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高中数学公式全包稿++


高中数学常用公式及常用结论
1. 元素与集合的关系

x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A .
2.德摩根公式

CU ( A ? B) ? CU A ? CU B; CU ( A ? B) ? CU A ? CU B .
3.集合 {a1 , a2 ,? , an } 的子集

个数共有 2 n 个;真子集有 2 n –1 个;非空子集有 2 n –1 个;非空 的真子集有 2 n –2 个. 4.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ;
2

(2)顶点式 f ( x) ? a( x ? h) ? k (a ? 0) ;
2

(3)零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) . 5.方程 f ( x) ? 0 在 ( k1 , k 2 ) 上有且只有一个实根,与 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 不等价,前者是后者的一个必 要而不是充分条件.特别地, 方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有且只有一个实根在 ( k1 , k 2 ) 内,等价于
2

f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 ,或 f (k1 ) ? 0 且 k1 ? ?
6.闭区间上的二次函数的最值

k ? k2 k ? k2 b b ,或 f (k 2 ) ? 0 且 1 ? 1 ?? ? k2 . 2a 2 2 2a

二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ? p, q ? 上的最值只能在 x ? ?
2

b 处及区间的两端 2a

点处取得,具体如下: (可画图解决问题) (1)当 a>0 时,若 x ? ?

b b ? ? p, q? ,则 f ( x)min ? f (? ), f ( x) max ?max ? f ( p), f (q)? ; 2a 2a

b ? ? p, q? , f ( x) max ? max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ?min ? f ( p), f (q)? . 2a b b (2)当 a<0 时,若 x ? ? ? ? p, q? ,则 f ( x) min ? min ? f ( p), f (q)? ,若 x ? ? ? ? p, q? ,则 2a 2a x??
f ( x)max ? max ? f ( p), f (q)? , f ( x) min ? min ? f ( p), f (q)? .
7.真值表 p 真 真 q 真 假 非p 假 假 p或q 真 真 p且q 真 假

假 假

真 假

真 真

真 假 反设词 不是 不都是 不大于 不小于 存在某 x , 不成立 存在某 x , 成立

假 假 原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n ? 1 )个 至少有( n ? 1)个

8.常见结论的否定形式 原结论 是 都是 大于 小于 对所有 x , 成立 对任何 x , 不成立 9.四种命题的相互关系 原命题 若p则q 互 互 否 否 否命题 若非p则非q 互逆 为 逆 为 逆 否 逆否命题 若非q则非p 互逆 互 互 否 逆命题 若q则p

p 或q p 且q

?p 且 ?q ?p 或 ?q

10.充要条件 (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 11.函数的单调性 (1)设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 0 ? ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 0 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. x1 ? x2

(2)设函数 y ? f (x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为增函数;如果 f ?( x) ? 0 ,则

f (x) 为减函数.

12.如果函数 f (x) 和 g (x) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x) ? g ( x) 也是减函数; 如果 函数 y ? f (u ) 和 u ? g (x) 在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数 y ? f [ g ( x)] 是增函数. 13.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点 对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 14.两个函数图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. (2)同底的指数和对数函数互为反函数,图像关于直线 y=x 对称。 15.几个函数方程的周期(约定 a>0) 16.分数指数幂 (1) a n ?
? m n
m

f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f (x) 的周期 T=a;

1
n

a

m

( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ).

?

(2) a

?

1 a
n

m n

( a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ).

?

17.根式的性质 (1) ( n a ) ? a .
n (2)当 n 为奇数时, a ? a ; 当 n 为偶数时, a ?| a |? ?
n n

n

? a, a ? 0 . ? ? a, a ? 0

18.有理指数幂的运算性质 (1)

a r ? a s ? a r ? s (a ? 0, r , s ? Q) .
r s rs

(2) (a ) ? a (a ? 0, r , s ? Q) . (3) (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q) .
r r r

注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无 理数指数幂都适用. 19.指数式与对数式的互化式

p

log a N ? b ? a b ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .
20.对数的换底公式

log a N ?

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1, N ? 0 ). log m a

推论 log am bn ?

n log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m ? 1, n ? 1 , N ? 0 ). m

21.对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) log a ( MN ) ? log a M ? log a N ; (2) log a

M ? log a M ? log a N ; N
n

(3) log a M ? n log a M (n ? R) . 22.数列的同项公式与前 n 项的和的关系

n ?1 ? s1 , an ? ? ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ). sn ? sn ?1 , n ? 2 ?
23.等差数列的通项公式 其前 n 项和公式为

an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ; n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 sn ? ? na1 ? d ? n2 ? (a1 ? d )n . 2 2 2 2
n ?1

24.等比数列的通项公式 an ? a1q

?

a1 n ? q (n ? N * ) ; q

其前 n 项的和公式为

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? ? sn ? ? 1 ? q 或 sn ? ? 1 ? q . ? na , q ? 1 ? na , q ? 1 ? 1 ? 1

25.同角三角函数的基本关系式

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , tan ? =
27.正弦、余弦的诱导公式: 28.和角与差角公式

sin? , cos?
奇变偶不变,符号看象限。

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

a sin ? ? b cos? = a 2 ? b 2 sin(? ? ? )
(辅助角 ? 所在象限由点 (a, b) 的象限决定, tan ? ? 29.二倍角公式

b ). a

sin 2? ? sin ? cos? .

