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专题21二次函数的图象和性质


专题 21:二次函数的图象和性质
一、选择题 1. (北京 4 分)抛物线 y = x ﹣6 x +5 的顶点坐标为 A、 (3,﹣4) 【答案】A。 【考点】二次函数的性质。 【分析】利用配方法把抛物线的一般式写成顶点式,求顶点坐标,或者用顶点坐标公式求解: ∵ y = x ﹣6 x +5= x ﹣6 x +9﹣9+5=( x ﹣3) ﹣4,∴抛物线 y = x +6

x +5 的顶点坐标是(3,﹣4) .故 选 A。 2. (上海 4 分)抛物线 y =-( x +2) -3 的顶点坐标是 (A) (2,-3) ; 【答案】D。 【考点】二次函数的顶点坐标。 【分析】由二次函数的顶点式表达式 y =-( x +2) -3 直接得到其顶点坐标是(-2,-3) 。故选D。 3. (重庆4分) 已知抛物线 y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? 在平面直角坐标系中的位置 如图所示,则下列结论中,正确的是 A、 a >0 【答案】D。 【考点】二次函数图象与系数的关系。 【分析】A、∵抛物线的开口向下,∴ a <0,选项错误;B、∵抛物线的对称轴在 y 轴的右侧,∴ a , b 异号,由 A、知 a <0,∴ b >0,选项错误;C、∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,∴ c >0,选项错 误;D、 x =1,对应的函数值在 x 轴上方,即 x =1, y ? a ? b ? c > 0 ,选项正确。故选 D。 4.(浙江温州 4 分)已知二次函数的图象(0≤ x ≤3)如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内, 下列说法正确的是 B、 b <0 C、 c <0 D、 a + b + c >0
2 2 2 2 2 2 2

B、 (3,4)

C、 (﹣3,﹣4)

D、 (﹣3,4)

(B) (-2,3) ;

(C) (2,3) ;

(D) (-2,-3) .

A、有最小值 0,有最大值 3 C、有最小值﹣1,有最大值 3

B、有最小值﹣1,有最大值 0 D、有最小值﹣1,无最大值

1

【答案】C。 【考点】二次函数的最值。 【分析】由函数图象自变量取值范围得出对应 y 的值,即可求得函数的最值:根据图象可知此函数有最 小值﹣1,有最大值 3。故选 C。 5.(黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西 3 分)已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? )的 图象如图所示,现有下列结论: ① b -4 a c >0 ② a >0 ③ b >0 ④ c >0 ⑤9 a +3 b + c <0,则其中结论正确的个数是 A、2 个 【答案】B。 【考点】二次函数图象与系数的关系,二次函数的性质。 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系,然后根据抛物线与 x 轴交点及 x =1 时二次函数的值的情况进行推理,从而对所得结论进行判 断: ① 根据图示知,二次函数与 x 轴有两个交点,所以△= b -4 a c >0,故本选项正确; ② 根据图示知,该函数图象的开口向上,∴ a >0,故本选项正确; ③ 根据图示知,该函数图象的对称轴 x =-
2 2

B、3 个

C、4 个

D、5 个

b b =1,∴ <0,∴ b <0,故本选项错误; 2a 2a

④ 该函数图象交与 y 轴的负半轴,∴ c <0,故本选项错误; ⑤ 根据抛物线的对称轴方程可知: (-1,0)关于对称轴的对称点是(3,0) ,当 x =-1 时, y <0, 所以当 x =3 时,也有 y <0,即 9 a +3 b + c <0;故本选项正确。所以①②⑤三项正确。故选 B。 6.(广西玉林、防城港 3 分)已知拋物线 y ? ? A、2 【答案】C。 【考点】二次函数的性质。 【分析】根据抛物线的解析式推断出函数的开口方向和对称轴,从而推知该函数的单调区间: B、

2 3

C、

5 3

1 2 x ? 2 ,当 1 ? x ? 5 时,y 的最大值是 3 7 D、 3

1 2 1 x ? 2 的二次项系数 a =- <0,∴该抛物线图象的开口向下。 3 3 1 2 又∵对称轴是 y 轴,∴当 x ? 0 时,拋物线 y ? ? x ? 2 是减函数。 3
∵拋物线 y ? ?
2

∴当 1 ? x ? 5 时, y 最大值=- +2=

1 3

5 。故选 C。 3

7. (湖南长沙 3 分)如图,关于抛物线 y ? ( x ? 1)2 ? 2 ,下列说法错误的是 A.顶点坐标为(1, ?2 ) C.开口方向向上 【答案】 D。 【考点】二次函数的性质。 【分析】根据抛物线的顶点式得,A、因为顶点坐标是(1,-2) ,故本选项 错误;B、因为对称轴是直线 x =1,故本选项错误;C、因为 a =1>0,开口向上,故本选项错误;D、当 B.对称轴是直线 x =l D.当 x >1 时, y 随 x 的增大而减小

x >1 时, y 随 x 的增大而增大,故本选项正确。故选 D。
8.(湖南永州 3 分)由二次函数 y ? 2( x ? 3) 2 ? 1 ,可知 A.其图象的开口向下 C.其最小值为 1 【答案】C。 【考点】二次函数的性质。 【分析】根据二次函数的性质,直接根据 a 的值得出开口方向,再利用顶点坐标的对称轴和增减性,分 别分析即可: 由二次函数 y ? 2 ? x ? 3? ? 1 , : 可知: A.∵ a >0, 其图象的开口向上, 故此选项错误; ∵ B.
2

B.其图象的对称轴为直线 x ? ?3 D.当 x ? 3 时,y 随 x 的增大而增大

其图象的对称轴为直线 x =3,故此选项错误;C.其最小值为 1,故此选项正确;D.当 x <3 时, y 随 x 的增大而减小,故此选项错误。故选 C。 9.(江苏无锡 3 分) 下列二次函数中,图象以直线 x ? 2 为对称轴、且经过点(0,1)的是 A. y ? ? x ? 2? ? 1
2

B. y ? ? x ? 2? ? 1
2

C. y ? ? x ? 2? ? 3
2

D. y ? ? x ? 2? ? 3
2

【答案】C. 【考点】二次函数图象的性质,点的坐标与方程的关系。 【分析】根据二次函数对称轴的概念知二次函数为 A、C 之一;又根据点在曲线上,点的坐标满足方程 的关系,将点(0,1) 的坐标分别代入 A、C,使等式成立的即为所求。故选 C. 10.(江苏常州、镇江 2 分)已知二次函数 y ?? 2 ?x? ,当自变量 x m 取 时对应的值大于 0,当自 x 变量 x 分别取 m?1、 m?1时对应的函数值为 y 1 、 y 2 ,则 y 1 、 y 2 必须满足
3

1 5

A. y 1 >0、 y 2 >0 【答案】B。

B. y 1 <0、 y 2 <0

C. y 1 <0、 y 2 >0

D. y 1 >0、 y 2 <0

【考点】二次函数的性质,不等式的性质。 【 分 析 】 令 ? x2 ? x ?

