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《圆锥曲线与方程》单元测试卷、答案


单元测试卷 《 圆 锥 曲 线 与 方 程 》 单元测试卷
(本大题共 小题, 一、选择题: 本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.) 选择题: (
1.方程 x =

3 y 2 ? 1 所表示的曲线是





(A)双曲线 (B)椭圆 (C)双曲线的一部分

(D)椭圆的一部分 2.平面内两定点 A、B 及动点 P,设命题甲是: “|PA|+|PB|是定值” ,命题乙是: “点 P 的轨迹是以 A.B 为 焦点的椭圆” ,那么 ( ) (A)甲是乙成立的充分不必要条件 (B)甲是乙成立的必要不充分条件 (C)甲是乙成立的充要条件 (D)甲是乙成立的非充分非必要条件 3.椭圆

x2 y2 x2 y2 + 2 = 1 与双曲线 ? = 1 有相同的焦点,则 a 的值是 4 a a 2
(D)1





1 1 (B)1 或–2 (C)1 或 (A) 2 2 4.若抛物线的准线方程为 x=–7, 则抛物线的标准方程为 2 2 2 (A)x =–28y (B)y =28x (C)y =–28x


2



(D)x =28y

5.已知椭圆

x2 y 2 + = 1 上的一点 M 到焦点 F1 的距离为 2,N 是 MF1 的中点,O 为原点,则|ON|等于 25 9
(B) 4 (C) 8 (D)

(A)2

3 2





6.顶点在原点,以 x 轴为对称轴的抛物线上一点的横坐标为 6,此点到焦点的距离等于 10,则抛物线焦点 到准线的距离等于 ( ) (A) 4 (B)8 (C)16 (D)32 7. F1 F2 为双曲线 (A) 2

x2 ? y 2 = ?1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且 ∠F1 PF2 = 90 o ,则 ?F1PF2 的面积是 4
(B)4 (C)8 (D)16 ( )

x2 y 2 8.过点 P(4,4)与双曲线 ? = 1 只有一个公共点的直线有几条 16 9
(A) 1 (B) 2 (C)3 (D)4





9、 已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F ( 7 ,0) , 直线 y = x ? 1 与其交于 M、N 两点, MN 中 点的横坐标为 ?
2 ,则此双曲线的方程是 3
( )

x2 y2 ? =1 (A) 3 4

x2 y2 ? =1 (B) 4 3

x2 y2 ? =1 (C) 5 2

(D)

x2 y2 ? =1 2 5

x2 y2 10.若椭圆 2 + 2 = 1 , AA′ 为长轴, BB′ 为短轴, F 为靠近 A 点的焦点,若 B ' F ⊥ AB ,则此椭圆的 a b
离心率为 ( )

(A)

5 ?1 2

(B)

3 ?1 2

(C)
1

1 2

(D)

2 2

小题, 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。) 填空题:
x2 y2
11.已知 P 是椭圆 + = 1 上一点,以点 P 以及焦点 F1、F2 为顶点的三角形的面积等于 8, 则点 P 的横 25 9 坐标是 。
2

12. y = kx ? 2 交抛物线 y = 8 x 于 A,B 两点,若 AB 中点的横坐标是 2,则 AB = 13.经过点 P(4,–2)的抛物线的标准方程为 .

.

14.圆心在抛物线 x 2 = 2 y ( x > 0) 上,并且与抛物线的准线及 y 轴都相切的圆的方程是

.

(本大题共 小题, 解答应写出文字说明,或演算步骤) 三、解答题: 本大题共 4 小题,共 44 分。解答应写出文字说明,或演算步骤) 解答题: ( x2 y 2 ? = 1 有共同的渐近线,并且经过点 ( 3, ?4) 的双曲线方程. ( 8′ ) 9 3
Q 双 曲 线 经 过 点 ( 3, ?4)

15.求与双曲线

x2 y2 ? = λ ( λ ≠ 0) 3 解:由题意可设所求双曲线方程为: 9



λ=

( 3) 2 ( ?4) 2 ? = ?5 9 3

y2 x2 ? =1 ∴所求双曲线方程为: 15 45

2 2 16. 已知椭圆 x + y = 1 ,P 为该椭圆上一点. ( 10′ ) 25 16 (1)若 P 到左焦点的距离为 3,求到右准线的距离;

(2)如果 F1 为左焦点,F2 为右焦点,并且 PF1 ? PF2 = 2 ,求 tan ∠F1 PF2 的值. 解:(1)由方程知,a=5,b=4,则 c=3,e = 3 .
5

Q P 到左焦点的距离为 3,则 P 到左准线的距离为 d1 = PF1 = 5 ,
e

50 35 又两准线间距离为 2a = 50 ,∴P 到右准线的距离为 . ?5 = 3 3 c 3
(2)由椭圆定义得 PF1 + PF2 = 2a = 10 …①; 又 PF1 ? PF2 = 2 …②, 由①,②联立可解得 PF1 = 11 , PF2 = 9 ;在 ?F1 PF2
2 2

