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河北省唐山市2016-2017高三摸底考试数学(文)试卷(附标准答案)


2016-2017 唐山市高三摸底考试数学试卷(文)
一、选择题:本大题共 12 小题,没小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中有且只有一项符合题 目要求。 1.已知向量 a =(1,t), b =(-2,1),若 a // b ,则 t= A.-2 B.-

?

?

? ?

/>1 2

C.2

D.

1 2

2.已知集合{1,2}?A?{1,2,3,4,5},则满足条件的集合 A 的个数是 A.3 B.4 C.7 D.8

3.在等比数列 ?an ? 中, a1 + a2 + a 3 =21, a2 + a4 + a 6 =42,则 S 9 = A.255 B.256 C.511 D.512

4.设函数 y ? f ( x) ( x ? R ),“ y ? f ( x) 是偶函数”是“ y ? f ( x) 的图像关于原点对称”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.要得到函数 f ?x ? ? sin 2 x , x ? R 的图像,只需将函数 g ?x ? ? cos2 x , x ? R 的图像

? 个单位 4 ? C.向左平移 个单位 4
A.向右平移

? 个单位 2 ? D.向左平移 个单位 2
B.向右平移

?x ? y ? 3 ? 0 ? 6.若 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为 ?x ? y ?1 ? 0 ?
A.3 B.0 C.-3 D.-5

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,P 在双曲线上,且满足∠F1PF2=90° 7.已知 F1,F2 是双曲线 ,则△ F1PF2 的面 4
积为 A.1 B.

5 2

C.2

D. 5

8.执行如图所示的程序框图,若输入 a ? 1 , b ? 2 ,则输出的 x = A.1.25 B.1.375 C.1.4375 D.1.40625

?1? 9.设 x0 是方程 ? ? ? x 的解,则 x0 所在的范围是 ? 3?
A. ? 0, ?

x

? 1? ? 3?

B. ? ,1?

?2 ? ?3 ?

C. ?

?1 2? , ? ?2 3?

D. ? , ?

?1 1? ?3 2?

10.某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为 A.3 B.

8 3

C. 6 ? 2 2 ? 6

D. 6 ? 2 2

11.在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA⊥底面 ABCD,PA=AB=4,E,F,H 分别是棱 PB, BC,PD 的中点,过 E,F,H 的平面分别交直线 PA,CD 于 M,N 两点,则 PM+CN= A.6 B.4 C.3 D.2

12.设函数 f ?x ? ? x3 ? 3x 2 ? ax ? 5 ? a ,若存在唯一的正整数 x0 ,使得 f ?x0 ? ? 0 ,则 a 的取值范围是 A. ? 0, ?

? 1? ? 3?

B. ? , ? 3 4

? 1 5? ? ?

C. ? , ? 3 2

? 1 3? ? ?

D. ?

? 5 3? , ? 4 2? ?

二、填空题:本大题共 4 小题,没小题 5 分,共 20 分。 13.已知复数 z 满足 ?1 ? i ?z ? 4i ,则|z|= 14.若 tan ? ?

1 ,则 cos 2? ? 2
2 2

15.已知抛物线 x 2 ? 4 y 与圆 C: ?x ?1? ? ? y ? 2? ? r 2 ( r ? 0 )有公共点 P,若抛物线在 P 点处的切线 与圆 C 也相切,则 r= 16.如图,在平面四边形 ABCD 中,AB=8,AD=5,CD= 3 3 ,∠A=60° ,∠D=150° ,则 BC=

三、解答题: 17.(本小题满分 12 分)设 S n 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S 10 =110, S15 =240. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ?

an ?1 an ? ? 2 ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn . an an ?1

18.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,BC⊥PB,PC 与平面 ABCD 所 成角的正切值为 (Ⅰ)求 AB; (Ⅱ)求点 E 到平面 PBD 的距离.

2 ,△ BCD 为等边三角形,PA= 2 2 ,AB=AD,E 为 PC 的中点. 2

19.(本小题满分 12 分)某班一次数学考试成绩分布直方图如图所示,数据分组依次为[70,90),[90, 110),[110,130),[130,150],已知成绩大于等于 90 分的人数为 36 人,采用分层抽样的方式抽取一

个容量为 10 的样本. (Ⅰ)求每个分组所抽取的学生人数; (Ⅱ)从数学成绩在[110,150)的样本中任取 2 人,求恰有 1 人成绩在[110,130)的概率.

