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极坐标系与参数方程一轮复习(你值得拥有)


极坐标系与参数方程
◆ 知识梳理 一、极坐标 1、极坐标定义: M 是平面上一点, ? 表示 OM 的长度, ? 是 ?MOx ,则有序实数实数对
( ? ,? ) , ? 叫极径, ? 叫极角;一般地, ? ? [0, 2? ) , ? ? 0 。
?? ? x ? y ? x ? ? cos? ? 2、极坐标和直角坐标互化公式: ? 或? , ?

的象限由点 ( x , y ) 所 y ?tan ? ? ( x ? 0) ? y ? ? sin ? x ?
2 2 2

在象限确定. 二、常见曲线的极坐标方程 1、圆的极坐标方程 (1)圆心在极点,半径为 r 的圆的极坐标方程是 ; ;

(2)圆心在极轴上的点 ( a,0) 处,且过极点 O 的圆的极坐标方程是

? (3)圆心在点 ( a , ) 处且过极点的圆 O 的极坐标方程是 2
2、直线的极坐标方程 (1)过极点且倾斜角为 ? 的直线的极坐标方程是 (2)过点 ( a,0) ,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 三、常见曲线的参数方程 直线 过点 ( x0 , y0 ) ,倾 斜角为 ? 圆 圆心在点 (a, b) , 半径为 r 椭圆 中心在原点, 长、短轴分别为
2 a、 2b



; ;

双曲线 中心在原点,长 短轴分别为
2 a、 2b

抛物线

y 2 ? 2 px( p ? 0)

1

第一节 【知识点】

平面直角坐标系中的伸缩、平移变换

? x ' ? ? x(? ? 0) 定义 1:设 P( x, y) 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 ? : ? 的作用下, ? y ' ? ? y( ? ? 0)
点 P( x, y) 的对应点为 P '( x ', y ') 。称 ? 为平面直角坐标系中的伸缩变换。 定义 2: 在平面内,将图形 F 上所有点按照同一个方向,移动同样长度,称为 图形 F 的平移。若以向量 a 表示移动的方向和长度,我们也称图形 F 按向量 a 平移. 在平面直角坐标系中,设图形 F 上任意一点 P 的坐标为 ( x, y) ,向量 a ? (h, k ) ,平移后 的对应点为 P?(x?, y?) .则有: (x, y) ? (h, k ) ? (x?, y?)

?

?

?

? x? ? x ? h 即有: ? , ? y? ? y ? k

? x? ? x ? h 在平面直角坐标系中,由 ? 所确定的变换是一个平移变换。 ? y? ? y ? k 因为平移变换仅改变图形的位置,不改变它的形状和大小.所以,在 平移变换作用下,曲线上任意两点间的距离保持不变。 【典例 1】 (2014 年高考辽宁卷(文) )将圆 x2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变,纵坐
标变为原来的 2 倍,得曲线 C. (I)写出 C 的参数方程; (II)设直线 l:2x+y-2=0 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.

2

练习: 1.将点 P(?2, 2) 变换为点 P?(?6, 1) 所用的伸缩变换公式是 A. ? ( )

? ?x? ? 1 x 3 ? ? y ? 2y ?

B. ?

? ?x? ? 1 x 2 ? ? y ? 3 y ?

C. ?

? ?x? ? 3x y? ? 1 y ? 2 ?

D. ?

? x? ? 3x ? y? ? 2 y

2.在同一直角坐标系中,将直线 x ? 2 y ? 2 变成直线 2 x '? y ' ? 4 ,则满足图象变换的伸缩变 换公式是______________.