5? 5 1 , ∵ 当 自 变 量 x取 m 对 应 的 值 大 于 0 , 即 时 ?0 ,解得 x ? 10 5 5? 5 5 ? 5 5? 5 5? 5 <m< 时,二次函数的值大于 0。而 m-1< ,m+1> ,∴ y 1 <0、 y 2 < 10 10 10 10

0。故选 B。 11.(江苏宿迁 3 分)已知二次函数 y=ax2 ? bx ? c ? a ? 0? 的图象如图,则下列结 论中正确的是 A. a >0 C. c <0 【答案】D。 【考点】二次函数的性质。 【分析】从二次函数的图象可知,图象开口向下, a <0;当 x >1 时, y 随 x 的增大大而减小; x =0 时,y=c>0;函数的对称轴为 x =1,函数与 x 轴的一个交点的横坐标为-1, 则根据对称性, 函数与 x 轴的另一个交点的横坐标为 3。故选 D。 12.(山东烟台 4 分)如图,平面直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称 轴,则下列关系正确的是 A.m=n,k>h C.m>n,k=h 【答案】A。 【考点】二次函数的图象和性质。 【分析】由两抛物线的解析式可判断其顶点坐标分别为(m,k)(n,h) , ;根据坐标意义有 m=n,k>h。 故选 A。 13. 山东菏泽 3 分) ( 如图为抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的图象, B、 为抛物线与坐标轴的交点, OA=OC=1, A、 C 且 则下列关系中正确的是 A、 a ? b ? ?1 B、 a ? b ? ?1 C、 b < a D、 ac < 0 B.m=n ,k<h D.m<n,k=h B.当 y 随 x 的增大 x >1 时, y 随 x 的增大而增大 D.3 是方程 ax 2 ? bx ? c=0 的一个根

4

【答案】B。 【考点】抛物线与 x 轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征。 【分析】根据 OA=OC=1 和图象得到 C(0,1) ,A(﹣1,0) ,把 C(0,1)代入 y ? ax2 ? bx ? c 求出 c=1, 把 A(﹣1,0)代入 y ? ax 2 ? bx ? 1 即可得 a ? b ? ?1 。故选 B。 14.(山东潍坊 3 分)已知一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的两个实数根 x1 、 x2 满足 x 1+ x 2=4 和 x 1? x 2 =3,那么二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ? a > 0? 的图象可能是.

A. 【答案】C。

B.

C.

D

【考点】二次函数的图象,一元二次方程根与系数的关系,解一元二次方程,二次函数与对应的一元二 次方程的关系。 【分析】根据二次函数二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ? a > 0? )的图象与 x 轴的交点横坐标就是一元二次方程

ax 2 ? bx ? c ? 0 的两个实数根,利用两个实数根 x 1, x 2 满足 x 1+ x 2=4 和 x 1? x 2=3,求得两个实数
根,作出判断即可:∵一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的两个实数根 x 1, x 2 满足 x 1+ x 2=4 和 x 1? x 2 = 3 , ∴ x 1 , x 2 是 一 元 二 次 方 程 x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 的 两 个 根 , 解 得 。 x 1 = 1 , x 2 = 3∴ 二 次 函 数 。故选 C。 y ? ax2 ? bx ? c ? a > 0? 与 x 轴的交点坐标为(1,0)和(3,0) 15. (山东济宁 3 分)已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 中,其函数 y 与自变量 x 之间的部分对应值如下表 所示:

x
y

? ?

0 4

1 1

2 0

3 1

4 4

? ?

点 A( x 1, y 1)、B( x 2, y 2)在函数的图象上,则当 1< x 1<2,3< x 2<4 时, y 1 与 y 2 的大小关系正确的 是

5

A.

y1 > y2

B. y 1

< y2

C. y 1

≥ y2

D. y 1 ≤ y 2

【答案】B。 【考点】二次函数的图象和性质。 【分析】∵当 1< x 1<2,3< x 2<4 时,0< y 1 <1,1< y 2<4,∴ y 1 < y 2。故选 B。

16.(山东泰安 3 分)若二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的 x 与 y 的部分对应值如下表:

x
y 则当 x =1 时, y 的值为 A、5 【答案】D。 B、﹣3

-7 -27

-6 -13

-5 ﹣3

-4 3

-3 5

-2 3

C、-13

D、-27

【考点】待定系数法求二次函数解析式。 【分析】由表可知,抛物线的对称轴为 x =-3,顶点为(﹣3,5) ,再用待定系数法求得二次函数的解 析式,再把 x =1 代入即可求得 y 的值:设二次函数的解析式为 y = a ( x +3) +5,把(﹣2,3)代 入得, a =-2。∴二次函数的解析式为 y =-2( x +3) +5。当 x =1 时, y =-27。故选 D。 17.(山东威海 3 分)二次函数 y = x -2 x -3 的图象如图所示。当 y <0 时, 自变量 x 的取值范围是 A.-1< x <3 【答案】A。 【考点】二次函数的图象。 【分析】当 y <0 时,二次函数的图象在 x 轴下方,此时-1< x <3。故选 A。 18.(广东深圳 3 分)对抛物线 y =- x +2 x -3 而言,下列结论正确的是 A.与 x 轴有两个交点 【答案】D。 【考点】二次函数的性质。 【分析】把 y =- x +2 x -3 变形为 y =-( x -1) -2,根据二次函数的性质,该抛物线 a < 0 ,开 口向上;顶点坐标是(1,-2);- x +2 x -3=0 无实数根,故抛物线与 x 轴无交点;当 x =0 时 y=-3, 故抛物线与 y 轴交点坐标是(0,-3) 。故选 D。 19.(广东台山 3 分)抛物线 y ? ?(a ? 8) ? 2 的顶点坐标是
2
2 2 2 2 2 2 2

B. x <-1

C. x >3

D. x <-3 或 x >3

B.开口向上 C.与 y 轴交点坐标是(0,3)

D.顶点坐标是(1,-2)

6

A、 (2,8) 【答案】B。

B、 (8,2)

C、 (—8,2)

D、 (—8,—2)

【考点】二次函数顶点坐标。 【分析】根据二次函数顶点坐标的求法,直接得出结果。故选 B。 20.(广东肇庆 3 分)二次函教 y ? x2 ? 2x ? 5 有 A.最大值 ?5 【答案】D。 【考点】二次函教的最大(小)值。
2 【分析】? y ? x ? 2 x ? 5= ? x ? 1? ? 6,a > 0 ,∴根据二次函教的最大(小)值原理,二次函教有最 2

B.最小值 ?5

C.最大值 ?6

D.最小值 ?6

小值—6。故选 D。 21. (江西省 B 卷 3 分)已知二次函数 y=x +bx-2 的图象与 x 轴的一个交点为(1,0) ,则它与 x 轴的 另一个交点坐标是 A .(1,0) 【答案】C。 【考点】抛物线与 x 轴的交点。 【分析】把交点坐标(1,0) ,代入二次函数 y=x +bx﹣2 求出 b=1,从而解 x +x-2=0,得 x1=1, x2=﹣2,即可求出它与 x 轴的另一个交点坐标是(﹣2,0) 。故选 C。 22.(湖北襄阳 3 分)已知函数 y ? (k ? 3) x 2 ? 2 x ? 1 的图象与 x 轴有交点,则 k 的取值范围是 A、 k <4 【答案】 【考点】抛物线与 x 轴的交点,一元二次方程根的判别式,二次函数的性质。 【分析】分为两种情况:①当 k ? 3 ? 0 时,得到一次函数 y ? 2 x ? 1 ,与 x 轴有交点,此时 k ? 3 ;②当
k ? 3 ? 0 时,求出△= 22 ? 4 ? (k ? 3) ?1 ? ?4k ? 16 ? 0 的解集即可,即 k ? 4 。因为 k ? 4 包含 k ? 3 ,因此
2 2 2