20.(本小题满分 12 分) 如图,过椭圆 E:

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足为左焦点 F,A,B 分别为 E 的右 a 2 b2

顶点,上顶点,且 AB//OP,|AF|= 2 ? 1 . (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)C,D 为 E 上的两点,若四边形 ACBD(A,C,B,D 逆时针排列)的对角线 CD 所在直线的斜率为 1,求四边形 ACBD 面积 S 的最大值.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ln x ? (Ⅰ)求 f ?x ? 的最小值;

1 . x

(Ⅱ)若方程 f ?x ? ? a 有两个根 x1 , x2 ( x1 < x2 ),证明: x1 + x2 >2.

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, △ ABC 与△ ABD 都是以 AB 为斜边的直角三角形, O 为线段 AB 上一点, BD 平分∠ABC, 且 OD//BC. (Ⅰ)证明:A,B,C,D 四点共圆,且 O 为圆心;

(Ⅱ)AC 与 BD 相交于点 F,若 BC=2CF=6,AF=5,求 C,D 之间的距离.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程式 ? ? 2 ,矩形 ABCD 内 接于曲线 C1,A,B 两点的极坐标分别为(2, 坐标缩短为原来的一半,得到曲线 C2. (Ⅰ)写出 C,D 的直角坐标及曲线 C2 的参数方程; (Ⅱ)设 M 为 C2 上任意一点,求 MA ? MB ? MC ? MD 的取值范围.
2 2 2 2

? 5? )和(2, ).将曲线 C 上所有点的横坐标不变,纵 6 6

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ?x? ? x ? 1 ? mx?1 . (Ⅰ)若 m=1,求 f ?x ? 的最小值,并指出此时 x 的取值范围; (Ⅱ)若 f ?x ? ? 2 x ,求 m 的取值范围.

唐山市 2016—2017 学年度高三年级摸底考试

文科数学参考答案
一、选择题: A 卷: BDCBA B 卷: BACBD 二、填空题: (13)2 2 CACDB CADDA 3 (14) 5 CB CB (15) 2 (16)7

三、解答题: (17)解: (Ⅰ)设公差为 d,依题意有

10?9 ? ?10a + 2 d=110, ? 15?14 15 a + d=240. ? ? 2
1 1

解得,a1=d=2. 所以,an=2n. 2n+2 n+1 2n n 1 1 (Ⅱ)bn= 2n + -2= n + -2= n - , 2n+2 n+1 n+1 1 1 1 1 1 1 1 n Tn=1- 2 + 2 - 3 + 3 - 4 +…+ n - = . n+1 n+1 (18)解: (Ⅰ)连接 AC, ∵PA⊥底面 ABCD,∴∠PCA 即为直线 PC 与平面 ABCD 所成的角. PA 2 ∴tan∠PCA=AC= 2 ,PA=2 2,得 AC=4. ∵PA⊥底面 ABCD,BC?平面 ABCD,∴PA⊥BC, 又∵BC⊥PB,PB∩PA=P, ∴BC⊥平面 PAB,又 AB?平面 PAB, ∴BC⊥AB. ∵△BCD 为等边三角形,AB=AD, ∴∠ACB=30°,又 Rt△ACB 中,AC=4. ∴AB=ACsin 30°=2. …6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,PB=PD=BD=BC=CD=2 3, ∴S△PBD=S△BCD. 设点 E 到平面 PBD 的距离为 h, ∵E 为 PC 中点, ∴点 C 到平面 PBD 的距离为 2h. 1 1 由 VC-PBD=VP-BCD 得 3 S△PBD·2h= 3 S△BCD·PA,
E

…6 分

…12 分

P

B A C

D

解得 h= 2. …12 分 (19)解: (Ⅰ)由频率分布直方图可知,数学成绩在[70,90),[90,110),[110,130), [130,150]内的频率分别为 0.1,0.4,0.3,0.2. ∴成绩在[70,90),[90,110),[110,130),[130,150]内的人数之比为 1∶4∶3∶2, ∴采用分层抽样的方式抽取一个容量为 10 的样本,成绩在[70,90),[90,110),

[110,130),[130,150]内所抽取的人数分别为 1,4,3,2. …5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,从[110,130),[130,150]两组抽取人数分别为 3 人和 2 人, 记从[110,130)中抽取的 3 人分别为 A1,A2,A3,从[130,150]中抽取的 2 人分别为 B1,B2.从这 5 个人中任取 2 人,有 {A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2}, {A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共计 10 种等可能的结果, 其中恰有 1 人成绩在[110,130)包含{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2}, {A3,B1},{A3,B2},共计 6 种等可能的结果, 6 3 ∴抽取的 2 人中恰有 1 人成绩在[110,130)的概率 P=10= 5 . …12 分 (20)解: b2 b2 b (Ⅰ)由题意可得 P(-c, a ),所以 kOP=-ac,kAB=- a . b2 b 由 AB∥OP,所以-ac=- a ,解得 b=c,a= 2c, 由|AF|=a+c= 2+1 得 b=c=1,a= 2, x2 2 故椭圆 E 的方程为 2 +y =1.

