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一次函数的图像和性质的应用


回顾与思考
一、本章知识内容
1、函数,一次函数的概念

2、一次函数图象的概念及特征
3、确定一次函数表达式

4、一次函数图象的应用。

二、本章知识网络结构图
丰富的现实背景 函数 一次函数

函数表达式

图象

/>函数表达式的确定

图象的应用

三、知识点回顾

1、函数的概念
一般地,在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果 给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么称y是x 的函数,其中x是自变量,y是因变量。

2、一次函数,正比例函数的概念及联系
若两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kx+b(k,b 为常数,b≠0)的形式,则称y是x的一次函数。X是自 变量,y是因变量。

当b=0时,即y=kx时,称y是x的正比例函数

3、函数图象的概念
把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的 横坐标和纵坐标,在直角坐标系内描出它的对应点,所有 这些点组成的图形叫做该函数的图象。

4、一次函数图象的特征(y=kx+b,b≠0)
(1)不过原点,和两坐标轴相交的直线。 当k>0,b>0时,图象经过一、二、三象限; 当k>0,b<0时,图象经过一、三、四象限; 当k<0,b>0时,图象经过一、二、四象限; 当k<0,b<0时,图象经过二、三、四象限。 (2)作图象时,需描两个点。 (0,b)和(? (3)当k>0时,y的值随x的增大而增大;
b k ,0)

当k<0时,y的值随x的增大而减小。

正比例函数的图象特点(y=kx)

(1)正比例函数的图象都经过坐标原点 的直线。 (2)作y=kx的图象时,除原点外还需找 一点。 一般找(1,k)点 。 (3)当k>0时,k的值越大,函数图象与x 轴正方向所成的锐角越大。图象越靠近y轴 (4)当k>0时,y的值随x值的增大而增大; 当k<0时,y的值随x值的增大而减小。

5、函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系
当k1 ≠ k2,两直线相交; 当k1 ≠ k2,b1=b2时,两直线相交于y轴上同一点; 当k1=k2,b1≠b2时,两直线平行。

6、一次函数的应用

复习练习
1、在函数y=2x中,函数y随自变量x的增大__________。
2、已知一次函数y=kx+5过点P(-1,2),则k=_____。 3、已知一次函数y=2x+4的图像经过点(m,8),则m= ________。

4、已知y与x成正比例,且当x=1时,y=2,那么当x=3时, y=_________。 5、一弹簧,不挂重物时,长6cm,挂上重物后,重物每增 加1kg,弹簧就伸长0.25cm,但所挂重物不能超过10kg,则 弹簧总长y(cm)与重物质量x(kg)之间的函数关系式为 ___________。

6、已知y-3与x成正比例,有x=2时,y=7。 (1)写出y与x之间的函数关系式。

(2)计算x=4时,y的值。
(3)计算y=4时,x的值。

7、已知一次函数y=kx+b的图像与y=2x+1的交点的

横坐标为 2,与直线 y=-x+8的交点的纵坐标为
- 7,求直线的表达式。

8、某图书馆开展两种方式的租书业务:一种是使用会员 卡,另一种是使用租书卡,使用这两种卡租书,租书金额 y(元)与租书时间x(天)之间的关系如下图所示。

(1)分别写出用租书卡和会 员卡租书金额y(元)与租书 时间x(天)之间的关系式。 (2)两种租书方式每天的收 费是多少元?

y/天 租书卡 50 20 会员卡

O

100

x/天

例题解析
例1:求函数 y ? 3 2 x ? 3 与x轴、y轴的交点坐标,并求这 直线与坐标轴围成的三角形的面积。 y 3 解:设直线 y ? 2 x ? 3与x轴的交点坐标为(a,0) o 1 2 x 把(a,0)代入 y ? 3 中得 x ? 3 -1 2 3 3 y ? -2 2 x ?3 0 ? a ?3
2

a?2 ∴ ∴ 直线 y ? 3 与x轴的坐标是(2,0) 2 x ?3

-3

由图象可知直线 y ? 3 2 x ?3 与坐标轴围成的三角形是直角 3 设直线 y ? 2 x ? 3与y轴的交点坐标为(b,0) 三角形 ∵ 直线与x轴、y轴的交点坐标 把(b,0)代入 y ? 3 中得 x ? 3 2 是(2,0)、(0,- 3) 3 ∴ 直线与坐标轴围成的三角形 2 的面积是 1 ∴ s ? ? 2?3 ? 3 2 3 ∴ 直线 y ? 2 x ? 3 与y轴的坐标是(0,-3)

b ? ?0?3 b ? ?3

例2. 由于持续高温和连日无雨,某水库的蓄水量随着时间的增 加而减少,干旱持续的时间t(天)与蓄水量v(立方万米)的关系 如图。 (1)干旱持续10天,蓄水量为多少?持续20天呢? (2)蓄水量小于400立方万米时,将发出严重干旱警报,多少天 后将发出严重干旱警报? (3)按照这个规律,预计持续干旱多少天水库将干涸?
v/立方万米
1200 1000 800 600 400 200