B.(2,0)

C.(-2,0)

D.(-1,0)

B、 k ≤4

C、 k <4 且 k ≠3

D、 k ≤4 且 k ≠3

k 的取值范围是 k ? 4 。故选 B。

?? x ? 1?2 ? 1 ? x ? 3? ? 23.(湖北黄冈、 鄂州 3 分)已知函数 y ? ? ,若使 y ? k 成立的 x 值恰好有三个,则 k 的 2 ?? x ? 5? ? 1 ? x > 3? ?
值为
7

A、0 【答案】D。

B、1

C、2

D、3

【考点】二次函数的图象。

?? x ? 1?2 ? 1 ? x ? 3? ? 【分析】在坐标系中画出已知函数 y ? ? 的图象如图, 2 ?? x ? 5? ? 1 ? x > 3? ? 根据图象知道,在分段函数的分界点,即当 y =3 时,对应成立的 x 值恰好有三个,∴ k =3。故选 D。
24.(湖北孝感 3 分)如图,二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图像与 y 轴正半轴
y 1

1 相 交 , 其 顶 点 坐 标 为 ( ,1 ) 下 列 结 论 : ① ac<0 ; ② a ? b ? 0 ; , 2
③ 4ac ? b 2 ? 4a ;④ a ? b ? c<0 .其中正确结论的个数是 A. 1 【答案】C。 【考点】二次函数图象与系数的关系。 【分析】根据二次函数图象反应出的数量关系,逐一判断正确性:根据图象可知: ① a <0, c >0,∴ a c <0,正确;②∵顶点坐标横坐标等于 ③∵顶点坐标纵坐标为 1,∴ B. 2 C. 3 D. 4
O
1 2

x

b 1 1 ,∴ ? ? ,∴ a ? b ? 0 ,正确; 2 2a 2

4ac ? b 2 ? 1 ,∴ 4ac ? b 2 ? 4a ,正确;④当 x =1 时, y ? a ? b ? c > 0 , 4a

错误。正确的有 3 个。故选 C。 25.(山西省 2 分)已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象如图所示,对称轴为直 线 x =1,则下列结论正确的是 A, ac ? 0 C. 2a ? b ? 0 【答案】B。 【考点】二次函数图象与系数的关系,抛物线与 x 轴的交点。 【分析】根据抛物线的开口方向,对称轴,与 x 轴、 y 轴的交点,逐一判断: A、∵抛物线开口向下,与 y 轴交于正半轴,∴ a <0, c >0, ac <0,故本选项错误; B、∵抛物线对称轴是 x =1,与 x 轴交于(3,0) ,∴抛物线与 x 轴另一交点为(-1,0) , 即方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根是 x1 ? ?1 x2 ? 3 ,故本选项正确; ,
2

B.方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根是 x1 ? ?1 x2 ? 3 ,
2

D.当 y >0 时, y 随 x 的增大而减小.

8

C、∵抛物线对称轴为 x ? ?

b ? 1 ,∴ 2a ? b ? 0 ,故本选项错误; 2a D、∵抛物线对称轴为 x =1,开口向下,∴当 x >1 时, y 随 x 的增大而减小,故本选项

错误。 故选 B。 26.(内蒙古包头 3 分)已知二次函数 y=ax +bx+c 同时满足下列条件:①对称轴是 x=1;②最值是 15; ③二次函数的图象与 x 轴有两个交点,其横坐标的平方和为 15﹣a,则 b 的值是 A、4 或﹣30 【答案】C。 【考点】抛物线与 x 轴的交点,二次函数的性质,二次函数的最值,一元二次方程根与系数的关系。 【分析】由已知,二次函数图象的顶点为(1,15) ,可设解析式为:y=a(x-1) +15, 即 y=ax -2x+15+a。 ∵二次函数的图象与 x 轴有两个交点,设为 x1,x2,它们是 ax -2x+15+a=0 的两个根。 ∴根据一元二次方程根与系数的关系,得 x1+x2=2, x1 ? x 2 ? ∴ x12 ? x 22 ? ? x1 ? x 2 ? ? 2x1 ? x 2 ? 22 ? 2 ?
2
2 2 2 2

B、﹣30

C、4

D、6 或﹣20

15 ? a 。 a

15 ? a 2a ? 30 。 ? a a

∵由已知, x12 ? x 2 2 ? 15 ? a ,∴ 解得 a=-2 或 15。

2a ? 30 ? 15 ? a ,即 a 2 ? 13a ? 30 ? 0 。 a

当 a=-2 时,y=-2x +4x+13,b=4; 当 a=15 时,y=15x -30x+30,此时,图象开口向上,顶点为(1,15) ,与 x 轴没有交点,与 已知不符。 ∴b=4。故选 C。 27.(内蒙古呼和浩特 3 分)已知一元二次方程 x 2 ? bx ? 3 ? 0 的一根为?3 ,在二次函数 y ? x 2 ?bx ? 3 的图象上有 三点? ? 4 , y1 ? 、? ? 5 , y2 ? 、? 1 , y3 ? , y1 、 y2 、 y3 的大小关系是 ? ? ? ? ? ? 5 4 6
? ? ? ? ? ?
2

2

A. y1 ? y2 ? y3 【答案】A。

B. y2 ? y1 ? y3

C. y3 ? y1 ? y2

D.

y1 ? y3 ? y2

【考点】二次函数图象上点的坐标特征,一元二次方程的解。 【分析】把 x =﹣3 代入 x 2 ? bx ? 3 ? 0 中,得 9﹣3 b ﹣3=0,解得 b =2。 ∴二次函数解析式为 y ? x2 ? 2x ? 3 ? ? x ? 1?2 ? 4 。
9

∴抛物线开口向上,对称轴为 x ? ?1 。 ∵ ? <﹣1< ? <

5 4

4 5

1 5 1 4 1 1 1 ,且﹣1﹣( ? )= , ? ﹣(﹣1)= ,而 > , 6 4 4 5 5 4 5

∴ y1 ? y2 ? y3 。故选 A。 28.(内蒙古呼伦贝尔 3 分) 抛物线 y ? 3( x ? 1) 2 ? 1 的顶点坐标 A.( 1, 1 ) 【答案】A。 【考点】抛物线的性质。 【分析】由顶点式直接得出抛物线的顶点坐标为( 1, 1 )。故选 A。 29.(四川雅安 3 分)已知二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图,其对称轴 x=﹣1,给 出下列结果①b >4ac;②abc>0;③2a +b=0;④a+b+c>0;⑤a﹣b+c<0,则正确 的结论是 A、①②③④ 【答案】D。 【考点】二次函数图象与系数的关系。 【分析】根据抛物线与 x 轴的交点情况,抛物线的开口方向,对称轴及与 y 轴的交点,当 x=±1 时的函 数值,逐一判断: ∵抛物线与 x 轴有两个交点,∴△=b ﹣4ac>0,即 b >4ac,故①正确;
2 2 2 2

