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高二数学测试题


高二数学测试题
一、选择题 1.经过空间任意三点作平面 A.只有一个 C.可作无数多个 B.可作二个 D.只有一个或有无数多个 ,则 x 的值为 D.0 ( ) ( )

2.若 a =(2,1,1) , b =(﹣1,x,1)且 a ⊥ b A.1 B.-1 C.2

3. 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为 5cm,4cm,3cm,把它们重叠在一起组成一 个新长方体,在这些新长方体中,最长的对角线的长度是 A. 77cm B. 7 2cm C. 5 5cm D. 10 2cm ( ) ( )

4.已知α ,β 是平面,m,n 是直线.下列命题中不 正确的是 . A.若 m∥n,m⊥α ,则 n⊥α C.若 m⊥α ,m⊥β ,则α ∥β B.若 m∥α ,α ∩β =n,则 m∥n D.若 m⊥α , m ? ? ,则α ⊥β

5.在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1中, 若AB ? 2BB1 , 则AB1与C1 B所成的角的大小为 ( A.60° B.90° C.105° D.75°



6.一射手对同一目标独立地进行四次射击,已知至少命中一次的概率为 ( A.
1 3

80 ,则此射手的命中率为 81

) B.
1 4

C.

2 3

D.

2 5

7.正三棱锥的侧面与底面所成的二面角的余弦值为 ( ) A. 1 3 C. 1 2

3 ,则其相邻两侧面所成的二面角的余弦值是 3

B. 2
2

D.0 ( )

8.棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分条件是 A.有一条侧棱与底面垂直 C.有一个侧面与底面的一条边垂直 B.有一条侧棱与底面的两边垂直

D.有两个相邻的侧面是矩形 1 1 9.正方形 ABCD 的边长为 6 cm,点 E 在 AD 上,且 AE= AD,点 F 在 BC 上,且 BF = BC,把正方形沿对角线 3 3 BD 折成直二面角 A-BD-C 后,则 EF = ( ) A.2 7 cm B.2 15 cm C. 2 6 cm D.6 cm 10.停车场可把 12 辆车停放在一排上,当有 8 辆车已停放后,而恰有 4 个空位连在一起,这样的事件发生的概率 为 ( ) A.

7 8 C12

B.

8 8 C12

C.

9 8 C12

D.

10 8 C12


二、填空题 11.从5名男医生和4名女医生中选出4名代表,至少有一男一女的概率是 12. 有一道数学难题, 在半小时内, 甲能解决的概率是

1 1 乙能解决的概率是 , 两人试图独立地在半小时内解决它. 则 2 3

难题在半小题的内得到解决的概率为__________.

13 .在北纬 60? 圈上有甲乙两地,它们在纬度圈上的弧长为 ? R ( R 为地球的半径) ,则甲乙两地的球面距离
2





14. 将边长为 2, 锐角为 60°的菱形 ABCD 沿较短对角线 BD 折成四面体 ABCD, 点 E、 F 分别为 AC、 BD 的中点, 则下列命题中正确的是 ①EF∥AB 。 (将正确的命题序号全填上)

②EF 是异面直线 AC 与 BD 的公垂线 ④AC 垂直于截面 BDE

③当四面体 ABCD 的体积最大时,AC= 6

三、解答题 15. )有九件电子产品,其中有 5 件是正品,4 件是次品. (1)一次取出 3 件测试,求至少抽到两件正品的概率; (2)不放回一个一个测试,求五次测试恰好全部抽到正品的概率; (3)不放回一个一个测试,求经过五次测试恰好将 4 个次品全部找出的概率.

16.在如图所示的电路中,开关 b,a,c 开或关的概率都为 亮的概率.

1 ,且相互独立,求灯 2

17. 在直角梯形 P1DCB 中, P1D//CB, CD⊥P1D, 且 P1D=6, BC=3, DC= 6 , A 是 P1D 的中点, 沿 AB 把平面 P1AB 折起到平面 PAB 的位置,使二面角 P—CD—B 成 45°角.设 E、F 分别是线段 AB、PD 的中点. (1)求证:AF//平面 PEC; (2)求 PC 与底面所成角的正弦值.

18.已知 ( x x ?

1
3

x

) n 展开式中前三项系数之和为37.

(1)求 x 的整数次幂的项; (2)求展开式中二项式系数最大的二项式系数.

19. (本题满分 14 分)正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长是 3 ,侧棱长是 3,点 E,F 分别在 BB1,DD1 上, 且 AE⊥A1B,AF⊥A1D. ①求证:A1C⊥面 AEF; ②求二面角 A-EF-B 的大小; ③点 B1 到面 AEF 的距离; ④平面 AEF 延伸将正四棱柱分割成上下两部分,求 V 上∶V 下

20. (本题满分 14 分)在直角梯形 P1DCB 中,P1D//CB,CD⊥P1D,且 P1D=6,BC=3,DC= 6 ,A 是 P1D 的中点, 沿 AB 把平面 P1AB 折起到平面 PAB 的位置,使二面角 P—CD—B 成 45°角.设 E、F 分别是线段 AB、PD 的 中点. (1)求证:AF//平面 PEC; (2)求 PC 与底面所成角的正弦值.

高二数学期中同步测试题参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 B 5 B 6 C 7 D 8 C 9 D 10 A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.12 12.90 13.