?x ' ? 4x ? 3. 在平面直角坐标系中将曲线 C : x ? y ? 1 按照变换 ? : ? 3 得到的曲线 C ' 的方程为 y'? y ? ? 2
2 2

___________。

? x ? cos? 1 (? 为参数) .若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的 ,纵坐标 4.已知曲线 C1 : ? 2 ? y ? sin?
压缩为原来的 ___________。
3 , 得 到 曲 线 C2 , 则 曲 线 C2 的 参 数 方 程 为 ________ , 普 通 方 程 为 2

2 2 【典例 2】把圆 C1 : ( x ? 3) ? ( y ?1) ? 4 先向下平移 1 个单位长度,再向右平移 3 个单位长

度后得到圆 C2 ,求圆 C2 的普通方程。

练习: 1. 点 P(2, ? 3) 先向左平移 3 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度后得到点 P ' 的坐标是 _________。 2. 抛物线 x2 ? 4 y 先向右平移 1 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度后得到的抛物线的 顶点坐标是_________。

3. 将曲线 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 0 先向左平移 1 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度后得 到的曲线的方程是_________。
3

第二节
2

极坐标与直角坐标互化
2 2

?? ? x ? y ? x ? ? cos? ? 【知识点】 ? 或? , ? 的象限由点 ( x, y ) 所在象限确定. y tan ? ? ( x ? 0) y ? ? sin ? ? ? x ?

练习一:把下列点的极坐标化为直角坐标

? (1) (3, ) 4
(4) (
3 ,? ) 2

; ;

(2) (2,
7? ) 6

2? ) 3



? (3) (4, ) 2
5? ) 4

; ;

(5) ( 3,

; (6) (1,

练习二:把下列点的直角坐标化为极坐标 (1) (3, 3) (4) (3, 0) ; ; (2) (0, ?
5 ) 3



1 (3) (0, ) 2

; ;

(5) (3, ? 3)

; (6) (?2, ?2 3)

考点二:曲线的极 坐标方程与直 角坐标方程的互化 . . 练习一:把下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程 (1) ? cos? ? 2? sin ? ? 1 ? 0 : (2) 4 ? cos(? ?
3? )?3 ? 0: 4

; ; ; ; ; ; ; (8)射线 ? ?
3? : 4
2 1 ? cos 2? :

? (3) ? ? 4 sin(? ? ) : 4
(4) ? ? 2sin ? : (5) ? ? 4cos ? ? 2sin ? : (6) ? ? 4cos? : (7)直线 ? ? (9) ? 2 ?

?
4

:

; ;

12 3cos ? ? 4sin 2 ? :
2

;(10) ? 2 ?

注 .意 .: .极 .: 直 线 ? ? ?0 或 射 线 ? ? ?0 ? 直 : y ? kx ( 或 y ? k x ( x ? 0 ) 或 y ? k x (x ?0)

4

练习二:把下列曲线的直 角坐标方程化为极 坐标方程: . . (1) x ? y ? 2 ? 0 : (3)
x2 ? y 2 ? 1: 4



(2) 3x ? y ? ?1 : ; (4) 3x2 ? 2 y 2 ? 6 :

; ; ;

(5) x2 ? y 2 ? 6 x ? 0 : 高考再现

; (6) ( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 :

1. (2013 年高考辽宁卷(文) )在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点, x 轴正半轴为

?? ? 极轴建立极坐标系.圆 C1 ,直线 C2 的极坐标方程分别 ? ? 4sin ? , ? ? cos ? ? ? ? ? 2 2. 4? ?
(I)求 C1 与 C2 交点的极坐标; (II)设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点.已知直线 PQ 的参数方程为
?x ? t3 ? a ? ? b 3 ? t ? R为参数 ? ,求 a , b 的值. y ? t ?1 ? ? 2

2. ( 2014 年 高 考 广 东 卷 ( 文 ) ) 在 极 坐 标 系 中 , 曲 线 C1 与 C2 的 方 程 分 别 为

2 ? cos 2 ? ? sin ? 与 ? cos ? ? 1 。以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建
立平面直角坐标系,则曲线 C1 与 C2 交点的直角坐标为________.

5

π? π? ? ? 3. (2014 年高考陕西卷(文) )在极坐标系中,点?2, ?到直线 ρ sin?θ -6?=1 的距离是 6? ? ? ? ________.