B. ? 1,1 C. ? 1,?1 D.( ,?1 ( )( ) 1 )

B、②④⑤

C、②③④

D、①④⑤

b < 0 ,与 y 轴交于负半 轴,∴ab>0,c<0,abc<0,故②错误; 2a b ∵抛物线对称轴为 x= ? ? ?1,∴2a﹣b=0,故③错误; 2a
∵抛物线对称轴为 x= ? ∵当 x=1 时,y>0,即 a+b+c>0,故④正确; ∵当 x=﹣1 时,y<0,即 a﹣b+c<0,故⑤正确。 正确的是①④⑤。故选 D。 30.(四川广安 3 分)若二次函数 y ? ( x ? m) ?1 ,当 x ? 1 时,y 随 x 的增大而减小,则 m 的取值范围
2

是 A、 m ? 1 【答案】C。
10

B、 m ? 1

C、 m ? 1

D、 m ? 1

【考点】二次函数的性质。 【分析】由次函数 y ? ( x ? m)2 ?1 知对称轴是 x ? m ,由二次函数的性质知,当 x <m 时,y 随 x 的增 大而减小,由已知当 x ? 1 时,y 随 x 的增大而减小,故当 m ? 1 时,y 随 x 的增大而减小。故选 C。 31.(四川泸州 2 分)已知二次函数 y=ax +bx+c(a,b,c 为常数,a≠0)的图象如图所示,有下列结 论:①abc>0,②b ﹣4ac<0,③a﹣b+c>0,④4a﹣2b+c<0,其中正确结论的个数是 A、1 【答案】A。 【考点】二次函数图象与系数的关系。 【分析】∵抛物线开口朝下,∴a<0, ∵抛物线对称轴在 y 右侧。∴ ? B、2 C、3 D、4
2 2

b > 0 ,∴b>0, 2a

∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的上方,∴c>0, ∴abc<0,故①错误; 根据图象知道抛物线与 x 轴有两个交点,∴b ﹣4ac>0,故②错误; 根据图象知道当 x=﹣1 时,y=a﹣b+c=0,故③错误; 根据图象知道当 x=﹣2 时,y=4a﹣2b+c<0,故④正确。故选 A。
2 32.(陕西省 3 分)若二次函数 y ? x ? 6x ? c 的图象经过 A(-1, y 1) 、B(2, y 2) 、C( 3 ? 2 , y 3)
2

三点,则关于 y 1、 y 2、 y 3 大小关系正确的是 A. y 1> y 2> y 3 【答案】B。 【考点】二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的增减性和对称性,实数的大小比较。 【 分 析 】 由 y ? x2 ? 6x ? c ? ? x ? 3? ? c ? 9 , a ? 1 > 0 , 根 据 二 次 函 数 的 增 减 性 知 , 当 x < 3 时 ,
2

B. y 1> y 3> y 2

C. y 2> y 1> y 3

D. y 3> y 1> y 2

y ? x2 ? 6x ? c 随 x 的增大而减小。又根据二次函数的对称性知,点( 3 ? 2 , y 3)关于 x ? 3 对称的
2 点( 3 ? 2 , y 3)也在 y ? x ? 6 x ? c 的图象上。

∵-1< 3 ? 2 <2,且三点都在 x ? 3 左侧, ∴ y 1> y 3> y 2。故选 B。 33.(甘肃天水 4 分)将二次函数 y=x -2x+3 化为 y=(x-h) +k 的形式,结果为 A、y=(x+1) +4
2 2 2

B、y=(x-1) +4

2

C、y=(x+1) +2

2

D、y=(x-1) +2

2

11

【答案】D。 【考点】二次函数的三种形式的变换。 【分析】将一般式化为顶点式,由于二次项系数是 1,只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平 方式即可:y=x -2x+3=x -2x+1-1+3═(x-1) +2.故选 D。 34.(甘肃兰州 4 分)抛物线 y=x ﹣2x+1 的顶点坐标是 A、 (1,0) 【答案】A。 【考点】二次函数的性质。 【分析】将抛物线方程 y=x ﹣2x+1 转化为顶点式方程,根据顶点式方程即可得到顶点坐标: ∵y=x ﹣2x+1=(x﹣1) ,∴该抛物线的顶点坐标是: (1,0) 。故选 A。 35.(甘肃兰州 4 分)如图所示的二次函数 y=ax +bx+c 的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息: (1)b ﹣4ac>0; (2)c>1; (3)2a﹣b<0; (4)a+b+c<0.你认为其中错误的有 A、2 个 【答案】D。 【考点】二次函数图象与系数的关系。 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 1 的关系,然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理,从而对所得结论进 行判断: (1)根据图示知,该函数图象与 x 轴有两个交点,∴△=b ﹣4ac>0,故本选项正确; (2)由图象知,该函数图象与 y 轴的交点 0<y<1,∴c<1,故本选项错误; (3)由图示,知对称轴 x= ? 2a﹣b<0,故本选项正确; (4)根据图示可知,当 x=1,即 y=a+b+c<0,∴a+b+c<0;故本选项正确。 综上所述,其中错误的是(2) ,共有 1 个。故选 D。 36. (云南昆明 3 分)抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)的图象如图所示,则下列说 法正确的是 A、b ﹣4ac<0 【答案】C。 【考点】二次函数图象与系数的关系
12
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

B、 (﹣1,0)

C、 (﹣2,1)

D、 (2,﹣1)

B、3 个 C、4 个

D、1 个

2b >﹣1,又∵函数图象的开口向下,∴ a<0,∴﹣b<﹣2a,即 a

B、abc<0

C、 ?

b ? ?1 2a

D、a﹣b+c<0

【分析】A、由图象与 x 轴有两个交点,因此 b -4ac>0,故本选项错误;B、由图象顶点在 y 轴左边,

2

b ? 0 ,即 ab > 0 ,由图象与 y 轴交于 x 轴上方,得 c>0,因此 abc>0,故本选项错误;C、由图 2a b 象对称轴在 x=-1 左边,得 ? ? ?1 ,故本选项正确;D、x=-1 时函数图象上的点在第二象限,所以 2a
得? a-b+c>0,故本选项错误。故选 C。 37.(云南玉溪 3 分)如图,函数 y ? ? x2 ? bx ? c 的部分图象与 x 轴、 y 轴的 交 点分别为 A(1,0),B(0,3),对称轴是 x =-1.在下列结论中,错误的是 A.顶点坐标为(-1,4) B.函数的解析式为 y ? ? x2 ? 2 x ? 3 C.当 x ? 0 时, y 随 x 的增大而增大 D.抛物线与 x 轴的另一个交点是(-3,0) 【答案】C。 【考点】二次函数的图象和性质。 【分析】把 A(1,0),B(0,3)代入 y ? ? x2 ? bx ? c 即可求出函数的解析式为 y ? ? x2 ? 2 x ? 3 。化为顶点式 为 y ? ? ? x ? 1? ? 4 。因此顶点坐标为(-1,4),且当 x ? ?1 时, y 随 x 的增大而增大,当 x > ?1 时, y 随
2

y B(0,3) A(1,0)

o
x=-1

x

x 的增大而减小。根据抛物线的对称性,抛物线关于 x =-1 对称,由 A(1,0)得抛物线 y ? ? x2 ? 2 x ? 3
与 x 轴的另一个交点是(-3,0)。因此 C.当 x ? 0 时, y 随 x 的增大而增大,错误。故选 C。 38.(贵州黔东南 4 分)如图,一次函数 y1 ? kx ? n(k ? 0) 与二次函数

y2 ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象相交于 A( ? 1 ,5)、B(9,2)两点,则关
于 x 的不等式 kx ? n ? ax ? bx ? c 的解集为
2