?
3

R

14.②③④

三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分)

15.(12 分) 解: (1)

2 2



5 3 ; 5 5

(2)90°;90°;0°

16.(12 分) 解:由斜线相等,射影相等知,O 在底面的射影为△ABC 的外心 Q, 又△ABC 为 Rt△外心在斜边中点,故 OQ= 252 ? 102 == 525 ? 5 21 17.(12 分) 解: (1)MN⊥AM,MN//CD (2)∵MN//CD MN ? 平面 ADC ∴CD⊥AM 又 CD⊥DM ∴CD⊥平面 ADM ∴平面 ADC⊥平面 ADM CD ? 平面 ADC ∴MN//平面 ADC ∵MN⊥DM ∴M、N 到平面 ADC 的距离相等 ∴∠AMN=900

过 M 作 MP⊥AD ∵平面 ADM⊥平面 ADC ∴MP⊥平面 ADC MN⊥AM

在 Rt△ADM 中, MP ?

x(1 ? x) x ? (1 ? x)
2 2

∴ y ? MP ?

x(1 ? x) 2x 2 ? 2x ? 1

18.(12 分) 解:作 AO⊥平面 A1B1C1,O 为垂足 ∵∠AA1B1=∠AA1C1=450 ∴A1A⊥B1C1 ∴O 在∠C1A1B1 的平分线上 ∵A1C1=A1B1 ∵DD1//BB1 ∴B1C1⊥平面 A1D1DA ∴A1D1⊥B1C1 ∴四边形 BB1C1C 为矩形 连结 A1O 并延长交 B1C1 于 D1 点 ∴BB1⊥B1C1 DD1 取 BC 中点 D,连结 AD

∴B1C1⊥DD1 又 B1C1⊥A1D1 ∴AN=AO ∴A1D1=DD1

∴平面 A1ADD1⊥平面 B1C1CB, 过 A 作 AN⊥DD1,则 AN⊥平面 BB1C1C ∵四边形 AA1D1D 为□ ∴ DD1 ?

3 3 ? AA1 ? 2 2

3 2 3 6 3 ? ? ?1 ? ? 2 2 2 2 2 19. (14 分)解:①∵BC⊥面 AA1B1B ∴A1B 那么 A1C 在平面 AA1B1B 上的射影 S 侧 ? 2 ? 1?

又 AE⊥A1B AE ? 面 AA1B1B ∴AE⊥A1C(三垂线定理) 同理:AF⊥A1D 又 AE,AF ? 面 AEF 且 AE∩AF=A ∴A1C⊥面 AEF ②连 AC,BD 交于点 O,取 EF 的中点 M 连 OM,AM 已知 AE=AF=2 BE=DF=1 ∠OMA 即为二面角 A—EF—B 的平面角 在 tan∠AMO=

6 2

∴∠AMO=arc tan

6 2

③ V B1 ? AEF ? V F ? AB1 E

∴d=

15 10

④V 上∶V 下=2∶1 20.(14 分) 解法一:设 PC 中点为 G,连 FG.∵FG//CD//AE,

1 CD ? AE ∴AEGF 是平行四边形 2 ∴AF//EG,EG ? 平面 PEC,∴AF//平面 PEC.
且 GF= (2)连接 AC. ∵BA⊥AD,BA⊥AP1,∴BA⊥AD,BA⊥AP ∴BA⊥平面 PAD…① 又 CD//BA,∴CD⊥PD,CD⊥AD, ∴∠PDA 是二面角 P—CD—B 的平面角,∴∠PDA=45°. 又 PA=AD=3,∴△PAD 是等腰直角三角形,∴PA⊥AD……② 由①、② ∴PA⊥平面 ABCD,∴AC 是 PC 在底面上的射影. ∵PA=3, AC ? 则 sin ?PCA ?

AD2 ? DC 2 ? 32 ? 6 ? 15 ,∴ PC ? 15 ? 32 ? 2 6 ,
3 ? 6 ,∴PC 与底面所成角的正弦值为 6 . 4 4
1 1 DP ? BC ? ( DC ? CP ) = 2 2

2 6

解法二: (1)设线段 PC 的中点为 G,连结 EG ∵ AF ? AD ? DF ? BC ?

BC ?

∴AF//EG,又 EG ? 平面 PEC,AF ? 平面 PEC,∴AF//平面 PEC. (2)∵BA⊥P1D,∴BA⊥平面 PAD……①又 CD//BA,∴CD⊥PD,CD⊥AD, ∴∠PDA 是二面角 P—CD—B 的平面角,∠PDA=45°.又 PA=AD=3,∴△PAD 是等腰直角三角形, ∴PA⊥AD…② 由①、② ∴PA⊥平面 ABCD, 设 PA 与 PC 所成的角为 ? (0 ? ? ? ? )

1 AB ? CG ? EB ? BC ? CG ? EC ? CG ? EG 2

? 则 PC 与平面 ABCD 所成的角为
∵ PC ?

2

2

??.

AC ? AP ? AD ? AB ? AP, 又知AD 、 AB 、 AP 两两互相垂直,且
PA ? PC | PA | ? | PC | ? PA( AD ? AB ? AP) 3 9?9?6 .

| AP |?| AD |? 3, | AB |? 6 ? cos? ?

?

AP ? AP 6 6

?

6 4
6 4
.

故知 PC 与底面所成角的正弦值为


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