4. (2015 年高考湖南卷(文) )在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为 极轴建立极坐标系.若曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 sin? ,则曲线 C 的直角坐标方程为_____.

第三节 【知识点】 常见曲线的参数方程 直线 过点 ( x0 , y0 ) ,倾 斜角为 ? 圆 圆心在点
( a, b) ,半径

参数方程与普通方程互化

椭圆 中心在原点, 长、短轴分别为
2 a、 2b

双曲线 中心在原点, 长短轴分别为
2 a、 2b

抛物线

y 2 ? 2 px( p ? 0)

为r

6

把参数方程化为普通方程的常用方法: (1)代入法:利用解方程的技巧求出参数 t ,然后代入消去参数; (2)三角法:利用三角恒等式消去参数,如平方关系 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ; (3)整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去。 练习一:把下列曲线的直角坐标(普通)方程化为参数坐标方程 (1) C :
x2 y 2 ? ?1,C : 25 16

; ; ; ; ; ; ;

x2 y 2 ?1,C : (2) C : ? 3 4

(3) C ( : x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 4 , C : (4) C : x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ?11 ? 0 , C : (5) C : x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 , C : (6)直线 l 的倾斜角为
3? ,且过点 P(?4, 2) ,则 l : 4

(7)直线 l 过点 M (4, ?1) ,倾斜角为

? ,则 l : 2

练习二:把下列参数方程化为直角坐标方程(普通方程 ) ....

? x ? 5 ? 2t (1) C : ? ( t :参数) ,C : ? y ? 1 ? 2t 1 ? x ? 1? t ? 2 ? (t为参数) C : (2) C : ? ?y ? 3 t ? ? 2
4 ? x ? 2? t ? 5 ( t :参数) (3) C : ? ,C : ? 3 ? y ? ?1 ? t ? 5 ?







(4) C : ? ? (5) C : ? ?

? x ? 2 ? 3 cos ? ? ? y ? ?3 ? 3 sin ?
? x ? 2 cos t ? ? y ? 3 sin t

( ? :参数) ,C :



( t :参数) ,C :



7

(6) C : ? ?

x ? 5cos ?

? y ? 4sin ?

( ? :参数) ,C : ;



? x ? p2 (7) C : ? ( p :参数) ,C : y ? 2 p ? x ? 3sin ? ? 4cos ? (8) C : ? ( ? :参数) ,C : ? ? y ? 4sin ? ? 3cos ?



◆高考再现 1 . (2013年高考广东卷(文) )已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos? .以极点 为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线 C 的参数方程__________。

? x ? 2 s ? 1, 2 . (2013 年高考湖南(文 11) )在平面直角坐标系 xoy 中,若直线 l1 : ? (s 为参数) ?y ? s ? x ? at , 和直线 l2 : ? (t 为参数)平行,则常数 a 的值为_____ ? y ? 2t ? 1

3 . (2013 年高考陕西卷(文 15) )圆锥曲线 ?

? x ? t2 ? y ? 2t

(t 为参数)的焦点坐标是_____

4.

2 ? ?x=2+ 2 t, (2014 年高考湖南卷(文) )在平面直角坐标系中,曲线 C:? (t 为参数)的 2 ? ?y=1+ 2 t

普通方程为________.

5. (2013 年高考课标Ⅰ卷(文) )

? x ? 4 ? 5cos t , 已知曲线 C1 的参数方程为 ? ( t 为参数),以 ? y ? 5 ? 5sin t

坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为

? ? 2sin ? .
(Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标( ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ).

8

6. (2014 年高考新课标卷 2(文) )在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴 π? ? 为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? ,θ∈?0, ?. 2? ? (I)求 C 的参数方程; (II)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3x+2 垂直,根据(1)中你得到的参 数方程,确定 D 的坐标.