O

10

20

30

40

60

t/天

例3:弹簧的长度y (cm)与所挂物体的质量x (kg)的关系 是一次函数,图象如左图所示,观察图象回答:
(1)弹簧不挂物体时的长度是多少?从图中还可知道什么? (2) y与x之间的函数关系式为? (3)弹簧的长度是24cm时,所挂物体的质量是多少? y/cm

20

A

8

0

5

10 15

x/kg

例4 . 某种摩托车的油箱最多可储油10升,加满油后,

油箱中的剩余油量y(升)与摩托车行驶路程x(千米) 之间的关系,如图所示:根据图象回答下列问题
y/升
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 油箱汽油可供摩托车行驶 多少千米? 2 摩托车每行驶100千米消耗 多少升汽油?

3 油箱中的剩余油量小于1升 时,摩托车将自动报警, 行驶多少千米后,摩托车 将自动报警?
0
100 200 300 400 500

x/千米

例5. 某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携 带一定重量的行李,如果超过规定,则需要购 买行李票,行李票费用y(元)是行李重量x(公 斤)的一次函数,图象如图所示 求:(1)从图中可以获取哪些信息 (2)旅客最多可免费携带行李的公斤数.
Y(元)

10 6

x (公斤)

A

60

80

例7. 某医药研究所开发了一种新药,在实验药效时发现,如果成人按规定剂 量服用,那么每毫升血液中含药量y(微克)随时间x(时)变化情况如图所示,当 成人按规定剂量服药后. (1)服药后 时,血液中含药量最高,达每毫升 微克 微克,接着逐步衰减.

(2)服药后5时,血液中含药量为每毫升 (3)当x≤2时,y与x之间的函数关系式是 (4)当x≥2时,y与x之间的函数关系式是

(5)如果每毫克血液中含药量度微克或3微克以上时,治疗疾病最有效, 那么这个有效时间范围是 时

y/ 微克 6 3 o

2

5

x/小时

例8.我边防局接到情报,近海处有一可疑船只A正
向公海方向行驶,边防局迅速派出快艇B追赶(如 图所示)。图中 L1 ,L2 分别表示两船相对于海 岸的距离s(海里)与追赶时间t(分)之间的关系
根据图象回答下列问题 s/海里 1 ) 哪条线表示B到海岸的距离与 追赶时间之间的关系? L2 2) A,B哪个速度快 L1 3) 15分内B能否追上A? 4)如果一直追下去, 那么B能否追上A? 5)当A逃到离海岸12海 里时,B将无法对其进行 t/ 检查。照此速度,B能否 分 在A逃入公海前将其拦截?

8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

例9. 一农民带上若干千克自产的土豆进城出售,为了方便,他带了

一些零钱备用,按市场价售出一些后,又降价出售,售出的土豆千克 数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回 答下列问题. (1)农民自带的零钱是多少? (2)试求降价前y与x之间的关系式 (3)由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少? (4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备 用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆?

例10.如图所示, L1 反映了某公司产品的销售收入与销 售量的关系,L2 反映了该公司产品的销售成本与销售量 的关系,根据图意填空: ( 4 )当销售量 ——— 时,该公司 ( 1 )当销售量为 2 吨时, ( 2 )当销售量为 6 吨时, ( 5) 对应的函数表达式 赢利(收入大于成本);当销售 ( 3)当销售量等于 ——— 时, 销售收入 = ———— 元, 销售收入 = ———— 元, 是 —————— , 量 ——— 时,该公司亏损(收入 y/元 销售收入等于销售成本 销售成本 =———— ———— 元 L 1 6000 小于成本) 销售成本 = 元 对应的函数表达式 5000 L2 是 ——————

l

1

l

2

4000 3000 2000 1000

1

2

3

4

5

6

x/ 吨

例11 .如图,已知A
地在B地正南方3千米处 ,甲乙两人同时分别从 A、B两地向正北方向匀 速直行,他们与A地的 距离S(千米)与所行 的时间t(小时)之间 的函数关系图象如图所 示的AC和BD给出,当他 们行走3小时后,他们 之间的距离为多少千米 ?

