【文· 浙江效实中学高二期末· 2014】 5. 在 ?ABC 中,G 为 ?ABC 的重心,D 在边 AC 上, 且 CD ? 3DA ,则

A
1 1 AC (B) GD ? ? AB ? 3 12 1 1 AC (D) GD ? ? AB ? 3 12

1 7 AC (A) GD ? AB ? 3 12 1 7 AC (C) GD ? ? AB ? 3 12
【知识点】向量的加减几何运算

D

G
B

C

【 答 案 解 析 】 B

解 析 : 解 : 因 为 AG ?

G D ?

A ? D

1 A ?G 4

1 A ? C 3

?

?A B

?

1 1 AB ? AC , AD ? AC , 则 3 4 1 1 ?A ? C ? A B B A C ,所以选 3 1 2

?

?

【思路点拨】 求向量通常观察该向量所在的三角形, 在三角形中利用向量加法或减法的运算 求向量即可;本题还需要注意应用三角形重心的性质转化求解.www-2-1-cnjy-com

【文·广东惠州一中高三一调·2014】5.若向量 BA ? (1, 2), CA ? (4,5), 则 BC ? A. (5, 7) B. (?3, ?3) C. (3,3) D. (?5, ?7)

【知识点】相反向量;向量的四则运算. 【答案解析】B 解析 :解:因为 CA ? (4, 5),AC = (- 4,- 5),所以

BC ? BA ? AC ? ? ?3, ?3? ,故选 B.
【思路点拨】由相反向量的定义得 AC = (- 4, - 5) ,再结合向量的加法运算即可.

【理·浙江绍兴一中高二期末·2014】16.如图,在扇形 OAB 中, ?AOB ? 60? ,C 为弧 AB 上 的一个动点.若 OC ? x OA? y OB ,则 x ? 4 y 的取值范围是 【知识点】向 量 在 几 何 中 的 应 用 . 【答案解析】 1, 4 解析 :解:如图:
??

??

??





[ ]

A

C

O
(第 16 题)

B

过 点 C 作 CE ∥ OB , 交 OA 于 E , 再 作 CF ∥ OA , 交 OB 于 F , 可 得 ∵ 四 边 形 OECF 是 平 行 四 边 形

=OE + OF ,2-1-c-n-j-y ∴ OC
∵ OC ? x OA? y OB , OE 与 OA 是 共 线 向 量 且 OF 与 OB 是 共 线 向 量 , ∴ OE =x OA , OF =y OB
??

??

??

根 据 OE 与 OA 同 向 、 OF 与 OB 同 向 , 可 得 x=

OE OA

且 y=

OF OB

∵ x 、 y 均 为 正 数 且 x+3y 中 y 的 系 数 较 大 , 当 点 C 沿 AB 弧 由 A 向 B 运 动 的 过 程 中 , OE 变 短 而 OF 变 长 , ∴ 当 C 与 A 重 合 时 , x=1 达 到 最 大 而 y=0 达 到 最 小 , 此 时 x ? 4 y 有 最 小 值 为 1 ; 当 C 与 A 重 合 时 , x=0 达 到 最 小 而 y=1 达 到 最 大 , 此 时 x ? 4 y 有 最 大 值 为 4 即 x ? 4 y 的 取 值 范 围 是 1, 4 故 答 案 为 : 1, 4

[ ]

[ ]

21*cnjy*com

【思路点拨】过 点 C 作 CE ∥ OB , 交 OA 于 E , 再 作 CF ∥ OA , 交 OB 于 F . 平 行 四 边

OF =y OB =OE + OF , 形 OECF 中 , 可 得 OC 结 合 平 面 向 量 基 本 定 理 得 到 OE =x OA ,
.考 虑 到 x 、y 均 为 正 数 且 x ? 4 y 中 y 的 系 数 较 大 ,所 以 当 y 越 大 时 x ? 4 y 的 值 越 大 , 因 此 将 点 C 沿 AB 弧 由 A 向 B 运 动 , 加 以 观 察 即 可 得 到 x ? 4 y 的 取 值 范 围 .

【理·浙江绍兴一中高二期末·2014】16.如图,在扇形 OAB 中, ?AOB ? 60? ,C 为弧 AB 上 的一个动点.若 OC ? x OA? y OB ,则 x ? 4 y 的取值范围是 【知识点】向 量 在 几 何 中 的 应 用 . 【答案解析】 1, 4 解析 :解:如图:
??

??

??





[ ]

A

C

O
(第 16 题)

B

过 点 C 作 CE ∥ OB , 交 OA 于 E , 再 作 CF ∥ OA , 交 OB 于 F , 可 得 ∵ 四 边 形 OECF 是 平 行 四 边 形

=OE + OF , ∴ OC
∵ OC ? x OA? y OB , OE 与 OA 是 共 线 向 量 且 OF 与 OB 是 共 线 向 量 , ∴ OE =x OA , OF =y OB 根 据 OE 与 OA 同 向 、 OF 与 OB 同 向 , 可 得 x=
??

??

??

OE OA

且 y=

OF OB

∵ x 、 y 均 为 正 数 且 x+3y 中 y 的 系 数 较 大 , 当 点 C 沿 AB 弧 由 A 向 B 运 动 的 过 程 中 , OE 变 短 而 OF 变 长 , ∴ 当 C 与 A 重 合 时 , x=1 达 到 最 大 而 y=0 达 到 最 小 , 此 时 x ? 4 y 有 最 小 值 为 1 ; 当 C 与 A 重 合 时 , x=0 达 到 最 小 而 y=1 达 到 最 大 , 此 时 x ? 4 y 有 最 大 值 为 4 即 x ? 4 y 的 取 值 范 围 是 1, 4 故 答 案 为 : 1, 4

[ ]

[ ]

【思路点拨】过 点 C 作 CE ∥ OB , 交 OA 于 E , 再 作 CF ∥ OA , 交 OB 于 F . 平 行 四 边

OF =y OB =OE + OF , 形 OECF 中 , 可 得 OC 结 合 平 面 向 量 基 本 定 理 得 到 OE =x OA ,
.考 虑 到 x 、y 均 为 正 数 且 x ? 4 y 中 y 的 系 数 较 大 ,所 以 当 y 越 大 时 x ? 4 y 的 值 越 大 , 因 此 将 点 C 沿 AB 弧 由 A 向 B 运 动 , 加 以 观 察 即 可 得 到 x ? 4 y 的 取 值 范 围 .

【理· 吉林长春十一中高二期末· 2014】 6. 设点 M 是线段 BC 的中点, 点 A 在直线 BC

外, BC ? 4 , AB ? AC ? AB ? AC ,则 AM ? ( A.8 B.4 C.2 【知识点】向量的线性运算性质及几何意义.

) D.1

【答案解析】C 解析 :解:由 BC ? 4 ,∵ AB ? AC ? AB ? AC = BC , 而 AB + AC = 2 AM ∴ AM ? 2,故选 C.