A、 ? 1 ? x ? 9 【答案】A。

B、 ? 1 ? x ? 9

C、 ? 1 ? x ? 9

D、 x ? ?1 或 x ? 9

【考点】一次函数、二次函数的图象与不等式的关系。 【分析】关于 x 的不等式 kx ? n ? ax ? bx ? c 的解集,在图象上就是 y1 ? kx ? n(k ? 0) 的图象在
2

13

y2 ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象上方时 x 的范围,即 ? 1 ? x ? 9 。故选 A。
39.(广西崇左 3 分)已知:二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? 的图象如图所示,下列 结 论 中 : ① abc>0 ; ② 2 a ? b<0 ; ③ a ? bm<m ? am ? b ? ( m ? 1 的 实 数 ) ; ④ ? a ? c ? <b2 ;⑤ a>1 .其中正确的项是
2

A.①⑤ 【答案】A。

B.①②⑤

C.②⑤

D.①③④

【考点】二次函数图象与系数的关系。 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 的符号,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号,然后根据对称轴及 抛物线与 x 轴交点情况进行推理,从而对所得结论进行判断: ①∵抛物线的开口向上,∴ a >0,∵与 y 轴的交点为在 y 轴的负半轴上,∴ c <0,∵对称轴为

x??

b > 0 ,∴ a 、 b 异号,即 b <0,∴ abc>0 ,故本选项正确; 2a b > 0 , a >0,∴- b >2 a ,∴2 a + b >0;故本选项错误; ②∵ x ? ? 2a
③∵ a ? bm-m ? am ? b ? ? a 1 ? m2 , 且 a > 0 , ∴ 当 m > 1 可 m < ?1 时 , a 1 ? m2 < 0 , 即

?

?

?

?

a ? bm m am < ? ?

? b; 当 ?1 ? m < 1 时 , a ?1 ? m2 ? ? 0

, 即 a ? b m? m a m ? b 所 以 不 能 确 定 ? ? 。

a ? bm<m ? am ? b ? ,故本选项错误;
④∵ 当 x ? 1 时 , a ? b ? c ? 0 ; 当 x ? ?1 时 , a ? b ? c >0 , ∴ ? a ? b ? c ?? a ? b ? c ? ? 0 , 即

? a ? c?

2

2 ? b ?0 ,∴ ? a ? c ? ? b2 ,故本选项错误; 2

⑤当 x ? ?1 时, a ? b ? c ? 2 ,当 x ? 1 时, a ? b ? c ? 0 ,∴两式相加得 a ? c ? 1 ,即 a ? 1 ? c , 由①知 c <0,∴ a ? 1 ? c >1,即 a > 1 ,故本选项正确。 综上所述,正确的是①⑤。故选 A。

?? x ? 1?2 ? 1 ? x ? 3? ? 40.(湖北随州 4 分)已知函数 y ? ? ,若使 y ? k 成立的 x 值恰好有三个,则 k 的值为 2 ?? x ? 5? ? 1 ? x > 3? ?
A、0 B、1 C、2 D、3

14

【答案】D。 【考点】二次函数的图象。

?? x ? 1?2 ? 1 ? x ? 3? ? 【分析】在坐标系中画出已知函数 y ? ? 的图象如图, 2 ?? x ? 5? ? 1 ? x > 3? ? 根据图象知道,在分段函数的分界点,即当 y =3 时,对应成立的 x 值恰
好有三个,∴ k =3。故选 D。 二、填空题 1.(辽宁大连 3 分)如图 5,抛物线 y =- x +2 x +m(m<0)与 x 轴相交于点 A( x 1, 0) B x 2, , A 在点 B 的左侧. x = x 2-2 时,y 、( 0) 点 当 或“<”号). 【答案】<。 【考点】二次函数图象的性质,一元二次方程根与系数的关系。 【分析】 ∵抛物线 y ? ? x2 ? 2 x ? m(m<0) x 轴相交于点 A x 1, 、( x 2, , ? x 2 ? 2 x ? m ? 0 与 ( 0) B 0) ∴ 有 x 1+ x 2=2, x 1 x 2=-m>0,∴ x 1=2- x 2,∴ x =- x 1<0,由图象知,当 x <0 时, 3.(黑龙江龙东五市 3 分)抛物线 y=- 【答案】 (-1,-1) 。 【考点】二次函数的性质。 【分析】根据二次函数顶点形式,直接可以得出二次函数的顶点坐标。 4.(江苏淮安 3 分)抛物线 y=x2 ? 2 x ? 3 的顶点坐标是 【答案】 (1,-4) 。 【考点】二次函数的性质(顶点坐标) ,配方法求顶点式。 【分析】对于二次函数一般式 y=ax 2 ? bx ? c ,总可以用配方法化为顶点式 y=a ? x ? h ? ? k 形式,根
2
2



0 (填“>”“=”

y <0。

1 2 (x+1) -1 的顶点坐标为 2







.

据顶点式的坐标特点,直接写出顶点坐标 ? h,k ? : y=x2 ? 2x ? 3=x2 ? 2x ? 1 ? 4=? x ?1? ? 4 ,它的顶
2

点坐标为(1,-4) 。 5. (山东济宁 3 分)将二次函数 y ? x2 ? 4 x ? 5 化成 y ? ? x ? h ? ? k 的形式,则 y =
2





【答案】 y ? ? x ? 2? ? 1 。
2

15

【考点】二次函数的配方法。 【分析】 y ? x 2 ? 4 x ? 5 ? x 2 ? 4 x ? 4 ? 1 ? ? x ? 2 ? ? 1。
2

?

?

6.(山东枣 庄 4 分 )抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 上部分点的横坐标 x ,纵坐标 y 的对应值如下表:

x

? ?

-2 0 ▲

-1 4

0 6

1 6

2 4

? ?

y

从上表可知,下列说法中正确的是

. (填写序号)

①抛物线与 x 轴的一个交点为(3,0) ②函数 y ? ax2 ? bx ? c 的最大值为 6; ; ③抛物线的对称轴是 x ? 【答案】①③④。 【考点】二次函数的性质,解方程组。

1 ; 2

④在对称轴左侧, y 随 x 增大而增大.