例12.如图是某出租车单程收费y(元)与行驶路程x(千米)之 间的函数关系图象,根据图象回答下列问题 (1)当行使8千米时,收费应为 元 (2)从图象上你能获得哪些信息?(请写出2条) (3)求出收费y(元)与行使x(千米)(x≥3)之间的函数关系

两直线与y轴所围三角形的面积 例13:求直线y=2x-7,直线 与y轴所围 成三角形的面积. 析解:如图3, 直线y=2x-7,直线
与y轴所围成三角形为△ABC,过点A作AD⊥y轴, 垂足为D.易求A点坐标为(3,-1),B点坐标 为 ,C点坐标为(0,-7),则

,AD=3,所以


提高拓展
1.A市和B市分别有某种库存机器12台和6台,现决定支援C村 10台,D村8台.已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分 别是400元和800元,从B市调运一台机器到运费分别是300元 和500元. (1)设B市运往C村机器x台,求总运费W关于x的函数关系式; (2)若要求总运费不超过9000元,共有几种方案; (3)求出总运费最低的方案,最低运费是多少? 分析:由已知条件分析得下表: 库存机器 B市 A市 6台 12台 支援C村 x台 (10-x)台 支援D村 (6-x)台 [8-(6-x)]台

解:(1)依题意得 W=300x+500(6-x)+400(10-x)+800[8-(6-x)] =200x+8600(0≤x≤6且x为整数) ∴W与x的函数关系式为W=200x+8600(0≤x≤6且x为整数) (2)由W=200x+8600≤9000,得x≤2 又∵x为整数,∴x可以取0,1,2三个数,共有三种调运方案. (3)∵W=200x+8600是一次函数,且k=200>0,W随x的增大而 增大, ∴当x取最小值时,W最小,即当x=0时, W最小值=2000+8600=8600(元) ∴当从A市调运10台给C村,调2台给D村,从B市调6台给D村时, 总运费最低,最低运费是8600元.

2.某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品,经过市场

调查发现,如果月初出售可获利15%,并可用本利和再投资 其他商品,到月末又可获利10%;如果月末出售可获利30%, 但要付仓储费用700元,问他如何销售获利较多?
解:设商场计划投资x元,在月初出售共获利y1元,在月末出售共
获利y2元,根据题意,得 y1=15%x+(x+15%x)· 10%=0.265x,y2=30%x-700=0.3x-700. ∴y1-y2=0.265x-(0.3x-700)=700-0.035x. ①当y1-y2=0时,有700-0.035x=0,∴x=20000. ∵当x=20000时,两种销售方式获利一样多. ②当y1-y2>0时,有700-0.035x>0,∴x<20000.

∴当x<20000时,y1>y2.即月初出售获利较多.
③当y1-y2<0时,有700-0.035x<0,∴x>20000. ∴当x>20000时,y1<y2.即月末出售获利较多.

3.我国是世办上严重缺水的国家之一。为了增强居民的节水 意识,某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费 的办法收费。即一月用水10吨以内(包括10吨)用户,每吨 收水费a元,一月用水超过10吨的用户,超过部分每吨按b 元(b>a)收费。设一户居民月用水x吨,水费y与x之间的 函数关系如图所示。 (1)求a的值,若某户上月 y(元) 用水8吨,应收水费多少元? 3 (2)求b值,并写出当x大 5 于10时,y与x的函数关系式 (3)已知居民甲上月比居 15 民乙多用水4吨,两家共收 费46元,求他们上月分 0 10 20 别用水多少吨? x(吨)

解:(1)当x≤10时,有y=ax.将x=10,y=15代入,得 a=1.5 用8吨水应收水费8×1.5=12(元) (2)当x>10时,y=b(x-10)+15 将x=20,y=35代入,得35=10b+15 b=2 故当x>10时,y=2x-5 (3)因1.5×10+1.5×10+2×4<46, 所以甲乙两家上月用水均超过10吨.设甲乙两家上 月用水分别为x吨,y吨,则

{

y=x-4 2y-5+2x-5=46 解得

{

x=16 y=12

故居民甲上月用水16吨,居民乙上月用水12吨.

课时小结
本节课主要应掌握以下内容: 1.能通过函数图象获取信息. 2.能利用函数图象及性质解决简单的实际 问题. 3.分段函数 、函数与三角形面积


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