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第一届中国东南地区数学奥林匹克试题


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首届中国东南地区数学奥林匹克
第一天
(2004 年 7 月 10 日 8:00 — 12:00 一、设实数 a、b、c 满足 a ? 2 b ? 3 c ?
2 2 2

温州)
?b ?c

?1 2 二、 D 是 ? ABC 的边 BC 上的一点, P 在线段 AD 上, 设 点 过点 D 作一直线分别与线段 AB、 PB 交于点 M、E,与线段 AC、PC 的延长线交于点 F、N。如果 DE=DF,

3

,求证: 3

?a

?9

? 27

求证:DM=DN 三、 (1)是否存在正整数的无穷数列 { a n } ,使得对任意的正整数 n 都有 a n ?1 ? 2 a n a n ? 2 。
2

(2)是否存在正无理数的无穷数列 { a n } ,使得对任意的正整数 n 都有 a n ?1 ? 2 a n a n ? 2 。
2

四、给定大于 2004 的正整数 n,将 1、2、3、…、 n 分别填入 n×n 棋盘(由 n 行 n 列方格 构成)的方格中,使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少 2004 个方格内所填的数,且大于它所在列至少 2004 个方格内所填的数,则称这个方格 为“优格” 。求棋盘中“优格”个数的最大值。

2

第二天
(2004 年 7 月 11 日 8:00 — 12:00 五、已知不等式 2 (2 a ? 3) cos(? ? 温州)

?
4

)?

? ? ? ? 2 sin 2? ? 3 a ? 6 对于 ? ? ? 0, ? sin ? ? cos ? ? 2?

6

恒成立,求 a 的取值范围。 六、设点 D 为等腰 ? ABC 的底边 BC 上一点,F 为过 A、D、C 三点的圆在 ? ABC 内的弧上 一点,过 B、D、F 三点的圆与边 AB 交于点 E。求证: CD ? EF ? DF ? AE ? BD ? AF 七、n 支球队要举行主客场双循环比赛(每两支球队比赛两场,各有一场主场比赛) ,每支 球队在一周(从周日到周六的七天)内可以进行多场客场比赛。但如果某周内该球队有 主场比赛,在这一周内不能安排该球队的客场比赛。如果 4 周内能够完成全部比赛,球 n 的最大值。 注:A、B 两队在 A 方场地举行的比赛,称为 A 的主场比赛,B 的客场比赛。
x? y x? y y?z y?z z?u z?u

八、求满足

?

?

? 0 ,且 1 ? x、 y、 z、 u ? 10 的所有四元有序整数组

( x , y , z , u )的个数。

首届中国东南地区数学奥林匹克(答案)
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第 1 页 共 6 页

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2

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2

( 一、 由柯西不等式, a ? 2 b ? 3c ) ? ( 1 ? 解:

2 ?
?c

2

3 ) ( 1a ) ? ( 2 b ) ? ( 3 c )
2 2

2

?

2

??9

所以, a ? 2 b ? 3c ? 3 ,所以 3

?a

?9

?b

? 27

?3 3
3

? ( a ? 2b ? 3c )

?3 3
3

?3

?1

二、证明: 对 ? AMD 和直线 BEP 用梅涅劳斯定理得: AP DE M B ? ? ? 1(1) , PD EM BA 对 ? AFD 和直线 NCP 用梅涅劳斯定理得: AC FN DP ? ? ? 1(2) , CF ND PA 对 ? AMF 和直线 BDC 用梅涅劳斯定理得: AB M D FC ? ? ? 1(3) BM DF CA M (1) (3)式相乘得: (2) DE FN M D B ? ? ? 1 ,又 DE=DF, EM ND DF DM DN ? 所以有 , DM ? DE DN ? DE 所以 DM=DN。 一、解: (1)假设存在正整数数列 { a n } 满足条件。
? a n ?1 ? 2 a n a n ? 2 , a n ? 0, ?
2

A

P

C

D F

N

an a n ?1 ?

?

1 a n ?1 1 a ? a ? ? 2 ? n ? 2 ? ... ? n ? 2 ? 2 , n ? 3, 4, ...., 2 an ? 2 2 an ?3 2 a1 ? a2 a1



a2 a1

?