? a ? ?1 ? 【分析】把表中任三点代入 y ? ax ? bx ? c ,即可求出 ?b ? 1 ,抛物线函数关系式为 y ? ? x2 ? x ? 6 。 ?c ? 6 ?
2

据此即可作出判断:①(3,0)代入 y ? ? x 2 ? x ? 6 成立,选项正确;②函数 y ? ? x 2 ? x ? 6 的最大值为

25 , 4
选项错误;③抛物线的对称轴是 x ? ? 增大,选项正确。 7. (河南省 3 分)点 A(2,y1) 、B(3,y2)是二次函数 y=x -2x+1 的图象上两点,则 y1 与 y2 的大小 关系为 y1 ▲ y2(填“>”、“<”、“=”) .
2

b 1 ? ,选项正确;④ a < 0 ,所以在对称轴左侧, y 随 x 增大而 2a 2

【答案】<。 【考点】二次函数图象上点的坐标特征。 【分析】根据已知条件求出二次函数的图象的对称轴,再根据点 A、B 的横坐标的大小即可判断出 y1 与 y2 的大小关系: ∵二次函数 y=x ﹣2x+1 的图象的对称轴是 x=1,在对称轴的右面 y 随 x 的增大而增大, ∵点 A(2,y1) 、B(3,y2)是二次函数 y=x ﹣2x+1 的图象上两点,1<2<3, ∴y1<y2。故答案为:<。
2 2

16

8.(甘肃天水 4 分)抛物线 y=﹣x +bx+c 的部分图象如图所示,若 y>0,则 x 的取值范围是 【答案】﹣3<x<1。 【考点】二次函数的性质和图象。

2





【分析】根据抛物线的对称轴为 x=﹣1,一个交点为(1,0) ,根据抛物线的对称性,得另一交点为(﹣ 3,0) ,结合图象求出 y>0 时, x 的取值范围是﹣3<x<1。 9.(福建泉州 4 分)已知函数 y ? ?3? x ? 2? ? 4 ,当 x =
2



时,函数取得最大值为_



【答案】2,4。 【考点】二次函数的最值。 【分析】由抛物线的顶点式 y ? ?3? x ? 2? ? 4 ,得到抛物线的顶点坐标为(2,4),又 a =-3<0,抛
2

物线的开口向下,于是 x =2 时,函数有最大值为 4。 10.(浙江舟山、嘉兴 4 分)如图,已知二次函数 y? 2 ? ? 的图象经过点(-1,0)(1,-2) , ,当 y x bx c 随x 的增大而增大时, x 的取值范围是 ▲ . 【答案】 x >

1 。 2

【考点】待定系数法,二次函数的图象和性质。 【分析】先把(﹣1,0)(1,﹣2)代入二次函数 y? 2 ? ? 中,得到关于 b、 , x bx c

?1 ? b ? c=0 c 的方程 ? ?1 ? b ? c= ? 2
对称轴为 x= 三、解答题

,求出 b=-1、c=-2 ,即可求解析式: y ? x 2 ? x ? 2 。它的

1 1 。根据二次函数图象和的性质,当 x > 时, y 随 x 的增大而增大。 2 2

1.(浙江温州 10 分)如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,点 A 的坐标是(﹣2,4) ,过点 A 作 AB⊥ y 轴,垂足为 B,连接 OA. (1)求△OAB 的面积; (2)若抛物线 y ? ? x2 ? 2 x ? c 经过点 A. ①求 c 的值; ②将抛物线向下平移 m 个单位, 使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB 的内部 (不 包括△OAB 的边界) ,求 m 的取值范围(直接写出答案即可) .

17

【答案】解: (1)∵点 A 的坐标是(﹣2,4) ,AB⊥ y 轴,∴AB=2,OB=4, ∴△OAB 的面积为:

1 1 ×AB×OB= ×2×4=4。 2 2
2

(2)①把点 A 的坐标(﹣2,4)代入 y ? ? x2 ? 2 x ? c 中,得﹣(﹣2) ﹣2×(﹣2)+ c =4, ∴ c =4。 ②m 的取值范围是:1<m<3。 【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,图形的平移。 【分析】 (1)根据点 A 的坐标是(﹣2,4) ,得出 AB,BO 的长度,即可得出△OAB 的面积。 (2)①把点 A 的坐标(﹣2,4)代入 y ? ? x2 ? 2 x ? c 中,直接得出即可。 ②利用配方法把二次函数解析式化为顶点式即可得出顶点坐标, 根据 AB 的中点 E 的坐标以及 F 点的坐标即可得出 m 的取值范围: ∵ y ? ?x2 ? 2x ? 4 ? ? ? x ? 1? ? 5 ,
2

∴抛物线顶点 D 的坐标是(﹣1,5) 。 又∵AB 的中点 E 的坐标是(﹣1,4) ,OA 的中点 F 的坐标是(﹣1,2) , ∴m 的取值范围是:1<m<3。 2.(黑龙江牡丹江 6 分)如图,抛物线 y ? x2 ? bx ? c 经过 A(-1,O),B(4, 5)两点,请解答下列问题: (1)求抛物线的解析式; (2)若抛物线的顶点为点 D,对称轴所在的直线交 x 轴于点 E,连接 AD,点 F 为 AD 的中点,求出线段 EF 的长.

【答案】解: (1)∵抛物线 y ? x2 ? bx ? c 经过 A(-1,0),B(4,5)两点

?1 ? b ? c ? 0 ?b ? ?2 ∴? , 解得 ? 。 ∴抛物线的解析式为 y ? x2 ? 2 x ? 3 。 ?16 ? 4b ? c ? 5 ? c ? ?3
(2)∵ y ? x2 ? 2x ? 3 ? ? x ? 1? ? 4 ,
2

∴抛物线的顶点坐标为 D(1,-4) 。∴E(1,0)。
18

∴在 RtAED 中, AE=2,ED=4,AD= AE2 ? ED2 ? 22 ? 42 ? 2 5 。 1 又∵AO=OE,OF⊥AE,∴EF=AF= AD= 5 。 2 【考点】二次函数综合题,点的坐标与方程的关系,勾股定理,线段垂直平分线的性质。 【分析】(1)将 A(-1,O),B(4,5)两点代入 y ? x2 ? bx ? c 中,求出 b 、 c 的值即可。 (2)根据抛物线顶点式可求 D、E 两点的坐标,根据勾股定理可求 AD,再根据线段垂直平分 线上的点到线段两端距离相等的性质和点 F 为 AD 的中点可求线段 EF 的长度。 3.(江苏南京 7 分)已知函数 . y ? mx2 ? 6x ? 1 ( m 是常数)

⑴求证:不论 m 为何值,该函数的图象都经过 y 轴上的一个定点; ⑵若该函数的图象与 x 轴只有一个交点,求 m 的值. 【答案】解:⑴当 x =0 时, y ? 1 。 ∴不论 m 为何值,函数 y ? mx2 ? 6x ? 1 的图象经过 y 轴上的一个定点(0,1) 。 ⑵①当 m ? 0 时,函数 y ? ?6 x ? 1 的图象与 x 轴只有一个交点; ②当 m ? 0 时,若函数 y ? mx2 ? 6x ? 1 的图象与 x 轴只有一个交点, 则方程 mx 2 ? 6 x ? 1 ? 0 有两个相等的实数根,所以 (?6)2 ? 4m ? 0 , m ? 9 。 综上所述,若函数 y ? mx2 ? 6x ? 1 的图象与 x 轴只有一个交点,则 m 的值为 0 或 9。 【考点】函数图象上点的坐标与方程的关系, 二次函数与一元二次方程的关系。 【分析】⑴由于二次函数的常数项为 1, 故 x =0 时, y ? 1 而得证。
m ⑵考虑一次函数和二次函数两种情况: m ? 0 时, 函数为一次函数, 与 x 轴有一个交点。 ? 0

