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特殊化与一般思想第四篇


GUANG DONG JIAO YU GAO ZHONG

-f(x)g′(x) >0, 于 f′(x)-f(x)>0, 故可构造函数 h′(x)=[ f(x) ]′= f(x)′g(x) g(x) g2(x)
只 要 考 虑 g′(x)=g(x)即 可 , 在 中 学 阶 段 这 样 的 函 数 容 易 想 到 是 ) , 并 且 知 ( )是 g(x)=0 或 g(x)=e , 故 可 以 构 造 函 数 h(x)= f(x hx ex
x

解 析 :

如 图 ,

cosα = 2 , sinα = 姨5 1 , 由于b 軋向 量 在 姨5
旋转前后的模不发生

y 軋 b β π 4 α O
例1图

) f(ln3) , 则 ( ) R 上增函数 , 从而 h(ln2)<h(ln3), 即 f(ln2 < ln3 3f ln2 eln2 e

軆=(2,1) a

<2f(ln3).
另一方面 , 我们也可 以 从 选 择 子 特 征 进 行 联 想 . 3f(ln2)与

軋的横 坐 标 变化 , 所以 b
为 姨 5 cosβ = 姨 5 cos (α+ π )= 姨 5 (cosαcos

x

2f(ln3)的 大 小 比 较 等 价 于 f(ln2) 与 f(ln3) 的 大 小 比 较 , 从 而 可 2 3
以联想到考虑函数 h(x)= f(lnx) 的单调性, 由 f′(x)>f(x)知 f′(lnx)> x · (lnx)′ · · x-f(lnx) 1 = f′(lnx)-f(lnx) >0, 故 f(lnx), 所以 h′(x)= f′(lnx) x2 x2

4

h(x)= f(lnx) 是增函数 , 由 h(2)<h(3)得 3f(ln2)<2f(ln3). x
上述两种思路要求都非常高 , 既然该题没有具体解析式 , 那么可以通过特殊函数来解决.例如取 f(x)=-1, 则 f′(x)=0>f(x), 而 此 时 3f(ln2)=-3 , 2f(ln3)=-2 , 所 以 3f(ln2)<2f(ln3) . 显 然 , 这种方法比前面两种方法都简单得多 . 三 、 取特殊图像巧妙解题 例 7. 若 函 数 是 定 义 在

π -sinαsin π )= 5 ( 2 · 姨 2 - 1 · 姨 2 )= 姨 2 ; 同 姨 4 4 2 2 2 姨5 姨5 軋的纵坐标为 姨 5 sinβ= 姨 5 sin (α+ π )= 姨 5 (sinαcos 理可求得 b 4 π +cosαsin π )= 5 姨 4 4 2 2


1 · 姨 2 + 2 · 姨 2 )= 3 姨 2 , 2 2 2 姨5 姨5

軋= ( 姨 2 , 3 姨 2 ). 所以 b
但 实 际 上 , 我 们 可 以 从 判 断 A、 B、 C、 D 四 个 选 择 项 的

軆 = (2 ,1 ) 与 x 轴的正向 点的所在象限上直接给出答案 B , 因为 a x 軋在 所成的角 α< π , 所以围绕原点按逆时针旋转 π 得到的向量b 4 4
第一象限 , 而四个选择项中只有 B 表示第一象限的点 , 故选 B. 二 、 根据图像或图形的可变性来来巧妙解题

R 上 的 偶 函 数 , 在 (-∞ ,0]
上是减函数 , 且 f(2)=0 , 则 使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是 ( )

-2

O

2
例7图

x

例 2. 已 知 D 是 △ABC 的 边 AC 上 一 点 , 且 AD =2 +2

A

A. ( - ∞ , 2 ) B. (-2 ,2 ) C. (-∞ ,-2 )∪ (2 ,+∞ ) D. ( 2 , + ∞ )
解析: 本题是没有具体解析式的一个抽象函数, 如果仅 在大脑中凭空 想 象 , 比 较 难 理 解 . 我 们 可 以 取 一 个 特 殊 的 函 数 图像来形象直 观 的 帮 助 解 题 . 如 图 是 一 个 符 合 题 意 的 图 像 , 从 图上可以直观观察出 f(x)<0 的 x 的取值范围是 (-2 ,2 ).

