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国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第16届)


国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第 16 届)
1. 三个玩家玩游戏.在三张扑克牌上分别写上一个正整数,并且每张牌上的数都不相 同.在每一轮游戏中都是随机的把卡片分给这些玩家,然后每个玩家拿到所分得卡片上 数目的筹码.当游戏进行时,玩家手上的筹码自然是越来越多.假设游戏至少进行了两 轮以上.在最后一轮结束时,第一个玩家有筹码 20 个,第二个玩家有 10 个,第三个玩 家有 9 个.又已知在最后一轮游戏中第三个玩家拿到的是最大数目的筹码.试问,在第 一轮游戏中哪个玩家收到了中间数量的筹码? 2. 三角形 ABC,求证在边 AB 上存在一点 D 使得 CD 是 AD、DB 的几何平均值的充要 条件是 sin A sin B <= sin2(C/2). 3. 试证明对任意非负整数 n,下式都不能被 5 整除: ∑ C(2n+1,2k+1)23k, 上式中的求和是 k 从 0 到 n,符号 C(r,s) 表示二项式系数 r!/(s!(r-s)!). 4. 沿着一个 8 x 8 象棋盘(黑白相间)中的线将其分割成 p 个不相交的长方形,使得 每个长方形内的黑白小方格的数目一样,并且每个长方形中小方格的数量也都不一样 多.求出所有可能 p 值中的最大值;并对这样的最大值求出所有可能的分法(即求出那 些长方形的大小) . 5. a,b,c,d 是任意实数,判定下式的所有可能值: a/(a+b+d) + b/(a+b+c) + c/(b+c+d) + d/(a+c+d). 6. 设 P(x) 是一个指数 d>0 的整系数多项式,n 是 P(X)=1 或-1 的不同整根的个数,则 有 n <= d + 2.


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