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2014届高三理科数学高考模拟题


2014 届高三数学试题(理科)
出卷人: 班别:
2

姓名:

学号:


分数:

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 1.集合 M ? {x | lg x ? 0} , N ? {x | x ? 9} ,则 M ? N ? ( A.

(1,3) B. [1,3) C. (1,3]

D. [1,3] )

2. 已知复数 z ? i (1 ? i ) (为虚数单位) ,则复数 z 在复平面上所对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

3. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? -2, 则抛物线的方程是( A. y ? 8 x
2

B. y ? ?8 x
2

C. y ? ?4 x
2

D.

y2 ? 4x


4.如图是某简单组合体的三视图,则该组合体的体积为( A. 36 3(? ? 2) B. 36 3(? ? 2) C. 108 3? D. 108( 3? ? 2)

5.已知向量 a ? (?1,1) , b ? (3, m) , a //(a ? b) , 则m ?( A. 2 ) B. ?2 C. ?3

?

?

?

?

?

D.3

6. 设 随 机 变 量

? 服 从 正 态 分 布 N (3, 4) , 若


P(? ? 2a ? 3) ? P (? ? a ? 2) ,则 a ? (
A. 3 B.

5 3

C.5

D.

7 3


7.在△ABC 中,已知 b=4 ,c=2 ,∠A=120°,则 a ? ( A.2 B.6 C.2 或 6 D.2 7

8.函数 y ? f ( x), x ? D, 若存在常数 C ,对任意的 x1 ? D, 存在唯一的 x2 ? D 使得

f ( x1 ) f ( x2 ) ? C , 则称函数 f (x) 在 D 上的几何平均数为 C .已知 f ( x) ? x 3 , x ?[1,2],

则函数 f ( x) ? x 在[1,2]上的几何平均数为(
3



A. 2

B.2

C.4

D. 2 2

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9.在等差数列 {an } 中,有 a6 ? a7 ? a8 ? 12 ,则此数列的前 13 项之和为 10. ( x ? ) 展开式中,常数项是
6

.

2 x

.

开始

11.执行如图的程序框图,那么输出 S 的值是 . 12. 已 知 集 合 A、B、C,A ={ 直 线 } , B ={ 平 面 } ,

S ? 2, k ? 1

C ? A? B . 若 a ? A, b ? B, c ? C ,给出下列四个命题:
①?

?a // b ?a ? b ?a // b ? a // c ② ? ? a // c ③ ? ?a?c ?c // b ?c ? b ?c ? b ?a ? b ?a?c ?c // b
. 其中 所有正 确命 题的 序号

k ? 2013



④ ? 是

是 1 S? 1? S

输出 S

结束

k ? k ?1

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 13.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则目标函 ?x ?1 ? 0 ?
数 z ? 3 x ? 2 y 的最小值为 .

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题. 14. (坐标系与参数方程选做题)若直线的极坐标方程为 ? cos(? ?

?
4

) ? 3 2 ,曲线 C :

? ? 1 上的点到直线的距离为 d ,则 d 的最大值为
15.(几何证明选讲选做题) 如图圆 O 的直径 AB ? 6 , P 是 AB 的延长线上一点,过点 P 作圆 O 的切线,切点为 C , 连接 AC ,若 ?CPA ? 30? ,则 PC ? .

.

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文

字说明,证明过程或演算步骤. 16. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? 1 , x?R , 其 中 (

A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

)的周期为 ? ,且图像上一个最低点为 M (

2? , ?1) 3

(1)求 f ( x) 的解析式; (2)当 x ? [0,

?
12

] 时,求 f ( x) 的值域.

17.(本小题满分 13 分) 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中,规定每位同学只能 选一个科目。已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙,情况如下 表: 科目甲 第一小组 第二小组 总计 1 2 3 科目乙 5 4 9 总计 6 6 12

现从第一小组、第二小组中各任选 2 人分析选课情况. (1)求选出的 4 人均选科目乙的概率; (2)设 ? 为选出的 4 个人中选科目甲的人数,求 ? 的分布列和数学期望. 18. (本题满分 13 分) 数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 2 列,且 b1 , b3 , b11 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ?
n ?1

? 2 ,数列 ?bn ? 是首项为 a1 ,公差为 d (d ? 0) 的等差数

bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . an

19.(本小题满分 14 分) 如图 5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,点 E 在线段 PC 上, PC⊥平面 BDE

(1) 、证明:BD⊥平面 PAC; (2) 若 PA=1, 、 AD=2, 求二面角 B-PC-A 的正切值; 20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 a 2 b2

e?