1 2
2?2

?

a2 a1

, 所以有

an a n ?1

1 2
n?2

对 n=2,3,4,…成立。
2 n?2

? 1 a ? an ? ? n?2 ? 2 a1 ?2

? 1 ? a n ?1 ? ( n ? 2 ) ? ( n ? 3) 2 ?
n ?1 2

?a ? 1 ? ? 2 ? ? a n ? 2 ? ... ? ( n ? 2 ) ? ( n ? 3) ? ...?1 2 ? a1 ?

?a ? ?? 2 ? ? a1 ?

? a2

? a2 ? 所以 a n ? ? n 2 2 ? ? ?2 ?

?

1 a1
n?2



设 a 2 ? [2 , 2
2 k

k ?1

), k ? N ,取 N ? k ? 3 ,则有
k ?2

N ?1

? a2 ? a N ? ? N2? 2 ? ?2 ?

2

?

1 a
N ?2 1

? 2 k ?1 ? ? ? k ?1 ? ?2 ?

2

?

1 a1
k ?1

? 1 ,这与 a N 是正整数矛盾。

所以不存在正整数数列 { a n } 满足条件。

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(2)a n ?

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2

?
( n ?1)( n ? 2 )

2 四、解:为叙述方便,如果一个方格中填的数大于它所在行至少 2004 个方格中所填的数, 则称此格为行优的。由于每一行中填较小的 2004 个数的格子不是行优的,所以每一行 中有 n-2004 个行优的。一个方格为“优格”一定是行优的,所以棋盘中“优格”个数

就是满足条件的一个无理数数列。 此时有 a n ?1 ? 4 a n a n ? 2 ? 2 a n a n ? 2 。

不大于 n ( n ? 2004) 。 另一方面,将棋盘的第 i (i ? 1, 2, 3,..., n ) 行,第 i、 i ? 1、、 i ? 2003 (大于 n 时取 ... 模 n 的余数)列中的格子填入“*” 。将 1、2、3、…、2004n 填入有“*”的格子,其余 的数填入没有“*”的格子。没有“*”的格子中填的数大于有“*”的格子中任何一个 数,所以棋盘上没有“*”的格子都为“优格” ,共有 n ( n ? 2004) 个。 此时每行有 2004 个格子有“*” ,每列也有 2004 个格子有“*” (如图) 。实际上, 当 1 ? i ? 2003 时,第 i 列的第 1、2、…、i、n+i-2003、n+i-2002、...、n 行中有“*” 。 当 i ? 2004 时,第 i 列的第 i-2003、i-2002、...、i 行中有“*” 。所以每行有 2004 个格子有“*” ,每列也有 2004 个格子有“*” (如图) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

所以棋盘中“优格”个数的最大值是 n ( n ? 2004) 。

五、解:设 sin ? ? cos ? ? x ,则 cos(? ? 从而原不等式可化为: (2 a ? 3) x ? 即 2 x ? 2 ax ? 3 x ?
2

?
4

)?
2

2 2

2 x , sin 2? ? x ? 1, x ? ?1, 2 ? ? ?

6 x

? 2( x ? 1) ? 3 a ? 6 2 x ? a ) ? 3( x ? 2 x ? a) ? 0 ,

6 x

? 3 a ? 4 ? 0, 2 x ( x ?

2 ? ? (2 x ? 3) ? x ? ? a ? ? 0 x ? ?

? x ? ??1,

2? ?

?

(1)

? 原不等式等价于不等式(1)

? x ? ?1, 2 ? , ? 2 x ? 3 ? 0 ? ?

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(1)不等式恒成立等价于 x ? 从而只要 a ? ( x ?
2 x 2 x

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?a?0

? x ? ??1,

2 ? 恒成立。 ?

?

) max ( x ? ?1, 2 ? ) 。 ? ?
2 2 在 ?1, 2 ? 上递减,? ( x ? ) max ? 3 ( x ? ?1, 2 ? ) 。 ? ? ? ? x x
A

又容易知道 f ( x ) ? x ?

所以 a ? 3 。 六、证明:设 AF 的延长线交 ? BDF 于 K,
? ? AEF ? ? AKB , ? ? AEF ? ? AKB ,
3

2 1

因此

EK AF

?

BK AB

,

AE AF

?

AK AB

。于是要证(1) ,
F E

只需证明: CD ? BK ? DF ? AK ? BD ? AB (2) 又注意到 ? KBD ? ? KFD ? ? C 。 1 我们有 S ? DCK ? CD ? BK ? sin ? C 2
S ? ABD ? 1 2 1 2 BD ? AB ? sin ? C AK ? DF ? sin ? C
B

D

C

进一步有
S ? ADK ?

