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【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)压轴大题突破练函数与导数(一)


压轴大题突破练——函数与导数(一) 1.已知 f(x)=x3+ax2-a2x+2. (1)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若 a≠0,求函数 f(x)的单调区间; (3)若不等式 2xln x≤f′(x)+a2+1 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解 (1)∵a=1,∴f(x)=x3+x2-x+2, ∴f′(x)=3x2+2x-1,∴k

=f′(1)=4,又 f(1)=3, ∴切点坐标为(1,3), ∴所求切线方程为 y-3=4(x-1),即 4x-y-1=0. (2)f′(x)=3x2+2ax-a2=(x+a)(3x-a), a 由 f′(x)=0 得 x=-a 或 x= . 3 a ①当 a>0 时,由 f′(x)<0,得-a<x< . 3 a 由 f′(x)>0,得 x<-a 或 x> , 3 a a 此时 f(x)的单调递减区间为(-a, ),单调递增区间为(-∞,-a)和( ,+∞). 3 3 a ②当 a<0 时,由 f′(x)<0,得 <x<-a. 3 a 由 f′(x)>0,得 x< 或 x>-a, 3 a 此时 f(x)的单调递减区间为( ,-a), 3 a 单调递增区间为(-∞, )和(-a,+∞). 3 a 综上:当 a>0 时,f(x)的单调递减区间为(-a, ), 3 a 单调递增区间为(-∞,-a)和( ,+∞). 3 a 当 a<0 时,f(x)的单调递减区间为( ,-a), 3 a 单调递增区间为(-∞, )和(-a,+∞). 3 (3)依题意 x∈(0,+∞),不等式 2xln x≤f′(x)+a2+1 恒成立,等价于 2xln x≤3x2+2ax+1 在(0,+∞)上恒成立, 3 1 可得 a≥ln x- x- 在(0,+∞)上恒成立, 2 2x 3x 1 1 3 1 设 h(x)=ln x- - ,则 h′(x)= - + 2 2 2x x 2 2x ?x-1??3x+1? =- . 2x2 1 令 h′(x)=0,得 x=1,x=- (舍), 3 当 0<x<1 时,h′(x)>0;当 x>1 时,h′(x)<0. 当 x 变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表: x h′(x) h(x) (0,1) + 单调递增 1 0 -2 (1,+∞) - 单调递减 ∴当 x=1 时,h(x)取得最大值,h(x)max=-2, ∴a≥-2,∴a 的取值范围是[-2,+∞). x3 - 2.已知函数 f(x)=(1+x)e 2x,g(x)=ax+ +1+2xcos x.当 x∈[0,1]时, 2 1 (1)求证:1-x≤f(x)≤ ; 1+x (2)若 f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围. (1)证明 要证 x∈[0,1]时,(1+x)e 只需证明(1+x)e x≥(1-x)ex. - -2x ≥1-x, 记 h(x)=(1+x)e x-(1-x)ex, - 则 h′(x)=x(ex-e x). - 当 x∈(0,1)时,h′(x)>0, 因此 h(x)在[0,1]上是增函数, 故 h(x)≥h(0)=0,所以 f(x)≥1-x,x∈[0,1]. 1 - 要证 x∈[0,1]时,(1+x)e 2x≤ , 1+x 只需证明 ex≥x+1. 记 K(x)=ex-x-1,则 K′(x)=ex-1, 当 x∈(0,1)时,K′(x)>0, 因此 K(x)在[0,1]上是增函数, 故 K(x)≥K(0)=0. 1 所以 f(x)≤ ,x∈[0,1]. 1

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