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高中数学必修二1.2空间几何体的三视图和直观图课件人教版必修二


在不透明物体后面的屏幕上留下影子的现象叫做投影.其 中,光线叫做投影线,留下物体影子的屏幕叫做投影面.

投射线可自一点发出,也可是一束与投影面成一定角度的 平行线,这样就使投影法分为中心投影和平行投影

光由一点向外散射形成的投影,叫做中心投影.其投影 线交于一点(投影中心).

在中心投影中,如果改变物体与投射

中心或投影面之间 的距离、位置,则其投影的大小也随之改变.

从图中可以看出,空间 图形经过中心投影后,直线 变成直线,但平行线可能变 成了相交的直线.

中心投影后的图形与原图 形相比,虽然改变很多,但直 观性强,看起来与人的视觉效 果一致,最象原来的物体.所 以在绘画时,经常使用这种方 法,但在立体几何中很少用中 心投影原理来画图.

如果将投影中心移到无穷远处,则所有的投影线都相互平 行,这种投射线为平行线时的投影称为平行投影. 正投影:投 射线垂直于 投影面 斜投影:投 射线倾斜于 投影面

正投影能正确的表达物体的真实形状和大小,作图比较方 便,在作图中应用最广泛. 斜投影在实际中用的比较少,其特点是直观性强,但作图 比较麻烦,也不能反映物体的真实形状,在作图中只是作为一 种辅助图样.

三角板在中心投影和不同方向的平行投影下的投影效果

S

投 射 方 向

物体上某一点与其投影面上的投影点的连线是平行的,则 为平行投影,如果聚于一点,则为中心投影.

平行光线

? ? ? ? ? ? ?

?

皮影戏表演

手影表演

中心投影:投射线交于一点 投影的分类 斜投影 平行投影 投射线平行 正投影(本节主要学习利用正投影绘制 空间图形的三视图,并能根据所给的三 视图了解该空间图形的基本特征)

猜 猜 他 们 是 什 么 关 系 ?

看 事 物 不 能 只 看 单 方 面

把一个空间几何体投影到一个平面上,可以获得一个平面 图形.视图是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形. 但只有一个平面图形难以把握几何体的全貌,因此我们需 要从多个角度进行投影. (1)光线从几何体的前面向后面正投影所得到的投影图 叫做几何体的正(主)视图. (2)光线从几何体的左面向右面正投影所得到的投影图 叫做几何体侧(左)视图. (3)光线从几何体的上面向下面正投影所得到的投影图 叫做几何体的俯视图.

三 视 图

根据长方体的模型,请您画出它们的三视图,并 观察三种图形之间的关系. 一个几何体的正视图和侧视图的高度一样,俯视图和正 视图的的长度一样,侧视图和俯视图的宽度一样.
高平齐
正视图 正视图 侧 视 图

? 侧视图
高度

长对正?

长度

宽相等
宽度

俯视图

俯视图

理论迁移
1.下图所示的长方体和圆柱三视图是否正确?

正 视 图

左 视 图

正 视 图

左 视 图

俯 视 图

俯 视 图

如何作出空间几何体的三视图?
(1)分析从几何体的正前方、正左方、正上方 所看到的正投影图; (2)按照“长对正、高平齐、宽相等”作出对 应的三视图; (正视图和俯视图一样长,正视图和侧视图一样 高,俯视图和侧视图一样宽) (3)作图时能看见的轮廓线和棱用实线表示, 不能看见的用虚线表示.

请你画出圆柱的三视图 俯

正视图

侧视图



俯视图

圆柱

请你画出圆锥的三视图





正视图

侧视图

?

俯视图

请你画出圆台的三视图 俯

正视图

侧视图


俯视图

请你画出六棱柱的三视图



正视图

侧视图



俯视图

请你画出六棱锥的三视图





请你画出四棱锥的三视图





正四棱锥

请你画出正三棱锥的三视图 俯



正三棱锥

请你画出四棱台的三视图



正视图


侧视图

俯视图

请你画出球的三视图



主视图

左视图



俯视图

理论迁移
2.如图是一个倒置的四棱柱的两种摆放,试分 别画出其三视图,并比较它们的异同.

正视

正视

正视图

侧视图

正视 俯视图

正视图

侧视图

正视 俯视图

能看见的轮廓线和棱用实线表示, 不能看见的轮廓线和棱用虚线表示.

三通水管

图2

图1 如果要做一个水管的三叉接头,工人事先看到的不是图1, 而是图2,然后根据这三个图形制造出水管接头.

例4 画出下面几何体的三视图.

例4 画出下面几何体的三视图.

正视图

侧视图

正视图

侧视图

俯视图 俯视图

练8.画出下面这个组合图形的三视图.

正视图

侧视图

俯视图

遮挡住看不见的线用虚线

例1.一个长方体的立体图如图所示,长为4,宽为2,高 为3,请画它的三视图.