时,函数为二次函数,由函数 y ? f ? x ? 与 x 轴有一个交点的要求, 对应的一元二次方程 y ? f ? x ? 有两 个相等的实数根, 即根的判别式等于 0, 从而求解。也可以考虑二次函数顶点的纵坐标为 0 求解, 即

4 ? m ? 1 ? ? ?6 ? 4m

2

?0?m?9。
2

4. 江苏南通 12 分) ( 已知 A(1, B(0, 0)、 -1)、 C(-1, D(2, 2)、 -1)、 E(4, 2)五个点, 抛物线 y ? a ? x ? 1? ? k ( a >0)经过其中的三个点. (1)求证:C、E 两点不可能同时在抛物线 y ? a ? x ? 1? ? k ( a >0)上;
2

19

(2)点 A 在抛物线 y ? a ? x ? 1? ? k ( a >0)上吗?为什么?
2

(3)求 a 和 k 的值. 【答案】解:(1)证明:用反证法。假设 C(-1,2)和 E(4,2)都在抛物线 y ? a ? x ? 1? ? k ( a >0)上,
2

?a ? ?1 ? 1?2 ? k ? 2 ? 联立方程 ? 2 ?a ? 4 ? 1? ? k ? 2 ?

, 解之得 a =0, k =2。这与要求的 a >0 不符。

∴C、E 两点不可能同时在抛物线 y ? a ? x ? 1? ? k ( a >0)上。
2

(2)点 A 不在抛物线 y ? a ? x ? 1? ? k ( a >0)上。这是因为如果点 A 在抛物线上,则 k =
2

0。这时,若 B(0,-1)在抛物线上,得到 a =-1,D(2,-1)在抛物线上,得到 a =-1,这与已知 a >0 不符;而由(1)知,C、E 两点不可能同时在抛物线上。 因此点 A 不在抛物线 y ? a ? x ? 1? ? k ( a >0)上。
2

(3)综合(1)(2),分两种情况讨论: ①抛物线 y ? a ? x ? 1? ? k ( a >0)经过 B(0,-1)、C(-1,2)、D(2,-1)三个点,
2

? a ? 0 ? 1?2 ? k ? ?1 ? 2 ? 联立方程 ? a ? ?1 ? 1? ? k ? 2 ,解之得 a =1, k =-2。 ? 2 ? a ? 2 ? 1? ? k ? ?1 ?
②抛物线 y ? a ? x ? 1? ? k ( a >0)经过 B(0,-1)、D(2,-1)、E(4,2)三个点,
2

? a ? 0 ? 1?2 ? k ? ?1 ? 2 11 3 ? 联立方程 ? a ? 2 ? 1? ? k ? ?1 , 解之得 a = , k = ? 。 8 8 ? 2 a ? 4 ? 1? ? k ? 2 ? ?
因此,抛物线经过 B、C、D 三个点时, a =1, k =-2。抛物线经过 B、D、E 三个点时,

11 3 a = ,k =? 。 8 8
【考点】二次函数,二元一次方程组。 【分析】(1)用反证法证明只要先假设结论成立,得到与已知相矛盾的结论即可。 (2)要证点 A 不在抛物线上,只要证点 A 和其他任意两点不在同一抛物线上即可。
20

(3)分别列出任意三点在抛物线上的所有情况,由(2)去掉点 A,还有 B、C、D、E 四个点,可 能情况有 ①B、C、D, ②B、C、E, ③B、D、E 和④C、D、E。而由(1)去掉②B、C、E 和④C、D、E 两 种 C、E 两点同时在抛物线上的情况。这样只剩下①B、C、D 和③B、D、E 两种情况,分别联立方程求解 即可。 5.(广东佛山 8 分)如图,已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象经过 A( ?1, ?1) 、

y
C

B

B(0, 2) 、 C(1,3) ;
(1)求二次函数的解析式; (2)画出二次函数的图象; 【答案】解: (1)根据题意,得
A

o

1

x

?a ? b ? c = ? 1 ? ?c =2 ?a ? b ? c =3 ?

,解得, a = ? 1,b =2,c =2 。

∴二次函数的解析式为 y ? ? x2 ? 2 x ? 2 。 (2)二次函数的图象如图:

【考点】函数图象上点的坐标与方程的关系,待定系数法,解二元一次方程组,作二次函数图象。 【分析】 (1)根据点 A,B,C 在二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象上,点的坐标 y ? ax2 ? bx ? c 满足方程 的关系,将 A( ?1, ?1) 、 B(0, 2) 、 C(1,3) 代入 y ? ax2 ? bx ? c 即可求出 a,b,c ,从而求得二次函数的解 析式。 (2)描点作图。 6.(新疆自治区、兵团 8 分)已知抛物线 y ? ? x ? 4 x ? 3 与 x 轴交于 A、B 两点(A 点在 B 点左侧) ,
2

顶点为 P.
21

(1)求 A、B、P 三点的坐标; (2)在直角坐标系中,用列表描点法作出抛物线的图象,并根据图象写出 x 取何值时,函数值大于零; (3)将此抛物线的图象向下平移一个单位,请写出平称后图象的函数表达式

x
y

【答案】解;(1)∵ y ? ? x2 ? 4x ? 3 ? ?( x ? 2)2 ? 1 ,∴P(2,1) 。 令 y ? 0 ,得 ? x ? 4 x ? 3 ? 0 ,解得 x ? 1 , x ? 3 。
2

∵A 点在 B 点左侧。∴A(1,0),B(3,0)。 (2)列表:

x

· · ·

0

1

2

3

4

· · ·

y

· · ·

-3

0

1

0

-3

· · ·

描点作图如下:

22

y
3

2

1

-1 -1

O

1

2

3

4

x

-2

-3

-4

由图象可知,当 1 ? x ? 3 时,函数值大于零。 (3)向下平移一个单位后图象的函数表达式 y ? ? x2 ? 4 x ? 3 ? 1 ? ? x2 ? 4 x ? 4 。 【考点】抛物线与 x 轴的交点,二次函数的图象,二次函数图象与平移变换。 【分析】 (1)令 y ? 0 求得点 A、B 的坐标,根据抛物线的顶点公式求得点 P 的坐标。 (2)首先写出以顶点为中心的 5 个点的坐标,从而画出图象,结合与 x 轴的交点,写出 x 取何 值时,函数值大于零。 (3)将此抛物线的图象向下平移一个单位,即对应点的纵坐标少 1,从而写出函数解析式。 7.(黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西 6 分)已知:二次函数 y ? 象对称轴为直线 x =1,且经过点(2,- (1)求此二次函数的解析式. (2)设该图象与 x 轴交于 B、C 两点(B 点在 C 点的左侧) ,请在此二次函数 x 轴下方的图象上确定一点 E,使△EBC 的面积最大,并求出最大面积. 注:二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? 的对称轴是直线 x =- 【答案】解: (1)由二次函数 y ?