DC

姨 3 , ∠C =45° , ∠ADB=60° ,

∠∠ ∠∠ 则A B· D B 的值为 (
A. 2 C. 姨 3 B. 0 D. 1



B
例2图

D

解析: 该题的解法还是比 较多的, 这里仅提供以下的方

C

第四篇 : 平面向量中的特殊化思想
平 面 向 量 是 “既 有 数 又 有 形 ” 的 一 个 比 较 特 殊 的 概 念 , 相关问题的求解具有一定的挑战性, 但是, 如果能够用好 “ 特殊化思想 ”, 则同样可以相对容易地解决 . 一 、 根据所求值的象限来巧妙解题

法 . 设 DC=a, 则 AD= (2+2 姨 3 )a,AC= (3+2 姨 3 )a. 又 ∠C=45° ,

∠ADB=60° , 所 以 ∠DBC =15° , 由 正 弦 定 理 得 DB = DC · sin15° sin45° = ( 姨 3 +1 )a, 再 由 余 弦 定 理 得 AB2 =DB2 +AD2 -2DB· ADcos60°= (12+6 姨 3 )a2, 而 AB2+DB2= (16+8 姨 3 )a2=AD2, 所

軆 = (2 ,1 ) 围绕原点按逆时针旋转 π 得到向 例 1. 若将向量 a 4 軋, 则 b 軋的坐标为 ( 量b


∠∠ ∠∠ 以 AB⊥DB , 则 A B· D B =0.
但 实 际 上 , 我 们 可 以 从 判 断 A、 B、 C、 D 四 个 选 择 项 的 形 式 上 和 △ABC 形 状 的 可 变 性 上 直 接 给 出 答 案 B , 因 为

△ABC 中 的 边 长 和 角 度 之 间 的 比 例 等 关 系 是 确 定 不 变 的 , 但 B. ( 姨 2 , 3 姨 2 ) 2 2 D. ( 3 姨 2 , - 姨 2 ) 2 2
的大小 ( 只要相似即可 ) 是可变的 , 具体地就是 AB 、 DB 的长 度可按比例同时伸长或 缩 短 , 但 ∠ABD 的 大 小 在 这 个 过 程 中

A. ( - 姨 2 , - 3 姨 2 ) 2 2 C. ( - 3 姨 2 , 姨 2 ) 2 2

∠∠ ∠∠ 却是不变的 , 由选择子结果看 , A B· D B 得到的应该是一个不 ∠∠ ∠∠ 会变的定值 , 所以只能是 A B· D B =0.

广东教育·高中 2015 年第 2 期

63

点拨

数学有数
y C

三、 根据特殊值或特殊图形 来巧妙解题 例 3. 设 △ABC , P0 是 边 AB 上 一 定点 , 满足 P0B= 1 AB, 且对

00 中点 , 则 C (4 ,0 ),B (0 ,4 ),P (0 ,2 ),P0(0 ,3 ), 所以 00 PB · PC = ( 0 , 2 ) 00 00 (4 , -3 ) =-3 , 不 符 合 ; 故 选 项 正 · (4 , -2 ) =-4 , P P 0B· 0 C = (0 ,1 )·
确 . 对于选项 D , 如例 3 图 -6 ,A (-2 ,0 ),B (2 ,0 ),P0(1 ,0 ),P (t ,0 )

4


00 00 (-2 ≤t ≤2 ),C (0 ,m ), 则 00 PB ·00 PC =t2 -2t ≥-1 , P P 0B· 0 C =-1 , 故 00 00 00 P B ·P C ≥P 0B ·
A P
例3图

00 00 于边 AB 上任一点 P, 恒有 P B· PC 00 P0B · P ≥00 0C ,
90°
则 (

P0

B

x

00 P 0C .
例 4. 如 图 , 在 △OAB 中 , C 为

B

A. ∠ABC =90°

B. ∠BAC =

C. AB=AC D. AC=BC
解析 : 不妨设 AB=4 , 则 P0 B=1 , P0 A=3. 本题解题方法比较难寻找, 一种解法: 可以根据向量坐

D l O C P
例4图

OA 上 的 一 点 , 且

标运算直接判断三角形形状.如例 3 图, A(-2,0),B(2,0),P0(1 ,0 ),

00 00 O C=2 O A, D是 3
BC 的 中 点 , 过 点 A 的 直 线 l ∥OD , p 是直线 l 上的动

A

00 00 00 PB · P C =t2- (n+2 )t+2n ,P P P (t ,0 )(-2≤t≤2 ),C (n ,m ), 则 00 0B · 0C 00 00 00 00 2 B ·P C -P P =n-1, 所以 P 0B · 0C =t -(n+2)t+n+1=(t-1)[t-(n+1)]≥0
对 -2≤t≤2 恒 成 立 , 故 1=n+1 , 即 n=0 , 所 以 点 C 在 y 轴 上 , 故 AC=BC. 可以从不同的特殊角度采用排除法巧解题 .