3 ,直线 l : y ? x ? 2 与以原点为圆心、以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆 O 相切. 3
(1)求椭圆 C1 的方程; (2)设椭圆 C1 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 ,直线 l1 过点 F1 ,且垂直于椭圆的长轴,

动直线 l 2 垂直于 l1 ,垂足为点 P,线段 PF2 的垂直平分线交 l 2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的 方程; 21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? ( x ? a) , a ? R .
2

(Ⅰ)若 a ? 0 ,求函数 f ( x) 在[1,e]上的最小值; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在 [ , 2] 上存在单调递增区间,试求实数 a 的取值范围;

1 2

一、选择题.本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 l C 2 B 3 A 4 B 5 C 6 D 7 D 8 D

二、填空题;本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9. 52 10. 60

11.

1 2

12. ④

13.-4

14. 3 2 ? 1

15. 3 3

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分. 16. (本小题满分 12 分)

解: (1)由 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? 1 的周期为 ? ,知 T ?

2?

?

? ? ,则有 ? ? 2 ; 2? , ?1) , A ? 0 , 3
3分

所以 f ( x) ? A sin(2 x ? ? ) ? 1 ,因为函数图像有一个最低点 M (

所以 A ? 2



sin(2 ?

2? ? ? ) ? ?1 , 3 (k ? Z )

??????????

则有 2 ?

2? 3? ?? ? ? 2 k? 3 2

???????????

4分

解得 ? ?

?
6

? 2 k?

(k ? Z ) , 因为 0 ? ? ?

?
2

,所以 ? ?

?
6

???.6 分

所以 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

) ?1

x?R

???????????

7分

(2)当 x ? [0,

?
12

] 时, 2 x ?

?

?[ , 6 6

?

?
3

],

??????????? 8 分

则有 sin(2 x ?

?

1 ) ?[ , 6 2

? 3 ] ,所以 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1 ? [2, 1 ? 3] ??11 分 6 2

即 f ( x) 的值域为 [2, 1 ? 3] 。 ????????? 12 分 17. (本小题满分 12 分) 解: (1)设“从第一小组选出的 2 人选科目乙”为事件 A , “从第二小组选出的 2 人选科目乙” ”为事件 B .由于事 件 A 、 B 相互独立, 且 P ( A) ?
2 C5 2 ? , 2 C6 3

P( B) ?

2 C4 2 ? .????????????4 分 2 C6 5

所以选出的 4 人均选科目乙的概率为

2 2 4 P( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) ? ? ? ??????????? 6 分 3 5 15
(2)设 ? 可能的取值为 0,1,2,3.得

P(? ? 0) ?

4 , 15

P(? ? 1) ?

2 1 1 1 2 1 1 C 5 C 2C 4 C 5 C 4 22 , C 1 , ? 2 ? 2? 2 ? P(? ? 3) ? 5 ? 2 ? 2 2 C6 C6 C 6 C 6 45 C 6 C 6 45

P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ?

2 ? 9分 9

? 的分布列为 ?
P
0

2
22 45 2 9

3

4 15

1 45
????13 分

∴ ? 的数学期望 E? ? 0 ? 18. (本题满分 13 分)

4 22 2 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1 15 45 9 45

解析: (1)当 n ? 2 ,时 an ? Sn ? Sn ?1 ? 2 又 a1 ? S1 ? 2
1?1

n ?1

? 2n ? 2n ,

? 2 ? 2 ? 21 ,也满足上式,所以数列{ an }的通项公式为 an ? 2n .

b1 ? a1 ? 2 ,设公差为 d ,则由 b1 , b3 , b11 成等比数列, (2 ? 2d ) 2 ? 2 ? (2 ? 10d ) ,
得 d ? 0 (舍去)或 d ? 3 (2)由(1)可得 Tn ? ,所以数列 {bn } 的通项公式 bn ? 3n ? 1 .

b b1 b2 b3 2 5 8 3n ? 1 ? ? ?? ? n ? 1 ? 2 ? 3 ??? n , a1 a2 a3 an 2 2 2 2

2Tn ? 2 ?

5 8 3n ? 1 ? 2 ? ? ? n ?1 , 1 2 2 2

两式式相减得

3 3 3 3n ? 1 ? 2 ? ? ? n?1 ? n , 1 2 2 2 2 3 1 (1 ? n ?1 ) 3n ? 1 3n ? 5 2 Tn ? 2 ? 2 ? n ? 5? n , 1 2 2 1? 2 Tn ? 2 ?
20(本小题满分 14 分)

解: (1)由直线 l : y ? x ? 2 与圆 x ? y ? b 相切,得
2 2 2

|0?0?2| ? b ,即 b ? 2 . (2 2

分) 由e ?

b2 2 3 2 ,得 2 ? 1 ? e ? ,所以 a ? 3 , 3 a 3 x2 y 2 ? ? 1. 3 2

(3 分)

所以椭圆的方程是 C1 :

(4 分)

(2)由条件,知 | MF2 |?| MP | ,即动点 M 到定点 F2 的距离等于它到直线 l1 : x ? ?1 的距 离,由抛物线的定义得点 M 的轨迹 C2 的方程是 y ? 4 x .
2

(7 分)

21. (本小题满分 14分) (1) 证:由题意 f (an ) ? 2 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2n ,即 log man ? 2n , ??1 分

? an ? m2n .
当m ?