【思路点拨】 先由 BC ? 4 , 又 AB ? AC ? AB ? AC = BC = 2 AM =4, 可得答案.

【理·广东惠州一中高三一调·2014】8.已知向量 a 与 b 的夹角为 ? ,定义 a ? b 为 a 与 b 的 “ 向 量 积 ” , 且 a ? b 是 一 个 向 量 , 它 的 长 度 a ? b ? a b sin ? , 若 u ? ( 2, 0 ) ,

r

r r u ? v ? (1, ? 3) ,则 u ? (u ? v) ? (
A. 4 3 B. 3



C. 6

D. 2 3

【知识点】向量加减运算;模的运算;夹角的运算. 【 答 案 解 析 】 D 解 析 : 解 : 由 题 意 v ? u ? (u ? v) ? (1, 3) , 则 u ? v ? ( 3, , 3)

cos ? u, u ? v ??

1 3 ,得 sin ? u , u ? v ?? , 2 2

由定义知 u ? (u ? v) ? u u ? v sin ? u , u ? v ?? 2 ? 2 3 ?

1 ? 2 3 ,故选 D .. 2

【思路点拨】先求 v ,再求 u + v ,数形结合求 sin q ,最后套“向量积”的长度公式即可.

【黑龙江哈六中高一期末·2014】3.设向量 a, b 满足 | a ? b |? 10 ,| a ? b |? 6 ,则 a ? b ? ( ) (B)2 (C)3 (D)5

(A)1

【知识点】向量的模的运算.

| a ? b |? 10 两 边 平 方 得 a + 2a?b b = 10 , 【答案解析】 A解析 : 解: 同理 | a ? b |? 6 ,
两 边 平 方 得 a - 2a ?b b = 6 ,两式相减 a ? b ? 1 .故选A. 【思路点拨】把 | a ? b |? 10 , | a ? b |? 6 平方相减即可得到结果 .
2 2

2

2

【吉林一中高一期末·2014】16. 已知点

A ?1,3? , B ? 4, ?1? , 则与向量 AB同方向的单位向量为
【知识点】单位向量,向量共线. 【答案解析】 ? ,-

?3 ?5

4? ) ,故与向量 AB 同方向的单 ? 解析 :解: 由已知得 AB = ( 3, - 4 5?

位向量为

4? 4? AB ? 3 ?3 = ? ,- ? ,故答案为 ? ,- ? 5? 5? | AB | ? 5 ?5

【思路点拨】先得到 AB = 3, - 4 ,然后再求同方向的单位向量即可.

(

)

F2

平面向量基本定理及向量坐标运算

2 【文· 浙江效实中学高二期末· 2014】 11. 已知向量 a =( x ? 1 , 2 ? x ), b =( x , 1 ), 若 a ∥b ,

则x= ▲ . 【知识点】向量共线的坐标表示

【答案解析】 ?

1 1 2 解析:解:因为 a ∥ b ,则 x ? 1 ? x ? 2 ? x ? ? ?1 ? 2 x ? 0, 得x ? ? . 2 2

【思路点拨】由向量共线的坐标关系,直接得到关于 x 的方程,解方程即可.

【文·四川成都高三摸底·2014】1.已知向量 a=(5,-3),b=(-6,4),则 a+b= (A)(1,1) (B)(-1,-1) (C)(1,-1) (D)(-1,1) 【知识点】向量的坐标运算 【答案解析】D 解析:解:由向量的坐标运算得 a+b=(5,-3)+(-6,4)=(-1,1),所 以选 D. 【思路点拨】 本题主要考查的是向量加法的坐标运算, 可直接结合向量加法的运算法则计算.

【理·四川成都高三摸底·2014】1.已知向量 a=(5,-3),b=(-6,4),则 a+b= (A)(1,1) (B)(-1,-1) (C)(1,-1) (D)(-1,1) 【知识点】向量的坐标运算 【答案解析】D 解析:解:由向量的坐标运算得 a+b=(5,-3)+(-6,4)=(-1,1),所 以选 D.21*cnjy*com 【思路点拨】 本题主要考查的是向量加法的坐标运算, 可直接结合向量加法的运算法则计算. 【甘肃兰州一中高一期末考试·2014】19.(本小题 8 分)

uuu r uur uuu r uu u r 如图所示, 在△ABO 中,OC ? 1 OA, OD ? 1 OB , AD 与 BC
设 OA = a , OB = b .试用 a 和 b 表示向量 OM . 【知识点】共 线 向 量 的 基 本 定 理 。 【答案解析】 OM =

uur

r

uuu r r

r

4

r

uuur

2

相交于点 M,

uuur

1 7

r r a +3 b.
7

解析 :解:设 OM =m a +n b ,则 AM = OM - OA =m a +n b - a =(m-1)
AD = OD - OA =

r

r

r

r r

r r a +n b .

1 1 OB - OA =- a + 2 2

r

r b .又∵A、M、D 三点共线,∴ AM 与 AD 共线.
...............................2 分 ∴(m-1)

∴存在实数 t,使得 AM =t AD ,

r r r 1r (m-1) a +n b =t(- a + b ).
2

r r r r a +n b =-t a + 1 t b .
2

?m ? 1 ? ?t ? ,消去 t 得:m-1=-2n.即 m+2n=1. ∴ ?n ? t ? 2 ?

①......................4 分

又∵ CM = OM - OC =m a +n b -

r

r

1 4

r r r r r r r a =(m- 1 ) a +n b . CB = OB - OC = b - 1 a =- 1 a + b .
4 4 4

又∵C、M、B 三点共线,∴ CM 与 CB 共线. ∴存在实数 t1,使得 CM =t1 CB , ∴(m- ) a +n b =t1(1 4

r

r

1 4

1 1 r r ? m ? ? ? t1 a + b )∴ ? 4 4 , ? ? n ? t1 ?

消去 t1 得,4m+n=1 ②...............................6 分 由①②得 m= ,n= ,? OM =
1 7 3 7

uuur

1 7

r r a + 3 b ........................8 分
7

注:本题解法较多,只要正确合理均可酌情给分. 【思路点拨】由 D ,M ,A 三 点 共 线 ,可 得 存 在 实 数 m 使 得 (m-1) 同 理 可 得 (m- ) a +n b =t1(而可用向量
1 4

r r r r a +n b =t(- a + 1 b ),
2

r

r

1 4

r r a + b ),根 据 向 量 相 等 的 条 件 可 求 m , n , 的 值 , 从

r r uuur a 和 b 表示向量 OM .