7. (2015 年高考广东卷(文) )在平面直角坐标系 x?y 中,以原点 ? 为极点, x 轴的正半 轴为极轴建立极坐标系.曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? cos ? ? sin ? ? ? ?2 ,曲线 C2 的参数方程
2 ? ?x ? t 为? ( t 为参数) ,则 C1 与 C2 交点的直角坐标为 y ? 2 2 t ? ?



第四节

极坐标和参数方程的综合应用

考点一:曲线上的动点到直线距离的最值问题 常用参数方程和三角恒等变换的知识解决。步骤: (1)利用曲线的参数方程把曲线上的动点 P 的坐标设出来; (2)利用点到直线的距离公式求出曲线上的动点 P 到直线 l 的距离 d ; (3)利用辅助角公式 a sin ? x ? b cos ? x ? a 2 ? b2 sin(? x ? ? ) (其中 tan ? ? 步求出的距离 d 的右边化为 d ?
| A sin(? x ? ? ) ? k | ( t ? 0 )的模式。 t b ) ,把第(2) a

(4)利用三角函数的有界性求出距离 d 的最值。

9

? ? x ? 3 cos ? , 【典例 1】 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? (? 为参数) ,在以原 ? ? y ? sin ?

? 点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? 4 2 。 4
(I)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程; (II)设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C2 的距离的最小值,并求此时点 P 的坐标。

? x ? 3cos ? , 变式:若把曲线 C1 的参数方程改为 ? (? 为参数) ,设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 ? y ? 3sin ?
P 到 C2 的距离的最大值。

练习: ?x=2+t, x2 y2 1. (2014 年高考新课标卷 1(文) )已知曲线 C: + =1,直线 l:? (t 为参数). 4 9 ?y=2-2t (I)写出曲线 C 的参数方程、直线 l 的普通方程; (II)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线,交 l 于点 A,求|PA|的最大值与最 小值.

10

1 ? x ? 3? t ? 2 ? (t 为 2. (2015 年高考陕西卷(文) )在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 3 t ? ? 2
参数) ,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, ? C 的极坐标方程为

? ? 2 3 sin ? .
(I)写出 ? C 的直角坐标方程; (II) P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求点 P 的坐标.

考点二:标准直线参数方程中参数 t 的几何意义 【知识梳理】若 l : ? ?
x ? x0 ? at ? y ? y0 ? bt

( t :参数)已是标准参数方程 ,即 a 2 ? b2 ? 1 ,且 l 和曲线 C ......

(圆、椭圆、抛物线) 交于 A、B 两点,则:把 l 中的 x、 y 代入曲线 C 的直角坐标 方程 , 整 .... .. ? at 2 ? bt ? c ? 0 (※), 理 其中, P( x0 , y0 ) ; t1、t 2 为方程(※)的两根(即 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t 2 ) ?b c t1 ? t2 ? , t1t2 ? ; a a 由 t 的几何意义,得: 公式 1: 长度之积: | PA | ? | PB |?| t1t2 | ; 公式 2: 长度之和:
2 | PA | ? | PB |?| t1 ? t2 | ( ac ? 0 );或 | PA | ? | PB |?| t1 ? t2 |? (t1 ? t2 ) ? 4t1t2 ( ac ? 0 ) ;

公式 3:

2 弦长 | AB |?| t1 ? t2 |? (t1 ? t2 ) ? 4t1t2 ;

但若是 l 和圆 可不用此公式 , 而用 .

| AB |? 2 r 2 ? d 2 更简单; 说 明 : 上 述 公 式 中 的 两 条 线 段 为 l 所 过 的 点 M ( P, A, Q 分别和曲线 C 两交点 ? ) ; A, B( M , N ? 的连线段 ) t ?t 公式 4:线段 AB 的中点 M 对应的参数 t ? 1 2 2 。
11

? 2 t, ?x ? 3 ? ? 2 l 【典例】在直角坐标系 xoy 中,直线 的参数方程为 ? (t 为参数).在极坐标系 ?y ? 5 ? 2 t ? ? 2

(与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中, 圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? . (Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为
(3, 5) ,求