3 2 x ? bx ? c ,其图 4

9 ) . 4

b . 2a

3 2 9 x ? bx ? c 的图象对称轴为直线 x =1,且经过点(2,- )得 4 4

23

? b 3 ? ?? 3 ? 1 ?b ? ? 2 2? ? 3 3 9 ? ,解得, ? 。∴此二次函数的解析式为 y ? x2 ? x ? 。 4 ? 9 4 2 4 ? ?c ? ? 9 ?3 ? 2b ? c ? ? ? 4 ? 4 ?
(2)∵由

3 2 3 9 x ? x ? ? 0 得 x 1=-1, x 2=3。 4 2 4

∴B(-1,0) ,C(3,0) 。∴BC=4。 又∵E 点在 x 轴下方,且△EBC 面积最大, ∴E 点是抛物线的顶点,其坐标为(1,-3) 。 ∴△EBC 的最大面积=

1 ? 4?3 ? 6 。 2

【考点】二次函数综合题,二次函数上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质。 【分析】 (1)利用二次函数上点的坐标与方程的关系将点(2,- 直线 x =1,得二元一次方程组,即可求得。 (2)利用二次函数与 x 轴相交即 y =0,求出即可,再利用 E 点在 x 轴下方,且 E 为顶点坐标 时△EBC 面积最大,求出即可。 8.(湖南永州 10 分)如图,已知二次函数 y ? ? x 2 ? bx ? c 的图象经过 A( ?2 , ?1 ) ,B(0,7)两点. ⑴求该抛物线的解析式及对称轴; ⑵当 x 为何值时, y ? 0 ? ⑶在 x 轴上方作平行于 x 轴的直线 l , 与抛物线交于 C, 两点 D (点 C 在对称轴的左侧) 过点 C, 作 x 轴的垂线, , D 垂足分别为 F, 当 E. 矩形 CDEF 为正方形时,求 C 点的坐标. 【答案】解: (1)把 A(-2,-1) ,B(0,7)两点的坐标代入

9 ) )代入二次函数解析式和对称轴为 4

y ? ? x2 ? bx ? c ,

??4 ? 2b ? c ? ?1 ?b ? 2 得? , 解得 ? 。 ?c ? 7 ?c ? 7
∴该抛物线的解析式为 y ? ? x2 ? 2 x ? 7 。 又∵ y ? ?x2 ? 2x ? 7 ? ? ? x ?1? ? 8 ,所以对称轴为直线 x ? 1 。
2

24

(2)当函数值 y ? 0 时, ? x 2 ? 2 x ? 7 ? 0 的解为 x ? 1 ? 2 2 。 ∴结合图象,容易知道 1 ? 2 2 < x < 1 ? 2 2 时, y > 0 。 (3)当矩形 CDEF 为正方形时,设 C 点的坐标为(m,n) , 则 n ? ?m2 ? 2m ? 7 ,即 CF ? ?m2 ? 2m ? 7 。 ∵C,D 两点的纵坐标相等,所以 C,D 两点关于对称轴 x ? 1 对称,设点 D 的横坐标为 p , 则 1 ? m ? p ? 1 ,∴ p ? 2 ? m ,∴CD= (2 ? m) ? m ? 2 ? 2m 。 ∵CD=CF,∴ 2 ? 2m ? ?m2 ? 2m ? 7 ,整理,得 m2 ? 4m ? 5 ? 0 ,解得 m ? ?1 或 5。 ∵点 C 在对称轴的左侧,∴ m 只能取-1。 当 m ? ?1 时, n ? ?m2 ? 2m ? 7 ? ?(?1)2 ? 2 ? (?1) ? 7 ? 4 , ∴点 C 的坐标为(-1,4) 。 【考点】二次函数综合题,待定系数法,点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,解一元二次方程, 正方形的性质,对称的性质。 【分析】 (1)根据点在抛物线上,点的坐标满足方程的关系,求二次函数解析式,再用配方法或公式法 求出对称轴即可。 (2)求出二次函数与 x 轴交点坐标即可,再利用函数图象得出 x 取值范围; (3)利用正方形的性质得出横纵坐标之间的关系即可得出答案。 9.(辽宁盘锦 10 分)如图,二次函数 y=ax +bx 的图象经过 A(1,-1)、 B(4,0)两点. (1)求这个二次函数解析式; (2)点 M 为坐标平面内一点,若以点 O、A、B、M 为顶点的四边形是平行 四边形,请直接写出点 M 的坐标. 【答案】解:(1)∵二次函数 y=ax +bx 的图象经过 A(1,-1)、B(4,0)两点,
2 2

?a ? b= ? 1 ∴? ?16a ? 4b=0

? 1 ?a= 3 1 2 4 ? ,解得 ? 。∴二次函数的解析式为 y= x - x。 3 3 ?b= ? 4 ? 3 ?

(2)M1(3,1)、M2(-3,-1)、M3(5,-1)。 【考点】曲线上点的坐标与方程的关系,平行四边形的判定,点的对称,坐标平移的性质。

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【分析】(1) 由二次函数的图象经过 A、B 两点,根据点在曲线上,点的坐标满足方程的关系,将 A、B 两点代入二次函数表达式即可求解。 (2)若 AB 是平行四边形的对角线,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形的判定,只要 求出点 A(1,-1)关于 OB 中点(2,0)的对称点 M1(2+1,-(-1) )即(1,3) ,得到的四边形 OAB M1 即是平行四边形。 若 AB 是平行四边形的边, 根据对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定, 只要将点 A (1, -1)向左或右平移 OA=4 个单位得 M2(-3,-1)、M3(5,-1),得到的四边形 OM2AB 和 OA M3B 即是平 行四边形。 综上所述,以点 O、A、B、M 为顶点的四边形是平行四边形的点 M 为 M1(3,1)、M2(-3,-1)、M3(5,-1)。 10.(贵州贵阳 10 分)如图所示,二次函数 y=﹣x +2x+m 的图象与 x 轴的一个交 点为 A(3,0) ,另一个交点为 B,且与 y 轴交于点 C. (1)求 m 的值; (2)求点 B 的坐标; (3)该二次函数图象上有一点 D(x,y) (其中 x>0,y>0) 使 S△ABD=S△ABC,求 点 D 的坐标. 【答案】解: (1)∵二次函数 y=﹣x +2x+m 的图象与 x 轴的一个交点为 A(3,0) , ∴﹣9+2×3+m=0,解得:m=3。 (2)由 m=3 得,二次函数的解析式为:y=﹣x +2x+3。 当 y=0 时,﹣x +2x+3=0, 解得:x=3 或 x=﹣1, ∴B(﹣1,0) 。 (3)过点 D 作 DE⊥AB, ∵当 x=0 时,y=3,∴C(3,0) 。 若 S△ABD=S△ABC, ∵D(x,y) (其中 x>0,y>0) ,则可得 OC=DE=3。 ∴当 y=3 时,﹣x +2x+3=3,解得:x=0 或 x=2, ∴点 D 的坐标为(2,3) 。
2 2 2 2 2

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【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】 (1)由二次函数 y=﹣x +2x+m 的图象与 x 轴的一个交点为 A(3,0) ,利用待定系数法将点 A 的坐标代入函数解析式即可求得 m 的值。 (2)根据(1)求得二次函数的解析式,然后将 y=0 代入函数解析式,即可求得点 B 的坐标。 (3)根据(2)中的函数解析式求得点 C 的坐标,由二次函数图象上有一点 D(x,y) (其中 x >0,y>0) ,可得点 D 在第一象限,又由 S△ABD=S△ABC,可知点 D 与点 C 的纵坐标相等,代入函数的解析 式即可求得点 D 的坐标。
2

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