【吉林一中高一期末· 2014】 15. 在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,

若 AC ? mAE ? nAF ,其中 m, n ? R ,则 m + n =__________
【知识点】向 量 的 运 算 法 ; 平 面 向 量 的 基 本 定 理 及 其 意 义 . 【答案解析】

4 解析 :解:如 图 所 示 : 3

∵ 平 行 四 边 形 ABCD , 点 E 、 F 分 别 为 边 BC 、 CD 上 的 中 点 ,

=AD + AB, DE= AB, BF= AD, =AE - DE=AE ∴ AC 而 AD AB =AF - BF = AF 1 3 AD, 两式相加可得 AC = AE + AF ,即 2 2 2 2 4 AC = AE + AF ,所以 m + n = . 3 3 3

1 2

1 2

1 AB, 2

【思路点拨】利 用 向 量 的 运 算 法 则 即 可 得 出 结 果 .

【吉林一中高一期末· 2014 】 14. 设 a ? (2?,?4) , b ? (1,1) ? ? ,若 b ? (a ? mb) ,则实数

m ? ________.
【知识点】向量的运算;向量垂直的充要条件. 【答案解析】 ?3 解析 :解: 又

a = ( 2,4) , b = (1,1) , \ a + mb = ( 2 + m,4 + m) ,

b ^ a + mb ,\ b ? a mb = 0 ,即 2 + m + 4 + m = 0, 解得 m = - 3 .

(

)

(

)

【思路点拨】先由向量的基本运算得到 a + mb 的坐标表示,再利用向量垂直的充要条件即

可.

F3

平面向量的数量积及应用

【文·浙江效实中学高二期末·2014】17.如图,扇形 AOB 的弧的中点为 M ,动点 C , D 分别 在线段 OA, OB 上, 且 BD ? 2OC. 若 OA ? 2 , ?AOB ? 120? ,则 MC ? MD 的取值范围 是__ ▲ _. 【知识点】向量的减法运算,向量的数量积 【 答 案 解 析 】 [ 2 , 3解 ] 析 : 解 : 设 OC=x , 则 BD=2x , 显 然 0 ≤ x ≤ 1 ,

MC ? MD ? OC ? OM ? OD ? OM ? OC ? OD ? OC ? OM ? OD ? OM ? OM
= x ? 2 ? 2x ? ? ? ?

?

??

?

2

1 1 ? 1? 2 ? ? 2 x ? ? 2 ? 2 ? 2 x ? ? ? 4 ? x ? 2 ? ? 2,3? . 2 2 ? 2?

【思路点拨】 在向量的运算中通常把所求的向量利用向量的加法与减法转化为用已知向量表 示,再进行解答.

【 文 · 浙 江 效 实 中 学 高 二 期 末 · 2014 】 10 . 如 图 , 在 平 面 四 边 形 ABCD 中, AB ? BC , AD ? DC .若 AB ? a , AD ? b , 则 AC ? BD ?

2 2 (A) a ? b

2 2 (B) b ? a

2 2 (C) a ? b

(D) ab

【知识点】向量的加法与减法的几何运算,向量垂直的应用、向量的数量积 【答案解析】B 解析:解:因为 AB ? BC , AD ? DC ,所以

AB ? BC ? 0, AD ? DC ? 0 . AC ? BD ? AD ? DC ? AD ? AB ? AD ? AC ? AB ?
AD ? AB ? BC ? AB ? AD ? AB ? b2 ? a 2 ,则选 B.
【思路点拨】 在计算向量的数量积时, 可把所求的向量利用向量的加法和减法向已知条件中 的向量转化,再进行计算.2· 1· c· n· j· y
2

?

??

?

2

?

?

2

2

0 【文· 浙江效实中学高二期末· 2014】 3. 设 a ? 1 ,b ? 2 , 且 a ,b 夹角 120 , 则 2a ? b ?

(A) 2

(B) 4

(C) 12

(D) 2 3

【知识点】向量的模、向量的数量积 【答案解析】A 解析:解: 2a ? b ?

2a ? b ? 4a ? b ? 4a ? b ? 4 ? 4 ? 4 ? 1? 2 ? cos120 ? 2 ,

2

2

2

所以选 A. 【思路点拨】一般求向量的模经常利用性质:向量的平方等于其模的平方,进行转化求值.

【文·浙江绍兴一中高二期末 `2014 】 3 .已知向量 a, b 满足 a ? b ? 0, | a |? 1, | b |? 2 ,则

| a ? b |? (
A.0

) B.1 C .2 D. 5
.Com]

【知识点】向量的数量积的运算;模的运算. 【答案解析】D解析 :解:因为向量 a, b 满足 a ? b ? 0, | a |? 1, | b |? 2 ,所以

| a - b |=

(

a- b

)

2

=

a - 2a ?b b = 1 - 0 + 4 = 5 ,故选:D. a - 2a ?b b 即可.
2 2

2

2

【思路点拨】把已知条件代入 | a - b | 转化之后的表达式

【文·浙江宁波高二期末·2014】18.(本小题满分 14 分) 已知向量 m ? (sin x, 3 sin x), n ? (sin x,? cos x) ,设函数 f ( x) ? m ? n . (1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)在 ?ABC 中, a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边, A 为锐角,若

f ( A) ? sin( 2 A ?

?
6

) ? 1 , b ? c ? 7 , ?ABC 的面积为 2 3 ,求边 a 的长.

【知识点】解 三 角 形 ;平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示 ; 模 、夹 角 ;三 角 函 数 中 的 恒 等 变换应用. ? 2 ? ? 【答案解析】(1)函数 f ( x) 的单调递增区间为 ? k? ? , k? ? ? ? , k ? Z (2) 5 . 6 3 ? ? 解析 :解:(1)由 题 意 得

f ( x ) = sin 2 x 令 2kp +

1 - cos2x 3 1 p 3sinxcosx= sin2x = - sin(2x + ) ???3 分 2 2 2 6

p p 3p ? 2x ? 2kp ,k Z ???5 分 2 6 2 p 2p p+ ,k Z 解 得 : kp + #x k 6 3

? 2 ? ? 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 ? k? ? , k? ? ? ? , k ? Z ???7 分 6 3 ? ?
(2)由 f ( A) ? sin( 2 A ? 化简得: cos 2 A ? ? 又因为 0 ? A ?

?
6

) ? 1 得:

1 ? ? ? sin( 2 A ? ) ? sin( 2 A ? ) ? 1 2 6 6 ,
???9 分

1 2,

?
2

,解得: A ?

?
3

???10 分 ???12 分

由题意知: S ?ABC ?
2

1 bc sin A ? 2 3 ,解得 bc ? 8 , 2
2 2 2

又 b ? c ? 7 ,所以 a ? b ? c ? 2bc cos A ? (b ? c ) ? 2bc (1 ? cos A)

1 ? 49 ? 2 ? 8 ? (1 ? ) ? 25 2 ,
故所求边 a 的长为 5 . ??14 分 【思路点拨】(1)利 用 向 量 的 数 量 积 公 式 , 结 合 辅 助 角 公 式 化 简 函 数 , 再 利 用 正 弦函数的单调性,结合函数的定义域,即可得到结论; (2)由 f ( A) ? sin( 2 A ?