3cm

4cm

2cm

主视方面

例2.由5个相同的小立方块搭成的几何体如图所 示,请画出它的三视图:
主视图
高 平 齐 长对正 宽相等

左视图

俯视图

例3.请想象下面三视图所表示的几何图形的实物模型. 圆锥

圆台

冰淇淋

思考2:下列两图分别是两个简单组合体 的三视图,想象它们表示的组合体的结 构特征,并作适当描述.

正视图 正视图 侧视图

侧视图

俯视图

俯视图

练9.画出下面马蹄形磁铁的三视图.




练10.从三个方向看下图,试作出其三视图.

从上面

从侧面

从正面看

从上面
主视图 左视图

俯视图

从侧面

从正面看

思考: 如图1是截去一角的长方体,画出它的三视图.

正视图

侧视图

正视

俯视图

图片都是空间图形在平面上的反映,通过对图片的研究可 以了解空间图形的一些性质和特征.
三视图是用平面图形表示空间图形的一种重要方法,但三 视图的直观性较差,因此有必要绘制空间图形的直观图.一般 采用中心投影或平行投影.

在中心投影中,水平线(或垂直线)仍保持水平(或垂直),但 斜的平行线则会相交,交点称为消点.

中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象,但作图较复 杂,又不易度量.
立体几何中常用平行投影(斜投影)来画空间图形的直观图, 这种画法叫斜二测画法. 投影规律 1.平行性不变,但形状、长度、 夹角会改变; 2.平行直线段或同一直线上的 两条线段的比不变; 3.在太阳光下,平行于地面的 直线在地面上的投影长不变.

例1.用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图 (1)在六边形ABCDEF中,取AD所在的直线为X轴,对称轴MN 所在直线为Y轴,两轴交于点O.画对应的 X ' , Y ' 轴,两轴相交 于点 O ' ,使 ?X ' OY ' ? 45?
y
F A

M

E D
x

y'
O

O

x'

B

N C

注意:(1)建系时要尽量考虑图形的对称性 (2)画水平放置平面图形的关键是确定多边形顶点的位置.

1 (2)以O 为中心,在 x 上取 A D ? AD ,在 y 轴上取 M N ? 2 MN ' '为中心,画 B'C ' ? x ' 轴,并等于 BC ,再以 M 为中心,画 以点 N
' '

'

'

'

'

E ' F ' ? x' 轴,并等于 EF
y
F A

M

E D
x

y?
A?
B?

O

F ? M ? E?
N?

O?

D?

C?

x?

B

N C

注意:水平放置的线段长不变,铅垂放置的线段长变为原 来的一半.

(3)连结 A' B' , C ' D' , E ' F ' , F ' A' , 并擦去辅助线x’轴和y’轴,便获得 ' ' ' ' ' ' 正六边形ABCDEF水平放置的直观图 A B C D E F
y
F A

M

E D
x

y?
A?
B?

O

F ? M ? E?
N?

O?

D?

C?

x?

B

N C

~请你总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤~

斜二测画法的步骤
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于O点. 画直观图时,把它画成对应的x’轴、y’轴,两轴交于O’,使 ?x'Oy' ? 45? (或135? ) ,它们确定的平面表示水平平面. (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画 成平行于x’轴或y’轴的线段.

(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不 变;平行于y轴的线段,长度为原来的一半.

关于水平放置的圆的直观图的画法,常用正等测画 法.在实际画水平放置的圆的直观图时,通常使用椭圆模版.

例2.用斜二测画法画长,宽,高分别是4cm,3cm,2cm的长方 体的直观图

联想水平放置的平 面图形的画法,并注意 到高的处理

?1? 画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O,使?xOy=45? , ?xOz ? 90?.
(2)画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN,使MN= 4 cm;在 轴上取线段PQ,使PQ= 1.5cm;分别过点M 和N 作y轴的平行 线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B, C,D,四边形ABCD就是长方形的底面ABCD

Z

y
O

Z

y
Q

x

M

D
O

C

A

N
B

x

P

?3? 画侧棱.过A,B,C,D,各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线
上分别截取2cm长的线段AA?,BB?,CC?,DD?.

?4? 成图.顺次连接A?,B?,C?,D?,并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡住的部分
改为虚线), 就可得到长方体的直观图.

D?

Z
B?
O

C?
Q

A?
M

y

D?

C?
B?
C

D
P

C

N
B

A

x

A?

D

A

B

例3.已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图

Z ·
O?

y?

· O? · O
正视图

· O? · O
侧视图

y

x?

O

x

·
俯视图

三视图从细节上刻画了空间几何体的 结构,根据三视图,我们可以得到一个精 确的空间几何体,正是因为这个特点,使 它在生产活动中得到广泛应用(比如零件 图纸、建筑图纸等).直观图是对空间几何 体的整体刻画,我们可以根据直观图的 结构想象实物的形象.

中心投影 投影线交于一点 直观强、接近实物 投影 平行投影 投影线平行 正视图 侧视图 俯视图 斜投影 不改变原 正投影 物形状

?

三视图

视图 直观图

长对正、高平齐、宽相等 根据三视图,我们可以得 到一个精确的空间几何体

斜二测画法

可以根 据直观 图的结 构想象 实物的 形象


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