2

中, F1 F2 = 2c = 6 ,
PF1 + PF2 ? F1 F2
2 2 2

∴ cos ∠F PF = 1 2

2 PF1 PF2

=

29 , 99

∵ ∠F1 PF2 为锐角, sin ∠F1PF2 = 16 35 , 99 ∴ tan ∠F1 PF2 = 16 35 29
2

17.已知圆锥曲线 C1 的一个焦点为 F (1,0) ,对应这个焦点的准线方程为 x = ?1 ,又曲线过 P( 3,2 3 ) , 其离心率 e = AB 是过 F 的此圆锥曲线的弦; 圆锥曲线 C2 中心在原点, (1)求圆锥曲线 C1 和 C2 的方程。 (2)当 AB 不超过 8,且此弦所在的直线与圆锥曲线 C2 有公共点时,求直线 AB 的倾斜角 θ 的取值范围。 解:⑴过 P 作直线 x=-1 的垂线段 PN.Q PN = PF = 4,∴ 曲线 C1 是以 F (1, 0) 为焦点,x=-1 为准线的抛物 线,且 p = 2 .∴ 曲线 C1: y = 4 x ;
2

1 3 , 一条准线的方程是 y = .( 12′ ) 3 e

依题意知圆锥曲线 C2 为椭圆,

c 3 a2 3 2 2 = , = 3 ∴ a = 1, c = , b = .又其焦点在 y 轴上,∴ 圆锥曲 a 3 c 3 3

3x 2 线 C2 : + y2 = 1 2
(2)设直线 AB: x = my + 1( m ∈ R ) , A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) .由抛物线定义得: AB = x1 + x2 + 2 ,

? x = my +1 ? 6m 2 。 又由 ? 3 x 2 2 得 (3m 2 + 2) y 2 + 6my + 1 = 0 ,其 ? = 24m ? 8 ≥ 0 时, x1 + x2 = ? 3m 2 + 2 ? 2 + y =1 ?
依题意有 ? 24 m

? ?

2

? 0<? 3m2 + 2 + 2≤8 ?

?8 ≥ 0 6m

即m ≥

3 3 1 或m ≤ ,则 ( k AB = )0 < k AB ≤ 3或- 3 ≤ k AB < 0 3 3 m

π 2π ∴ 直线 AB 的倾斜角 θ ∈ (0, ] ∪ [ , π ) 。 3 3
18. 已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点 M (1, 2 ) ,它们在 x 轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐 标轴,抛物线的顶点为坐标原点. ( 12′ ) (1)求这三条曲线的方程; (2)已知动直线 l 过点 P ( 3,0 ) ,交抛物线于 A, B 两点,是否存在垂直于 x 轴的直线 l ′ 被以 AP 为直径的圆 截得的弦长为定值?若存在,求出 l ′ 的方程;若不存在,说明理由. 解: (Ⅰ)设抛物线方程为 y 2 = 2 px ( p > 0 ) ,将 M (1, 2 ) 代入方程得 p = 2



抛物线方程为: y 2 = 4 x ………………………………………………(1 分)
∴ c=1 …………………(2 分)
2

由题意知椭圆、双曲线的焦点为 F ( ?1,0 )1 , F2 (1,0 ) , 对于椭圆, 2a = MF1 + MF2 =

(1 + 1)

2

+ 22 +

(1 ? 1)

+4 =2+2 2

3

∴ ∴ ∴ ∴

a =1+ 2 a2 = 1 + 2

(

)

2

= 3+ 2 2
………………………………(4 分)

b2 = a 2 ? c 2 = 2 + 2 2 x2 椭圆方程为: 3+ 2 2 + y2 2+2 2 =1

对于双曲线, 2a′ = MF1 ? MF2 = 2 2 ? 2

∴ ∴ ∴ ∴

a′ = 2 ? 1 a ′2 = 3 ? 2 2 b′ 2 = c ′ 2 ? a ′ 2 = 2 2 ? 2 x2 双曲线方程为: 3? 2 2 ? y2 2 2 ?2 =1
………………………………(6 分)

(Ⅱ)设 AP 的中点为 C , l ′ 的方程为: x = a ,以 AP 为直径的圆交 l ′ 于 D, E 两点, DE 中点为 H 令 A ( x1 , y1 ) ,

? x + 3 y1 ? ∴ C? 1 , ? ………………………………………………(7 分) 2? ? 2



DC =

1 1 2 AP = ( x1 ? 3) + y12 2 2 x +3 1 CH = 1 ? a = ( x1 ? 2a ) + 3 2 2
2 2 1? 2 1 ( x1 ? 3) + y12 ? ? ?( x1 ? 2a ) + 3? ? ? ? 4 4? 2 = ( a - 2 ) x1 ? a + 3a 2 2 2



DH = DC ? CH =

当a = 2时, DH = ?4 + 6 = 2为定值; ∴ DE = 2 DH = 2 2为定值 此时l ′的方程为: x = 2

4


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