?
6

) ? 1, 可 得 A ?

?
3

, 利 用 △ ABC 的 面 积 为 2 3 , 结 合 余

弦定理,即可求边 a 的长. 【典型总结】 本题考查向量知识的运用, 考查三角函数的化简与三角函数的性质, 考查余弦定理的运用,正确化简函数是关键. 【文·浙江宁波高二期末·2014】16.已知正方形 ABCD 的边长为 2, P 是正方形 ABCD 的 外接圆上的动点,则 AB ? AP 的最大值为______________www.21-cn-jy.com 【知识点】向 量 的 坐 标 运 算 ; 数 量 积 运 算 ; 一 次 函 数 的 单 调 性 . 【答案解析】 2 + 2 2 解析 :解:如 图 所 示 , 建 立 直 角 坐 标 系 .

O( 0 , 0 ), A( -1 , -1 ), B( 1 , -1 ).∴ AB =( 1 , -1 ) -( -1 , -1 ) =( 2 , 0 ). 设 P ( x , y ) , 则 x + y = 2 (2 2

2# x

2. )

∴ AP = ( x , y ) - ( -1 , -1 ) = ( x+1 , y+1 ) .

∴ AB ×AP = ( 2 , 0 ) ?( x+1 , y+1 ) =2 ( x+1 ) , ∵-

2 #x

2,

∴ 当 x=

2 时 , A B× A P的 最 大 值 为 2 + 2 2.

故 答 案 为 : 2 + 2 2. 【思路点拨】建 立 坐 标 系 , 利 用 向 量 的 坐 标 运 算 、 数 量 积 运 算 和 一 次 函 数 的 单 调 性即可得出.

【文·浙江宁波高二期末·2014】3.平面向量 a 与 b 的夹角为 120 ,且 a ? (2, 0) , b ? 1 , 则 a + 2b ? ( A. ) B. 2 3 C. 2 D.

4

3

【知识点】向量的数量积运算;向量的模的运算. 【答案解析】C解析 :解:因为 a ? (2, 0) ,故 a = 2 ,所以 a ?b 而 a + 2b = 故选:C. 【思路点拨】下通过已知条件得到 a 以及 a ×b ,然后代入 a + 2b =

a b cos1200 = - 1 ,

(

a + 2b

)

2

=

a + 4a ?b 4 b = 4 = 2 .

2

2

( a + 2b)

2

即可.

【文·四川成都高三摸底·2014】17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知向量 m=(a-b,c-a),n=(a+b, c)且 m·n=0。 (I)求角 B 的大小; (Ⅱ)求函数 f(A)=sin ? A ?

? ?

??

? 的值域。 6?

【知识点】向量的数量积的坐标运算,余弦定理、三角函数的值域 【答案解析】(I)

? ?1 ? 2 2 2 ;(Ⅱ) ? ,1? 解析:解:由 m·n=0 得 a ? c ?b ? ac ,由余弦 3 ?2 ?

a 2 ? c2 ? b2 1 ? ? ,又因为 B 为三角形内角,所以 B ? ; 定理得 cos B ? 2ac 2 3
(Ⅱ)由(I)得 A ? ? ?

?

? 2? ? C ? ? 0, 3 ? 3

? ? ? 5? ? ? ,所以 A ? ? ? , 6 ?6 6 ?

? ? ?1 ? ? ? ? ,sin ? A ? ? ? ? ,1? , 6? ?2 ? ? ?

则所求函数的值域为 ?

?1 ? ,1 . ?2 ? ?

【思路点拨】在求角中注意余弦定理的变式应用,在三角函数给定区间求值域问题,通常先 由所给角的范围得辅角范围,再利用三角函数的单调性确定值域.

【理·浙江绍兴一中高二期末· 2014 】 3 . 已知向量 a, b 满足 a ? b ? 0, | a |?| b |? 1 ,则

| a ? b |?
A.0 B.1 C .2 【知识点】向量的数量积的运算;模的运算. D. 2
.Com]

【答案解析】D解析 :解:因为向量 a, b 满足 a ? b ? 0, | a |?| b |? 1 ,所以

| a - b |=

( a - b)

2

=

a - 2a ?b b = 1 - 0 +1 = 2 ,故选:D. a - 2a ?b b 即可.
2 2

2

2

【思路点拨】把已知条件代入 | a - b | 转化之后的表达式

【 理 · 浙 江 宁 波 高 二 期 末 `2014 】 8. 如 图 所 示 , O 为 ?ABC 的 外 接 圆 圆 心 , AB ? 10, AC ? 4 , ?BAC 为 钝 角 ,M 是 边 BC 的 中 点 , 则 AM ? AO =

( ) A.21 B.29 C.25 D.40 【知识点】向 量 数 量 积 的 运 算 ; 数 形 结 合 ; 数 量 积 的 定 义 . 【答案解析】B 解析 :解:( 如 图 ) 错误!未找到引用源。 取 AB 、 AC 的 中 点 D 、 E , 可 知 OD ⊥ AB , OE ⊥ AC

= ∵ M 是 边 BC 的 中 点 , \ A M
∴ \ AM ?AO

1 ( AB + AC) 2 1 1 1 (AB + AC) ?AO AB?AO AC ?AO AD ?AO AE AO 2 2 2

由 数 量 积 的 定 义 可 得 AD? AO | AD | | AO | < cos , AD >, AO
2 而 | AO | cos<AD,AO> =| AD | , 故 AD? AO | AD = |

; 25

2 同 理 可 得 AE? AO | AE = | ,4

故 \ AM?AO 故 选 : B.

AD?AO AE ?AO 29 .

【思路点拨】取 AB 、 AC 的 中 点 D 、 E , 可 知 OD ⊥ AB , OE ⊥ AC , 所 求

2 ,| AM?AO AD?AO AE AO , 由 数 量 积 的 定 义 结 合 图 象 可 得 AD? AO | AD

AE?AO | AE |2 , 代 值 即 可 .

【理·四川成都高三摸底·2014】17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知向量 m=(a-b,c-a),n=(a+b, c)且 m·n=0。 (I)求角 B 的大小; (Ⅱ)求函数 f(A)=sin ? A ?

? ?

??

? 的值域。 6?

【知识点】向量的数量积的坐标运算,余弦定理、三角函数的值域 【答案解析】(I)

? ?1 ? 2 2 2 ;(Ⅱ) ? ,1? 解析:解:由 m·n=0 得 a ? c ?b ? ac ,由余弦 3 ?2 ?
a 2 ? c2 ? b2 1 ? ? ,又因为 B 为三角形内角,所以 B ? ; 2ac 2 3

定理得 cos B ?

(Ⅱ)由(I)得 A ? ? ?

?

? 2? ? C ? ? 0, 3 ? 3
?1 ? ?2 ?