因此要证(2) ,只需证明 S ? ABD ? S ? DCK ? S ? ADK (3) 而(3) ? S ? ABC ? S ? AKC ? BK // AC (4) 事实上由 ? BKA ? ? FDB ? ? KAC 知(4)成立,得证。 七、解: (1)如右图所示:表格中有“*” , 表示该球队在该周有主场比赛,不能出访。 容易验证,按照表中的安排,6 支球队四周 可以完成该项比赛。 (2)下面证明 7 支球队不能在四周 完成该项比赛。设 S i ( i ? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) 表示 i 号球队的主场比赛周次的集合。假设 4 周内 能完成该项比赛,则 S i 是{1,2,3,4}的非空真子集。 球 队 1 2 3 4 5 6 第 一 周 * * * * * * * * * 第 二 周 * * * 第 三 周 第 四 周

一方面由于某周内该球队有主场比赛, 在这一周内不能安排该球队的客场比赛, 所 以 S i ( i ? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) 中,没有一个集是另一个的子集。 另一方面,设
A ? ?{1},{1, 2},{1, 2, 3}? , B ? ?{2},{2, 3},{2, 3, 4}? , C ? ?{3},{1, 3},{1, 3, 4}? D ? ?{4},{1, 4},{1, 2, 4}? , E ? ?{2, 4}? , F ? ?{3, 4}?
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由抽屉原理,一定存在

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i , j , i ? j , i , j ? {1, 2, 3, 4, 5} ,S i , S j 属于同一集合 A 或 B 或 C 或 D 或 E 或 F,必有

S i ? S j 或 S j ? S i 发生。

所以,n 的最大值是 6。 a?b b?c c?d ? ? 八、解:设 f ( a , b , c , d ) ? 。 a?b b?c c?d 记 A : {( x , y , z , u ) | 1 ? x , y , z , u ? 10, f ( x , y , z , u ) ? 0} ,
B : {( x , y , z , u ) | 1 ? x , y , z , u ? 10, f ( x , y , z , u ) ? 0} , C : {( x , y , z , u ) | 1 ? x , y , z , u ? 10, f ( x , y , z , u ) ? 0} ,

显然 card ( A ) ? card ( B ) ? card (C ) ? 10 。
4

我们证明 card ( A ) ? card ( B ) 。对每一个 ( x , y , z , u ) ? A ,考虑 ( x , u , z , y ) 。
( x, y, z , u ) ? A ? f ( x, y , z , u ) ? 0 ? ? x?u x?u ? u?z u?z ? z?y z? y ? y?x y?x x? y x? y ? y?z y?z ? z ?u z?u ? u?x u?x ?0

? 0 ? f ( x, y , z , u ) ? 0 ? ( x, u , z , y ) ? B

接着计算 card ( C ) 。
( x, y, z, u ) ? C ? xz ? yu ( x ? y )( z ? u ) ? xz ? yu ( y ? z )( u ? x ) ? ( z ? x )( u ? y )( xz ? yu ) ? 0

设 C1 ? {( x , y , z , u ) | x ? z , 1 ? x , y , z , u ? 10} ,
C 2 ? { ( x , y , z , u ) |? x C 3 ? { ( x , y , z , u ) |? x
?

z ,?y z ,?y

u ,? 1 u, ? z x

x , y , ? , u, 1 0 } z y ,u 1 ? x y? , 。 1 0 } , , z u

满足 a ? b ? c ? d , ( a , b , c , d ) 为 1、2、3、...、10 的两两不同的无序四元组只有

1 ? 6 ? 2 ? 3, 1 ? 8 ? 2 ? 4, 1 ? 10 ? 2 ? 5, 2 ? 6 ? 3 ? 4, 2 ? 9 ? 3 ? 6, 2 ? 10 ? 4 ? 5, 3 ? 8 ? 4 ? 6, 3 ? 10 ? 5 ? 6, 4 ? 10 ? 5 ? 8 。

满足 x ? y , z ? u , x ? z 的四元组共 90 个,满足 x ? z , y ? u , x ? z 的四元组共 90 个,
card (C 3 ) ? 4 ? 2 ? 9 ? 90 ? 90 ? 252, card ( C 1) ? 1000, card ( C 2) ? 900 。

所以, card (C ) ? 2152, card ( A ) ? 3924 。

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