1 1 的值 . ? | PA | | PB |

? x ? ?3 ? t ? x ? 4cos ? 练习:1.已知过点 P(?3,1) 的直线 l : ? 与曲线 C : ? 交于 A、B ? y ? 1? t ? y ? 4sin ? 两点,求 | PA | ? | PB | , | AB | ;

12

2.经过点 M (2,1) 作直线 l ,交椭圆 中点,求直线 l 的方程。

x2 y 2 ? ? 1 于 A、B 两点。如果点 M 恰好为线段 AB 的 16 4

3. ( 2014 年高考江苏卷(文) ) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为 2 ? ?x=1- 2 t, (t 为参数),直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长. ? 2 ? ?y=2+ 2 t

考点三:求动点的轨迹方程问题

求曲线的极坐标方程的方法和步骤:建、设、限、代、化
(1)建立适当的极坐标系,设 M ( ? ,? ) 是一曲线上任意一点; (2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径 ? 和极角 ? 之间的关系式; (3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线上的极坐标方程; (4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程.
13

? x ? 2 cos t 【典例】 (2013 年高考课标Ⅱ卷(文) )已知动点 P, Q 都在曲线 C : ? (t为参数) 上, ? y ? 2sin t

对应参数分别为 t ? ? 与 t ? 2? (0 ? ? ? 2? ) , M 为 PQ 的中点. (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点.

练习:
? x ? 3cos ? (? 为参数) ,在同一平面直角坐标系中,将曲线 C 上 1.已知曲线 C 的参数方程为 ? ? y ? 2sin ?
1 ? x' ? x ? ? 3 的点按坐标变换 ? 得到曲线 C ' 。 ?y' ? 1 y ? ? 2

(Ⅰ)求曲线 C ' 的普通方程; (Ⅱ)若点 A 在曲线 C ' 上,点 B(3,0) ,当点 A 在曲线 C ' 上运动时,求 AB 中点 P 的轨 迹方程。

14

? 2.在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C (3, ) ,半径 r ? 3 。 3
(Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程;
???? ??? ? (Ⅱ)若点 Q 在圆 C 上运动,点 P 在 OQ 的延长线上,且 OQ ? 2QP ,求动点 P 的轨迹方程。

3.以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 自 极 点 O 作 直 线 与 曲 线 ? cos? ? 4 相 交 于 点 Q , 在 线 段 OQ 上 有 一 动 点 P 满 足
? ?x ? 1? t P 的轨迹为曲线 C1 ,方程 ? .若点 ( t 为参数)表示的轨迹为曲线 | O P |? | O Q ?| 1 2 ? ?y ? 2 t

(Ⅰ)求曲线 C1 的极坐标方程; C2 . (Ⅱ)若曲线 C1 与 C2 交于点 A 、 B ,求 A 、 B 两点间的距离 | AB | .

15

考点四:应用 ? 的几何意义表示两点间的距离 极坐标系下的两点间的距离公式:设 A( ?1 ,?1 ), B( ?2 ,?2 ) ,由余弦定理可得

| AB |? ?12 ? ?22 ? 2?1?2 cos(?1 ? ?2 ) ,特别地,当 ?1 ? ?2 时, | AB |?| ?1 ? ?2 |
【典例】(2015 年高考新课标卷 2(文) )在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: ?
? x ? t cos ? (t 为 ? y ? t sin ?

参数,t ≠ 0) ,其中 0 ≤ α < π,在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2:
? ? 2sin ? ,C3: ? ? 2 3 cos? 。

(I)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (II)若 C1 与 C2 相交于点 A,C1 与 C3 相交于点 B,求 | AB | 的最大值。

练 习 : (2015 年 高考 新 课 标 卷 1 (文 ) ) 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ,直 线 C1 : x ? ?2 , 圆
C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
2 2

(I)求 C1 , C2 的极坐标方程. ( II)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? 积.
π ? ? ? R ? ,设 C2 , C3 的交点为 M , N ,求 ?C2 MN 的面 4

16


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