? ? ? 5? ? ? ,所以 A ? ? ? , 6 ?6 6 ?

? ? ?1 ? ? ? ? ,sin ? A ? ? ? ? ,1? , 6? ?2 ? ? ?

则所求函数的值域为 ? ,1? . 【思路点拨】在求角中注意余弦定理的变式应用,在三角函数给定区间求值域问题,通常先 由所给角的范围得辅角范围,再利用三角函数的单调性确定值域.

【 江 苏 盐 城 中 学 高 二 期 末 · 2014 】 16 ( 文 科 学 生 做 ) 在 Rt ?ABC 中 , ?BAC ?
AB ? AC ? 6 ,设 BD ? ? BC(? ? 0) . uu u r uuu r (1)当 ? ? 2 时,求 AB ? AD 的值;

?
2



uuu r

uuu r

(2)若 AC ? AD ? 18 ,求 ? 的值. 【知识点】向量的数量积;向量的数量积运算. 【答案解析】(1)-36(2) ? ?

uuu r uuu r

1 2
????3 分

解析 :解:(1)当 ? ? 2 时, BD ? 2 BC , 所以 AD ? AB ? BD ? AB ? 2BC ? AB ? 2( AC ? AB) ? 2 AC ? AB ,

? AB ? AD ? AB ? (2 AC ? AB ) ? 2 AB ? AC ? AB ? 0 ? 36 ? ?36 .

2

(2)因为 AC ? AD ? AC ? ( AB ? BD) ? AC ? ( AB ? ? BC ) ? AC ? [ AB ? ? AC ? AB ]

?

????7 分

?

? AC ? ? AC ? (1 ? ? ) AB ? ? AC ? (1 ? ? ) AC ? AB ? 36? , 1 ? 36 ? ? 18 ,解得 ? ? . 2
(2)先计算出 AC ? AD ,然后解方程即可.

?

?

2

????12 分 ????14 分

【思路点拨】(1)当 ? ? 2 时, BD ? 2 BC ,利用向量的数量积公式计算即可;

uuu r uuu r

【江苏盐城中学高二期末·2014】(文科学生做)已知平面向量 a , b 满足 | a |? 2 , | b |? 2 ,

| a ? 2b |? 5 ,则向量 a , b 夹角的余弦值为
【知识点】数 量 积 表 示 两 个 向 量 的 夹 角 . 【答案解析】
2 2



.【来源:21·世纪·教育·网】

5 解析 :解:设 向 量 a, b 的 夹 角 为 q ; 因为 | a ? 2b | ? 5,平方变形得: 16

a + 4 b + 4a ?b 25 ,解得: a ?b
故答案为:

a ×b 5 5 ,所以 cosq = = . 4 a ×b 16

5 . 16

【思路点拨】先 设 出 其 夹 角 , 根 据 已 知 条 件 整 理 出 关 于 夹 角 的 等 式 , 解 方 程 即 可 .

【 黑 龙 江 哈六 中 高一 期末 · 2014 】 11 .已 知 向量 OB ? (2,0) , 向 量 OC ? (2,2) , 向 量

CA ? ( 2 cos ? , 2 sin ? ) ,则向量 OA 与向量 OB 的夹角的取值范围是(
(A) [0, ]



? 4

(B) [ ,

? 5?
4 12

]

(C) [

5? ? , ] 12 4

(D) [

, ] 12 12

? 5?

【知识点】数 量 积 表 示 两 个 向 量 的 夹 角 【答案解析】D 解析 :解: CA = 2 , ∴ A 点 在 以 C 为 圆 心 ,

2 为半径的圆上,

当 OA 与 圆 相 切 时 对 应 的 位 置 是 OA 与 OB 所 成 的 角 最 大 和 最 小 的 位 置

p p ;与切线所成的为 4 6 p p p p p 5p = ;最大值为 + = 所以两个向量所成的最小值为 . 4 6 12 4 6 12
OC 与 x 轴 所 成 的 角 为 故选 D 【思路点拨】利 用 CA 是 常 数 ,判 断 出 A 的 轨 迹 为 圆 ,作 出 A 的 轨 迹 ;数 形 结 合 求 出 两个向量的夹角范围.

【甘肃兰州一中高一期末考试·2014】18. (本小题 8 分) 已知: a 、 b 、 c 是同一平面内的三个向量,其中 a =(1,2) ⑴若| c | ? 2 5 ,且 c // a ,求 c 的坐标; ⑵若| b |=

5 , 且 a ? 2b 与 2a ? b 垂直,求 a 与 b 的夹角 θ. 2

【知识点】数 量 积 判 断 两 个 平 面 向 量 的 垂 直 关 系 ; 平 面 向 量 共 线 的 坐 标 表 示 ; 数 量积表示两个向量的夹角. 【答案解析】⑴ c ? (2,4),或c ? (?2,?4) 解析 :解:⑴设 c ? ( x, y), ⑵?

??

r

u r Q| c | ? 2 5,? x 2 ? y 2 ? 2 5,? x 2 ? y 2 ? 20

r r r Q c / / a, a ? (1, 2),? 2 x ? y ? 0,? y ? 2 x
由?

? y ? 2x
2 2 ? x ? y ? 20

∴?

?x ? 2 ? x ? ?2 或 ? ?y ? 4 ? y ? ?4
...............................4 分

∴ c ? (2,4),或c ? (?2,?4)

⑵ Q (a ? 2b) ? (2a ? b),? (a ? 2b) ? (2a ? b) ? 0

r

r

r

r

r

r

r

r

2a ? 3a ? b ? 2b ? 0,? 2 | a | 2 ?3a ? b ? 2 | b | 2 ? 0 ??(※)

2

2

r r 5 5 Q| a |2 ? 5,| b |2 ? ( )2 ? , 代入(※)中, 2 4

r r r r 5 5 ?2 ? 5 ? 3a ? b ? 2 ? ? 0? a ? b ? ? 4 2

r r r r 5 a ?b Q| a |? 5,| b |? ,? cos? ? r r ? 2 | a |?| b |

?

5 2

5 5? 2

? ?1,

Q? ?[0,? ]?? ? ?
【思路点拨】( 1 ) 设 出 数法求出

...............................8 分

r r c 的 坐 标 ,利 用 它 与 a 平 行 以 及 它 的 模 等 于 2 5 ,待 定 系

r c 的 坐 标 . ( 2 ) 由 a ? 2b 与 2a ? b 垂 直 , 数 量 积 等 于 0 , 求 出 夹 角 ? 的

余弦值,再利用夹角 ? 的范围,求出此角的大小.