00 00 点 , 若 00 OP =λ1O B +λ2O C , 则 λ1-λ2=__________.
解析: 该题的解题入口: 向量共线定理较难发现, 因为

C

C

C

00 00 00 00 00 00 PA = O A - 00 OP = 3 O C - ( λ1 O B +λ 2 O C ) =-λ 1 O B+
2

( 3 -λ2)

2

00 00 00 00 00 O C, O D=1 O B+1 O C , 00 PA ∥ O D,
2 2 A P P0 P0 B ( D ) A ( D ) P 例 3 图 -1 例 3 图 -2 B D A ( P ) P0 例 3 图 -3 B

所以 -λ1= 3 -λ2, 则 λ12

λ2=- 3 . 但是 , 同 学 们 可 以 将 其 特 殊 化 来 降 低 难 度 , 简 单 化 求 2 y 解 , 例 如 例 4 图 -1 , 取 OA ⊥OB ,A (3 ,0 ),B (0 ,2 ), B D O C
例 4 图 -1 则 C (2 ,0 ),D (1 ,1 ), 所 以 直线 l∶y=x-3 , 设 P (x ,x-3 ),

特殊解法 1 : 可以根据向量投影的概念 , 对选项采用排除 法 . 设点 C 在直线 AB 上的投影为点 D. 对于选项 A , 如例 3 图 -

00 00 00 00 00 B· PC = P 1, 则P B ·P C cos∠BPC= P B 2 00 00 当点 P 落在点 P0 的右侧时 , P < B P0 B

2



00 00 00 P P 0B · 0C = P0B

2

00 00 则 由 00 OP = λ 1 O B +λ 2 O C 得
(x ,x-3 ) = (2λ2,2λ1), 从 而

2

, 不符合 ; 对于选

A x

00 00 00 00 项 B , 如例 3 图 -2 , 则 P B· P C = 00 PB · P C cos∠BPC=- P B 00 00 00 00 00 PA , P0 B ·P0C =- P P0 A =-3 , 当 点 P 为 AB 中 点 时 , 0B 00 00 00 00 00 00 PB · PC =-4 , P B· P C<P P 0 B· 0 C , 不符合 ; 对于选项 C , 如例 00 00 00 PB · P C= P 3 图 -3 , 假 设 ∠BAC=120° , 则 AD=2 , 00 B ·P C 00 00 00 00 00 , · · , 当点 落在 P B P C P B P D cos∠BPC=- 00 ==-5 P PB PD 0 0 0 0 00 00 00 00 00 00 PC =-8, PB· PC < P0B· P0C , 不符合. 故选 D. A 点时 , PB·
特 殊 解 法 2: 可 以 根 据 向 量 坐 标 运 算 , 对 选 项 采 用 排 除 法 . 对于选项 A , 如例 3 图 -4 , 因为 ∠BP0C 为锐角 , 所以 00 P0B ·

x=2λ ⊥ x-3=2λ
2



1



所 以 λ1-λ2=- 3 .

2

P

当然最简单的应该是取 A 点即为 P 点 , 此时 λ1=0 , λ2= 3 , 则 λ1-λ2=- 3 .

2

2

第五篇 : 三角中的特殊化思想
三角虽说知识点并不难, 但公式非常多, 而且对公式的 变用、 灵活运用的要求都非常高, 解题具有一定的难度, 如 果解题中能够多尝试应用特殊化思想解题, 则会收到事半功 倍的效果 . 一 、 根据所求值的特殊符号来巧妙解题 例 1. 已知 tanx=m (π<x< 3 π ), 则 sinx= (

00 P0C >0 ,

00 00 若 P 取为 B 点 , 则 P B· PC =0 , 不 符 合 ; 对 于 选 项 B 、

C , 如例 3 图 -5 , 在 △ABC 中 ,∠BAC=90° ,AB=AC , 若取 P 为 AB A y B P0 P P0 B
例 3 图 -4

y C

2



C

A

C
例 3 图 -5

x

姨 1+m 1 C. ±m 姨 1+m
A. m
2

1

B . -m
2

姨 1+m
1
2

1

2

D.

姨 1+m

A

例 3 图 -6

P

P0

B x

解析 : 通过 tanx=m 的值 , 利用同 角 三 角 基 本 关 系 式 的 商 数 关 系 tanx = sinx 得 cosx = 1 sin x , 再 利 用 平 方 关 系 sin2x +

cosx

m

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广东教育·高中 2015 年第 2 期



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