…4 分

(Ⅱ)依题意可设直线 CD:y=x+m(- 2<m<1),C(x1,y1),D(x2,y2). 将直线 CD 的方程代入椭圆 E 得 3x2+4mx+2m2-2=0, 2m2-2 4m x1+x2=- 3 ,x1x2= 3 , 4 |CD|= 2|x1-x2|= 3 3-m2.
2 2

…7 分

A( 2,0)到直线 CD 的距离 d1= 2 | 2+m|=1+ 2 m; B(0,1)到直线 CD 的距离 d2= 2 |m-1|= 2 - 2 m. 1 2 2 所以四边形 ACBD 面积 S= 2 ·|CD|·(d1+d2)= 3 1+ 2 · 3-m2,
2 2 2

(

)

2 3+ 6 所以当 m=0 时,S 取得最大值 . 3 (21)解: 1 1 x-1 (Ⅰ)f ?(x)= x -x2= x2 ,(x>0) 所以 f (x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 故 f (x)的最小值为 f (1)=1. (Ⅱ)若方程 f (x)=a 有两个根 x1,x2(0<x1<x2), x2-x1 1 1 x2 则 ln x1+ x =ln x2+ x ,即 x x =ln x >0.
1 2 1 2 1

…12 分

…4 分

x2-x1 x2 要证 x1+x2>2,需证(x1+x2)· x x >2ln x , 1 2 1 x2 x1 x2 即证x -x >2ln x , 1 2 1 x2 x2 x1 x2 1 设x =t(t>1),则x -x >2ln x 等价于 t- t >2ln t. 1 1 2 1

1 1 2 12 令 g (t)=t- t -2ln t,则 g?(t)=1+t2 - t = 1- t >0,

(

)

所以 g (t)在(1,+∞)上单调递增,g (t)>g (1)=0, 1 即 t- t >2ln t,故 x1+x2>2. (22)解: (Ⅰ)因为△ABC 与△ABD 都是以 AB 为斜边的直角三角形, 所以 A,B,C,D 四点都在以 AB 为直径的圆上. 因为 BD 平分∠ABC,且 OD∥BC, 所以∠OBD=∠CBD=∠ODB,OB=OD. 又∠OAD+∠OBD=90°,∠ODA+∠ODB=90°, 所以∠OAD=∠ODA,OA=OD. 所以 OA=OB,O 是 AB 的中点,O 为圆心. (Ⅱ)由 BC=2CF=6,得 BF=3 5, AD BC 由 Rt△ADF∽Rt△BCF 得 DF = CF =2. 设 AD=2DF=2x,则 AF= 5x, BD BC 由 BD 平分∠ABC 得DA=CF =2, 3 5+x 所以 2x =2,解得 x= 5,即 AD=2 5. 连 CD,由(Ⅰ),CD=AD=2 5. …10 分 …12 分

…5 分

(23)解: (Ⅰ)由 A( 3,1)、B(- 3,1)得 C(- 3,-1)、D( 3,-1); ?x=2cos θ, 曲线 C2 的参数方程为? (θ 为参数). ?y=sin θ (Ⅱ)设 M(2cos θ, sin θ),则 |MA|2+|MB|2+|MC|2+|MD|2 =(2cos θ- 3)2+(sin θ-1)2+(2cos θ+ 3)2+(sin θ-1)2 +(2cos θ+ 3)2+(sin θ+1)2+(2cos θ- 3)2+(sin θ+1)2 =16cos2θ+4sin2θ+16=12cos2θ+20, 则所求的取值范围是[20,32]. (24)解: (Ⅰ)f (x)=|x+1|+|x-1|≥|(x+1)-(x-1)|=2, 当且仅当(x+1)(x-1)≤0 时取等号. 故 f (x)的最小值为 2,此时 x 的取值范围是[-1,1]. (Ⅱ)x≤0 时,f (x)≥2x 显然成立,所以此时 m∈R; x>0 时,由 f (x)=x+1+|mx-1|≥2x 得|mx-1|≥x-1. 1 由 y=|mx-1|及 y=x-1 的图象可得|m|≥1 且 m ≤1, 解得 m≥1,或 m≤-1. 综上所述,m 的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞). …10 分

…5 分

…10 分

…5 分


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