【 甘 肃 兰 州 一 中 高 一 期 末 考 试 · 2014 】 15. 在 边 长 为 1 的 正 ?ABC 中 , 设

BC ? 2BD, CA ? 3CE ,则 AD ? BE = ___________;
【知识点】向 量 的 加 法 ; 向 量 数 量 积 的 运 算 . 【答案解析】 ?

uuu r uuu r 1 解析 :解:∵ BC ? 2BD, ∴ D 为 BC 的 中 点 , 4



uuu r 1 uu u r uuu r uur uur AD ? AB ? AC , ∵ CA ? 3 CE, 2

?

?



uur uuu r uur uuu r 1 uur uuu r uur 1 uu u r uuu r ? uuu r 1 uu r? BE ? BC ? CE ? BC ? CA , AD ? BE ? AB ? AC ? BC ? CA ? 3 2 3 ? ?

?

?

u r uuu r 1 uu u r uu r uuu r uuu r 1 uuu r2 ? 1? 1 1 1 1? 1 ? uu 1 ? ? AB ? BC ? AB ? CA ? AC ? BC ? AC ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 2? 3 3 4 ? 2? 2 6 2 3?
故答案为

1 ? . 4

uuu r uuu r uur uur BC ? 2BD, CA ? 3 CE,确 定 点 D ,E 在 正 三 角 形 ABC 中 的 位 置 , uuu r uur 根 据 向 量 加 法 满 足 三 角 形 法 则 ,把 AD? BE表 示 出 来 ,利 用 向 量 的 数 量 积 的 运 算
【思路点拨】根 据 法 则 和 定 义 式 即 可 求 得 结果.

【 甘 肃 兰 州 一 中 高 一 期 末 考 试 · 2014 】 13 . 已 知 向 量 a, b 的 夹 角 为

r r r r r r | a |? 2,| b |? 1, 则 | a ? b | ? | a ? b |?
【答案解析】 21 解析 :解:因 为 | a

? , 3



【知识点】向 量 加 减 法 的 应 用 ; 数 量 积 表 示 两 个 向 量 的 夹 角 .

r

r ? 向量 a, b 的夹角为 |? 2, b | ? | 1,

3

,所以

r r r r r r ? | a |2 ? 4,| b |2 ? 1, a ? b ?| a | ? | b | cos ? 1,则 3

r r | a ? b |?

?

r r a?b

?

2

r r r r r r ? | a |2 ?2a ? b? | b |2 ? 7 ,同理 | a ? b |? 3 ,故

r r r r | a ? b | ? | a ? b |? 21 .
故答案为 21 . 【思路点拨】由 条 件 求 得 利 用 两 个 向 量 的 数 量 积 的 定 义 求 得 | a |

r

2

r ? 4,| b |2 ? 1,

的 值 , 再 求 得 | a ? b | 以及 | a ? b | 的 值 , 即 可 得 到 | a ? b | ? | a ? b |的 值

r

r

r

r

r

r

r

r

【甘肃兰州一中高一期末考试·2014】11. 设向量 e1 、 e2 满足: e1 ? 2, e2 ? 1 , e2 ? 1 ,

e1 , e2 的 夹 角 是 60 , 若 2te1 ? 7e2 与 e1 ? te2 的 夹 角 为 钝 角 , 则 t 的 范 围 是
( )21·世纪*教育网

1 A. ( ?7, ? ) 2
2 2 2 【知识点】数 量 积 表 示 两 个 向 量 的 夹 角
2 2

B. (?7, ? 14 ) (? 14 , ? 1 )
2 2 2

C. [?7, ? 14 ) (? 14 , ? 1 ]

1 D. (??, ?7) (? , ??) 2

【答案解析】B解析 :解: e1 = 4, e2 = 1, e1 ?e2 ∴ (2te1 + 7e2 )(e1 + te2 ) = 2te1 + 2t + 7 e1 ?e2
2 ∴ 2t +15t + 7 < 0 .

2创 1 cos600 = 1 ,
7te2 = 2t 2 +15t + 7 .
2

2

(

2

)

∴ -7 <t <-

ì 2t = l 1 ? 2 . 设 2t e , 则 2t = 7 1 + 7e 2 =l ( e 1+ te 2 )( l < 0) 得 : í 2 7 = t l ? ?

∴ t =-

14 , l = - 14 . 2 14 时 , 2te1 ? 7e2 与 e1 ? te2 的夹角为 p . 2
骣 琪 桫 14 2 骣 14 1 琪 ,. 琪 2 桫 2

∴当 t = -

- 7 ,∴ t 的取值范围是 琪

故 选 B. 【思路点拨】欲 求 实 数 t 的 取 值 范 围 , 先 根 据 条 件 , 利 用 向 量 积 的 运 算 求 出

(2te1 +7e2 )(e1 +te2 ) 的 值 ,由 于 夹 角 为 钝 角 ,所 以 计 算 得 到 的 值 是 负 值 ,最 后 解 出
此 不 等 式 即 可 得 到 实 数 t 的 取 值 范 围 . 【 出 处 : 21 教 育 名 师 】

【 甘 肃 兰 州 一 中 高 一 期 末 考 试 · 2014 】 5 . 在 △ABC

中 , 已 知

| AB |? 4, | AC |? 1, S?ABC ? 3, 则AB ? AC 的值为





A.-2 B.2 C.±4 D.±2 【知识点】向量的数量积公式;向量的模的运算;三角形面积公式. 【答案解析】D解析 :解:因 为 | AB |= 4, |AC= 设 AB 与 AC 的夹角为 q ,所以 | 1,

SDABC =

1 | AB | ?| AC | sin q 2

3, 即 sin q =

1 3 ,故 cos q = , 2 2

则 AB? AC | AB | ?| AC | cosq

2.

【思路点拨】先利用三角形面积公式计算出 sin q ,再用平方关系得到 cos q ,最后利用向 量的数量积公式可得结果.

【甘肃兰州一中高一期末考试· 2014】 3. 已知

a ? 6, b ? 3, a ? b ? ?12, 则向量 a 在 b 方
D.

向上的投影为 ( ) A. ?4 B. 4 C. ?2 【知识点】向 量 的 投 影 ; 平 面 向 量 数 量 积 的 含 义 . 【答案解析】A 解析 :解:根 据 投 影 的 定 义 , 可 得 向量 a 在 b 方向上的投影是 : a cos a =

2

a ?b b

=

12 = - 4 ,故 选 A . 3 a ×b b
求解.

【思路点拨】根 据 投 影 的 定 义 应 用 变 形 公 式 a cos a =

【福建南安一中高一期末·2014】15. △ABC 满足 AB ? AC ? 2 3 ,∠BAC=30° , 设 M 是△ABC 内的一点(不在边界上),定义 f(M)=(x,y,z), 其中 x, y, z 分别表示△MBC,△MCA,△MAB 的面积, 若 f ( M ) ? ( x, y, ) ,则

uu u r uuu r

1 2

1 4 ? 的最小值为__________________ x y

【知识点】向量的数量积计算公式,三角形面积公式,基本不等式求最值 【答案解析】 18 解析: 解: 由向量的数量积公式得 AB AC cos A ? 2 3 , 得 A BA C

? 4,





S

ABC

?