??2 分

bn ? an ? f (an) ? 2n ? m 2 n ,

1 n ?1 2 时, bn ? an ? f (an ) ? n ? ( ) . ????3 分 2 2 1 0 11 1 2 1 n ?1 ∴ Sn ? 1 ? ( ) ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? ? ? n ? ( ) , ① 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Sn ? 1? ( )1 ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? ? ? n ? ( ) n ② ??4 分 2 2 2 2 2 1 1 0 11 1 2 1 3 1 n ?1 1 n ①-②,得 Sn ? ( ) ? ( ) ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? n ? ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 n 1? (1 ? ( ) ) 2 ? n ? ( 1 ) n ??6 分 ? 1 2 1? ( ) 2 1 n ?1 ∴ Sn ? ?(n ? 2) ? ( ) ? 4 ??7 分 2 ? 2n (2) 解:由(1)知, cn ? an ? lg an ? 2n ? m lg m ,要使 cn ? cn ?1 对一切 n ? N 成立,
即 n lg m ? (n ? 1)m lg m 对一切 n ? N 成立.
2

?

??8 分

? 0 ? m ? 1,? lg m ? 0 ? n ? (n ? 1)m 2 ,对一切 n ? N ? 恒成立, n 2 ) min ,??10 分 只需 m ? ( n ?1 n 1 n 1 ? 1? ) min ? . ??12 分 单调递增,∴当 n ? 1 时, ( n ?1 n ?1 n ?1 2

∴m ?
2

1 2 ,且 0 ? k ? 1 , ∴ 0 ? m ? . 2 2 2 综上所述,存在实数 m ? (0, ) 满足条件. 2

??13 分 ??14 分

21. (本小题满分 14 分) 解: (1) f'(x)=2ax+b ,?????1 分 依题设,有 ?

? f `(3) ? 5 ?6 a ? b ? 5 ,即 ? ,?????2 分 ? f (3) ? 7 ?9a ? 3b ? 1 ? 7

解得 ?

?a ? 1 ?????3 分 ?b ? ?1
?????4 分
2 x
2 ?x

? f ( x)=x 2 ? x ? 1 .
x

(2)方程? f ( x)=ke ,即 x ? x ? 1 ? ke ,得 k ? ( x ? x ? 1)e 记 F(x) ? ( x 2 ? x ? 1)e ? x , 则 F'(x)=(2x ? 1)e
?x



???5 分

? ( x 2 ? x ? 1)e ? x ? ?( x 2 ? 3x ? 2)e ? x ? ?( x ? 1)( x ? 2)e ? x . ??6 分

令 F'(x)=0 ,得 x1 ? 1, x2 ? 2 ???7 分 当 x 变化时, F'(x) 、 F(x) 的变化情况如下表:

∴当 x ? 1 时,F(x)取极小值

1 3 ;当 x ? 2 时,F(x)取极大值 2 ????8 分 e e 1 3 或 k ? 2 时, e e

2 ?x 作出直线 y ? x 和函数 F(x) ? ( x ? x ? 1)e 的大致图象,可知当 k ?

它们有两个不同的交点,因此方程 f ( x) ? k e x 恰有两个不同的实根, ???9 分 (3) 2a1 ? f (2) ? 3 ,得 a1 ?

3 ? 1 ,又 an ? 1 ? f (an) ? an 2 ? an ? 1 。 2

? an ? 1 ? an ? an 2 ? 2an ? 1 ? (an ? 1) 2 ? 0 ,
? an ? 1 ? an ? 1 .
由 an ? 1 ?
? 1

???????10 分

an 2 ? an ? 1 ,得 an ? 1 ? 1=an(an ? 1) ,???11 分
? 1
n n

a

n ? 1

?1

a (a ? 1) a ? 1 a
n

?

1

?

1
n

,即

1
n

a a ?1 a
n

?

1

?

1
n ? 1

?1

???12 分

?

S?
1
1

1
1

a a
?

?

1
2

???

1

a

?(

1
1

2013

a ?1 a
?

?

1
2

?1

)?(

1

a

2

?1

?

1

a

3

?1

) ??? (

1

a

2013

?1

?

1

a

2014

?1

)

?

1
2014

a ?1 a
1
1

?1

?

2?

1

a

2014

?1

2

又S ?

a a

?

1
2

?

2

3 7

?

4

?

26 21

? 1 ???13 分

即 1 ? S ? 2 ,故 S 的整数部分为.

????l4 分


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