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? .
tan 2? ? 2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 · 万能公式: sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB

30.三角函数的周期公式 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的 周期 T ?

2?

?



函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ?

?

2 a b c 31.正弦定理 ? ? ? 2R . sin A sin B sin C
32.余弦定理

, k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期 T ?

? . ?

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ; b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ; c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
33.面积定理

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2
(1) S ? 34.三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) sinC=sin(A+B),cosC=-cos(A+B),tanC=-tan(A+B) 35.实数与向量的积的运算律 设λ 、μ 为实数,那么 (1) 结合律:λ (μ a)=(λ μ )a; (2)第一分配律:(λ +μ )a=λ a+μ a; (3)第二分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 36.向量的数量积的运算律: (1) a·b= b·a (交换律); (2)( ? a) ·b= ? (a·b)= ? a·b= a· ? b); ( (3)(a+b) ·c= a ·c +b·c. 37.平面向量基本定理 如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实 数λ 1、λ 2,使得 a=λ 1e1+λ 2e2. 不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 38.向量平行的坐标表示 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 a ? b(b ? 0) ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . 39. a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ . 40. a·b 的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积. 41.平面向量的坐标运算 (1)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a+b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (2)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a-b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) . (4)设 a= ( x, y), ? ? R ,则 ? a= (? x, ? y) . (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a·b= ( x1 x2 ? y1 y2 ) . 42.两向量的夹角公式

??? ?

??? ??? ? ?

cos ? ?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2

(a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ).

43.平面两点间的距离公式

??? ? ??? ??? ? ? d A, B = | AB |? AB ? AB

? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).
44.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 A||b ? b=λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 45.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、 B(x2 ,y2 )、 C(x3 ,y3 ),则△ABC 的重心的坐标是

G(

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3

46. 三角形四“心”向量形式的充要条件 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,则 (1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC . (2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 . (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA . (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 . 47.常用不等式: (1) a, b ? R ? a ? b ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).
2 2

??? 2 ?

??? 2 ?

???? 2

??? ??? ??? ? ? ?

?

??? ??? ? ?
??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?
?

??? ?

??? ?

(2) a, b ? R ?
3 3 3

?

a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2

(3) a ? b ? c ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0). (4) a ? b ? a ? b ? a ? b . 48.均值定理 已知 x, y 都是正数,则有

(1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值
2

1 2 s . 4
2

49.一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b ? 4ac ? 0) ,如果 a 与 ax ? bx ? c 同
2

号,则其解集在两根之外;如果 a 与 ax ? bx ? c 异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之
2

外,异号两根之间.

x1 ? x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ; x ? x1 , 或x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) .
50.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有

x ? a ? x 2 ? a ? ?a ? x ? a .
2

x ? a ? x 2 ? a 2 ? x ? a 或 x ? ?a .
51.指数不等式与对数不等式 (1)当 a ? 1 时,

a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ;

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ?
(2)当 0 ? a ? 1时,

a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ;

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?
52..斜率公式

k?

y2 ? y1 ( P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) ). 1 x2 ? x1

53.直线的五种方程 (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). 1

(2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式

y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 )( P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). ? 1 y2 ? y1 x2 ? x1

(4)截距式

x y ? ? 1 ( a、b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) a b

(5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0). 54.两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . (2)若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零, ① l1 || l2 ?

A1 B1 C1 ; ? ? A2 B2 C2

② l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 ; 55.四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程:经过定点 P ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (除直线 x ? x0 ),其 0 中 k 是待定的系数; 经过定点 P ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 ,其中 A, B 是 0 待定的系数. (2)共点直线系方程: 经过两直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方 程为 ( A1 x ? B1 y ? C1 ) ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (除 l 2 ),其中λ 是待定的系数. (3)平行直线系方程:直线 y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线系方程.与直线

Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程是 Ax ? By ? ? ? 0 ( ? ? 0 ),λ 是参变量.
(4)垂直直线系方程: 与直线 Ax ? By ? C ? 0 (A≠0, B≠0)垂直的直线系方程是 Bx ? Ay ? ? ? 0 , λ 是参变量. 56.点到直线的距离

d?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ).

57. Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: 若 B ? 0 ,当 B 与 Ax ? By ? C 同号时,表示直线 l 的上方的区域;当 B 与 Ax ? By ? C 异号时, 表示直线 l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若 B ? 0 ,当 A 与 Ax ? By ? C 同号时,表示直线 l 的右方的区域;当 A 与 Ax ? By ? C 异号时, 表示直线 l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 58. ( A1 x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设曲线 C : ( A1 x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 ( A1 A2 B1 B2 ? 0 ) ,则

( A1 x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: ( A1 x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分; ( A1 x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分.
59. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r .
2 2 2

2 2 (2)圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4F >0).
2 2

60.点与圆的位置关系 点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种
2 2 2

若d ?