1 AB AC s iA ? n 2

, 1则

x+y=1



1 2

=

1 2







? ?1 4? ? y 4x 1 4 y 4x ? y 4x ? 当且仅当 ? , ? ? 2? x ? y?? ? ? ? 2?5 ? ? ? ? 2? 5? 2 ? ? 18 , ? ? ? x y x y x y ? x y ? ?x y? ? ?
即x?

1 1 , y ? 时等号成立,所以最小值为 18.21 教育网 6 3

【思路点拨】利用向量的数量积和三角形面积计算公式得出 x+y 为定值,即出现了利用“1” 的代换凑出基本不等式的题型特征,再求最值.

【文·吉林一中高二期末·2014】13. 已知两个非零向量 a 与 b,定义 a ? b=|a||b|sin θ ,其中θ 为 a 与 b 的夹角.若 a+b=(-3,6),a-b=(-3,2),则 a ? b=________. 【知识点】新 定 义 ; 数 量 积 表 示 两 个 向 量 的 夹 角 . 【答案解析】6 解析 :解: a=(-3,4),b=(0,2),a·b=|a||b|·cosθ =5×2×cos θ =8,cosθ =

4 3 3 ,所以 sinθ = ,a ? b=5×2× =6. 5 5 5

【思路点拨】由 条 件 求 得 a=(-3,4),b=(0,2),可 得 | a| 和 | b| 的 值 , 从 而 求 得 cos θ 的 值 , 可 得 sin θ 的 值 , 再 由 a ? b=|a||b|sinθ , 运 算 求 得 结 果 .

【理·浙江温州十校期末联考·2014】8.若 ?ABC 的外接圆的圆心为 O ,半径为1 ,若

OA ? AB ? OC ? 0 ,且 | OA |?| AB | ,则 CA ? CB 等于( ▲ )
A.

3 2

B. 3

C. 3

D. 2 3

【知识点】向 量 在 几 何 中 的 应 用 ; 向 量 的 数 量 积 ; 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 .

=- OC . 【答案解析】C 解析 :解:∵ OA ? AB ? OC ? 0 ,\ OB

∴ O , B , C 共 线 , BC 为 圆 的 直 径 , 如 图 ∴ AB ⊥ AC .

| OA = AB | , \ | OA = AB |= 1, BC = 2, AC = 3, 故 ∠ ACB=
则 CA状 CB= | CA || CB | cos300=2 3

p . 6

3 =3, 2

故 选 C.

= - OC , 得 到 BC 为 直 【思路点拨】利 用 向 量 的 运 算 法 则 将 已 知 等 式 化 简 得 到 OB
径 ,故 △ ABC 为 直 角 三 角 形 ,求 出 三 边 长 可 得 ∠ ACB 的 值 ,利 用 两 个 向 量 的 数 量 积 的 定 义 求 出 CA ? CB 的 值 .

【吉林一中高一期末·2014】19. 设向量 a, b 满足错误!未找到引用源。 a = b = 1 及

错误!未找到引用源。 3a - 2b =

7,

(Ⅰ)求 a, b 夹角 ? 的大小;(Ⅱ)求错误!未找到引用源。 3a + b 的值.
【知识点】向量的数量积公式;向量的模的运算. 【答案解析】(Ⅰ) 解析 :解:

? (Ⅱ) 3a ? b ? 13 3

(Ⅰ)设 a 与 b 夹角为 ? , 3a - 2b 而 a = b = 1,∴ a ?b

(

)

2

= 7,9 a + 4 b - 12a ?b

2

2

7,

1 1 1 ? a b cos? ? ,即 cos? ? 2 2 2

又 q ? [0, p ],∴所成 a 与 b 夹角为 (Ⅱ)∵ 3a + b

? . 3
2

(

)

2

= 9 a + 6a ?b

2

b = 13 所以 3a ? b ? 13 .
7 平方可得 a ?b
1 ,再利用向量 2

【思路点拨】(1)借助于已知条件,把 3a - 2b =

的数量积公式即可;(2)利用已知条件求 3a + b 的算术平均数即可.

【吉林一中高一期末·2014】17. 已知 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) .

(1)若 ? ? ? ?

7? ,求 a ? b 的值; 6

? ? ? (2)若 a ? b ? 5 , ? ? 8 ,且 ? ? ? ? ? ? , 0 ? ,求 tan(? ? ? ) 的值. 2 ? ?
【知识点】平面向量数量积的运算.两角和的正切公式. 【答案解析】(1) -

4

?

3 (2)7 2

解析 :解: (1)∵ a ? (cos? , sin ? ),b ? (cos? , sin ? )

∴ a ? b ? cos?? ? ? ? ? cos (2)∵ a ? b ?

? ?

7? 3 ?? 6 2

4 4 3 3 ∴ cos ?? ? ? ? ? , sin ?? ? ? ? ? ? , tan ?? ? ? ? ? ? 4 5 5 5

? ? ? ? 2? ? (? ? ? ) ?

?

4

? (? ? ? )

1 ? tan( ? ? ?) = ? tan(? ? ? ) ? tan[ ? (? ? ? )] ? 4 1 ? tan( ? ? ?)

?

1?

3 4 =7 3 1? 4

【思路点拨】(1)直接利用向量数量积的公式即可;(2)由已知条件把

? ? ? ? 2? ? (? ? ? ) ?

?
4

? (? ? ? ) 转化,再利用两角和的正切公式得到结果.

【吉林一中高一期末·2014】13. 在长江南岸渡口处,江水以 12.5 km/h 的速度向东流, 渡船的速度为 25 km/h.渡船要垂直地渡过长江,则航向为________. 【知识点】向量在几何中的应用. 【答案解析】北偏西 30° 解析 :解:如图,设渡船速度为 垂直过江的速度为 ,由题意知,| |=12.5,| |=| ,水流速度为 ,则船实际

|=25,21 教育名师原创作品

∵四边形 OADB 为平行四边形,∴| 则航向为北偏西 30°. 故答案为:北偏西 30°

|,又∵OD⊥BD,∴在 Rt△OBD 中,∠BOD=30°,

【思路点拨】 根据题意分别用向量表示船速、 水流速度, 由向量加法的四边形法则画出图形, 根据条件在直角三角形中求出船航行的角度. 【典型总结】 本题考查了向量的加法几何意义的实际应用,即用向量来表示题中的矢量, 根据向量的知识进行求解.

【 吉 林 一 中 高 一 期 末 · 2014 】 7. 在正三角形 ABC 中 , AB ? 3 , D 是 BC 上一点 , 且

BC ? 3BD ,则 AB ? AD ?





15 A. 2

9 B. 2

C. 9

D. 6

【知识点】平面向量数量积的运算. 【答案解析】A 解析 :解:如图所示,∵ = ∴ 故选 A. = = = = × = , . . ,

【思路点拨】利用向量的运算法则和数量积运算即可得出.

【吉林一中高一期末· 2014】 4. 设向量 a ? ( 3 sin ? ? cos ? ? 1,1), b ? (1,1), ? ? [

? 2?
3, 3

] ,m

是向量 a 在向量 b 向上的投影,则 m 的最大值是 ( A.



3 2 2

B.4

(c)2 2

D.3

【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 【答案解析】C 解析 :解:∵向量 =( (1,1),∴ =2sin(θ+ sinθ+cosθ+1,1)=(2sin(θ+ )+1,1), =

)+2.【版权所有:21 教育】

由题意可得 m=| |?cos< , >=| |? 再由 θ∈[ 故选C. 【思路点拨】由条件求得 =2sin(θ+ , ], 可得 θ+ ∈[ ,

= ], sin (θ+

. ) ∈[ , 1] , 故 m 的最大值为 =2 ,

)+2.由题意可得 m=| |?cos< , >

=

.再由 θ∈[



],利用正弦函数的定义域和值域求得 sin(θ+



的最大值,即可求得 m 的最大值.

? ? ? ? ? | a a b 【吉林一中高一期末·2014】3. 若两个非零向量 , 满足 ? b |?| a ? b |? 2 | a | ,则
向量 a ? b 与 a 的夹角为( A. ) C.

? 6

B.

? 3

2? 3

D.

5? 6

【知识点】数 量 积 表 示 两 个 向 量 的 夹 角 .

ì (a + b)2=(a - b)2 ① ? 【答案解析】B 解析 :解:由 已 知 得 í 2 2 ? ? (a + b) =4a ②

OB = b, OC = OA + OB = a + b , 化 简 ① 得 a ×b =0 ,再 化 简 ② 可 得 b =3a ,令 OA = a,
则 由 a ×b =0

2

2

以 及 b =3a , 可 得 四 边 形 OACB 为 矩 形 , ∠ AOC 即 为 向 量 a ? b 与 a 的夹角. 令 OA=1 ,
2 2

则 OC=2 , 直 角 三 角 形 OBC 中 , cos ∠ BOC= ∴ ∠ AOC=

? , 故 选 B. 【 来 源 : 21cnj*y.co*m】 3 ? ? ? ? ? | a ? b |?| a ? b |? 2 | a | 平 方 , 转 化 可 得 a ×b=0 , b2 =3a 2 , 令 【思路点拨】将
O A= , a OB = ,b O =C
的值,即为所求.

OA 1 = , OC 2

O +A

= O B, +, a b 结 合 求 得 cos ∠ BOC 的 值 ,可 得 ∠ BOC 数形

【吉林一中高一期末·2014】2. ?ABC 的三个内角 A.B.C 成等差数列,

( BA ? BC) ? AC ? 0 ,则 ?ABC 一定是(



A.直角三角形 B.等边三角形 C.非等边锐角三角形 D.钝角三角形 【知识点】等差中项的定义;向量的数量积的运算;两个向量垂直的充要条件. 【答案解析】B 解析 :解: ?ABC 的三个内角 A.B.C 成等差数列,所以, 2B ? A ? C , 又 A ? B ? C ? 180? ,所以, B ? 60? .
设 D 为 AC 边上的中点,则 ( BA ? BC) ? AC ? 2BD ,

又 ( BA ? BC) ? AC ? 0 ,所以, BD ? AC ? 0 ,即 BD ? AC ,

故△ABC 为等边三角形,故 选 B .
【思路点拨】先由三个内角A.B.C成等差数列得到 B ? 60? ,

然后利用 ( BA ? BC) ? AC ? 0 ,得到 BD ? AC, 进而得到结论.

F4

单元综合

x2 y2 【 理 · 吉 林 长 春 十 一 中 高 二 期 末 · 2014 】 11 . 在 椭 圆 ? ?1 上有两个动点 36 9 ) P, Q . E ?3,0 ? 为定点, EP ? EQ ,则 EP×QP 的最小值为(
A.6 B. 3 ? 3 【知识点】向 量 在 几 何 中 的 应 用 . C.9 D. 12 ? 6 3
x2 x2 y2 ? ? 1 , 即 y2 = 9 4 36 9
2

【答案解析】A 解析 :解:设 P ( x , y ) , 则 ∵ EP ? EQ , ∴ E P? Q P
EP 仔 Qc Po s EP =Q

E P ,

3 2 2 而 EP 2 = ( x - 3) + y 2 = ( x ? 4) +6 , ∵ - 6 #x 6 4 3 2 ∴ 当 x = 4 时 , EP 2 = ( x - 3) + y 2 = ( x ? 4) 2 +6 有 最 小 值 6 , 故 选 A . 4

【思路点拨】根 据 EP ? EQ , 和 向 量 的 数 量 积 的 几 何 意 义 , 得 ∴

EP ?QP

EP 仔 QP cos EPQ = EP 2 ,设 出 点 P 的 坐 标 ,利 用 两 点 间 距 离 公 式

求 出 EP 2 ,根 据 点 P 在 椭 圆 上 ,代 入 消 去 y ,转 化 为 二 次 函 数 求 最 值 问 题 , 即 可 解 得 结 果 . 21世 纪 教 育 网 版 权 所 有 【典型总结】此 题 考 查 了 向 量 在 几 何 中 的 应 用 ,以 及 向 量 数 量 积 的 几 何 意义,和椭圆的有界性,二次函数求最值等基础知识,注意椭圆的有 界性,考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力.

【文·浙江温州十校期末联考·2014】9.若 ?ABC 的外接圆的圆心为 O ,半径为1 ,若

OA ? AB ? OC ? 0 ,且 | OA |?| AB | ,则 CA ? CB 等于( ▲ )
A.

3 2

B. 3

C. 3

D. 2 3

【知识点】向 量 在 几 何 中 的 应 用 ; 向 量 的 数 量 积 ; 向 量 垂 直 的 充 要 条 件 .

=- OC . 【答案解析】C 解析 :解:∵ OA ? AB ? OC ? 0 ,\ OB

∴ O , B , C 共 线 , BC 为 圆 的 直 径 , 如 图 ∴ AB ⊥ AC .

| OA = AB | , \ | OA = AB |= 1, BC = 2, AC = 3, 故 ∠ ACB=
则 CA状 CB= | CA || CB | cos300=2 3 故 选 C.

p . 6

3 =3, 2

= - OC , 得 到 BC 为 直 【思路点拨】利 用 向 量 的 运 算 法 则 将 已 知 等 式 化 简 得 到 OB
径 ,故 △ ABC 为 直 角 三 角 形 ,求 出 三 边 长 可 得 ∠ ACB 的 值 ,利 用 两 个 向 量 的 数 量 积 的 定 义 求 出 CA ? CB 的 值 . 2 1 c n j y . c o m


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