(a ? x0 ) 2 ? (b ? y0 ) 2 ,则

d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内.
61.直线与圆的位置关系 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种:
2 2 2

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ;

d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .
其中 d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

.

62.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线 ;
d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线 ;
r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线 ; d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线 ; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线 .
63.椭圆的标准方程及简单的几何性质 64.椭圆的的内外部 (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? 0 ? 0 ? 1 . a2 b a 2 b2

2 2 x0 y0 x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? 2 ? 2 ? 1 . a b a b

65.双曲线的内外部 (1)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的内部 ? 0 ? 0 ? 1 . a2 b a 2 b2 x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 ? 0 ? 0 ? 1 . a2 b a 2 b2

(2)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线

66.双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2 y2 x2 y 2 b (1)若双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 ? 0 ? y ? ? x . a b a b a
(2)若渐近线方程为 y ? ?

x y x y b x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a b a

2

2

(3)若双曲线与

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, a2 b a b

? ? 0 ,焦点在 y 轴上).
67. 抛物线 y ? 2 px 的焦半径公式
2

抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 焦半径 CF ? x0 ?
2

p . 2

过焦点弦长 CD ? x1 ?
2

p p ? x2 ? ? x1 ? x2 ? p . 2 2
2

y 2 2 68.抛物线 y ? 2 px 上的动点可设为 P ( ? , y ? ) 或 P(2 pt ,2 pt)或 P ( x? , y? ) ,其中 y? ? 2 px? . 2p
69.抛物线的内外部 (1)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的内部 ? y ? 2 px( p ? 0) .
2 2

点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的外部 ? y ? 2 px( p ? 0) .
2 2

(2)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? ?2 px( p ? 0) 的内部 ? y ? ?2 px( p ? 0) .
2 2

点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? ?2 px( p ? 0) 的外部 ? y ? ?2 px( p ? 0) .
2 2

(3)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的内部 ? x ? 2 py( p ? 0) .
2 2

点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的外部 ? x ? 2 py( p ? 0) .
2 2

(4) 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的内部 ? x ? 2 py( p ? 0) .
2 2

点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? ?2 py ( p ? 0) 的外部 ? x ? ?2 py ( p ? 0) .
2 2

70.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ? AB= 1 ? k x1 ? x 2 ? 1 ?
2

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 或

1 y1 ? y 2 k2
? y ? kx ? b 2 消去 y 得到 ax ? bx ? c ? 0 , ? ? 0 , ? 为 F( x , y) ? 0 ?

(弦端点 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,由方程 ?

直线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜率). 71.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行;

(3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 72.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 73.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 74.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 113.证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 75.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 76.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a+b=b+a. (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). (3)数乘分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 77.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b ? 存在实数λ 使 a=λ b.

??? ??? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? P、A、B 三点共线 ? AP || AB ? AP ? t AB ? OP ? (1 ? t )OA ? tOB . ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? AB || CD ? AB 、 CD 共线且 AB、CD 不共线 ? AB ? tCD 且 AB、CD 不共线.
78.球的半径是 R,则 其体积 V ?

4 3 ?R , 3
2

其表面积 S ? 4? R . 79.柱体、锥体的体积

1 V柱体 ? Sh ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高). 3 1 V锥体 ? Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高). 3
80.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B). 81. n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An). 82.独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). 83.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An). 84.回归直线方程
n ? ? ? xi ? x ?? yi ? y ? ? i ?1 ? n ? ? a ? bx ,其中 ?b ? 2 y ? ? ? xi ? x ? ? i ?1 ? ?a ? y ? bx

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

?x
i ?1

2

i

? nx 2

.

85.相关系数 r |r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小. 86. 函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义 函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f (x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) , 相应的切 线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) . 87.几种常见函数的导数 (1) C? ? 0 (C 为常数). (2) ( xn ) ? nx
' n ?1

( n ? Q) .

(3) (sin x)? ? cos x . (4) (cos x)? ? ? sin x . (5) (ln x)? ?
x x

1 1 e x ; (log a )? ? log a . x x
x x

(6) (e )? ? e ; (a )? ? a ln a . 88.导数的运算法则

(1) (u ? v) ? u ? v .
' ' '

(2) (uv) ? u v ? uv .
' ' '

u ' u 'v ? uv ' (3) ( ) ? (v ? 0) . v v2
89.判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法 当函数 f (x) 在点 x0 处连续时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值. 90.复数的相等

a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R )
91.复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值)

| z | = | a ? bi | = a 2 ? b 2 .
92.复数的四则运算法则 (1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (3) (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ; (4) (a ? bi) ? (c ? di) ?

ac ? bd bc ? ad ? i(c ? di ? 0) . c2 ? d 2 c2 ? d 2


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