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广东省执信中学2012-2013学年高一上学期期末数学试题(word版含答案)


2012-2013 学年度第一学期

高一级数学科期末考试试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分为 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项:1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封 线内相应的位置上,用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。 2、选择题每小题选出答案后,用

2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案;不能答在试卷上。 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答,答案必须写在答卷纸各题目指定 区域内的相应位置上,超出指定区域的答案无效;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 M ? x 0 ? x ? 3 , N ? x x ? 2k ? 1, k ? Z , 则图中阴影部分表示的集合是 ( * ) A. ? C. ? ,3? 1 B. ? ? 1 D. ? ,1,3? 0

第一部分选择题(共

?

?

?

?

M

N

2.下列函数中是偶函数且在(0,1)上单调递减的是( *** )
1

A. y ? x

3

B. y ? x

2

C. y ? x 2

D. y ? x ( * )

?2

3.下列对一组数据的分析,不正确的说法是

A.数据标准差越小,样本数据分布越集中、稳定. B.数据平均数越小,样本数据分布越集中、稳定 C.数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定 D.数据方差越小,样本数据分布越集中、稳定 2 4.函数 f(x)=lnx- 的零点一定位于区间( ) x 1 A.( ,1)

e

B.(1,2)

C.(2,e)

D.(e,3)

5.一个不透明的盒子里有质地、大小完全相同的 5 个球,编号分别为 1,2,3,4,5,甲、 乙两人玩一种游戏: 甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号, 如果 两个编号的和为偶数算甲赢, 否则算乙赢.那么甲赢的概率是( * ) A.

13 25

B.

12 25

C.

1 2

D.以上均不对

6.右图是 2006 年中央电视台举办的挑战主持人大 赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图, 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数
第 1 页 共 8 页

7 8 9

9 4 4 64 7 4 3

和方差分别为( * ). A. 84 , 4.84 B. 84 , 1.6 C. 85 , 1.6 D. 85 , 4 7.右图给出的是计算

1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 的值的一个 2 4 6 16
C. i ? 16 D. i ? 16

程序框图,其中判断框内应填入的条件是 ( * ) A. i ? 8 B. i ? 8 8.在等比数列 {an} 中, a5a7 ? 2, a2 ? a10 ? 3, 则

a12 =( * ) a4
B.
1 2 1 2 1 2
) 第7题

A.2 C.2 或

D.-2 或 -

9. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c ,且 f ( ?3) ? f (1) .则( *

A. f (1) ? c ? f ( ?1) C. f (1) ? f ( ?1) ? c

B. f (1) ? c ? f ( ?1) D. f (1) ? f ( ?1) ? c
* )

10.若函数 f ( x ) ? ?a ? 2 x 与 f ( x) ? 4 x ? a ? 1 的图象有交点,则 a 的取值范围是(

A.
C.

a ?2?2 2 或 a ?2?2 2 ?1 ? a ? 2 ? 2 2

B. D.

a ? ?1

a ?2?2 2

第二部分非选择题 (共 100 分)
二.填空题:本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分. 把答案填在答卷的相应位置. 11. 计算: log3 27 ? lg 25 ? lg 4 ? 7
log7 2

? (?9.8)0 =***** .

12.某高中高一、高二、高三在校学生人数分别为 900 、1000 、1100 ,现要从中抽取120 名学生参加周末公益活动,若用分层抽样的方法,则高三年级应抽取 *****人. 13.设 f (x) 是定义在R上的奇函数,且满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,则 f (?2) ? *** .

14.已知等差数列 ?a n ?中, a2 ? 6, a5 ? 15 ,若 bn ? a2 n ,则数列 ?bn ?的前5项和等于***. 15.函数 y ?

log 1 (4 x ? 3) 的定义域是 *** .
2

16.在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是 1 颗珠宝, 第二件首饰 是由 6 颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图 1 所示的正六边形, 第三件首饰如图 2, 第四 件首饰如图 3, 第五件首饰如图 4, 以 后 每 件 首 饰 都 在 前 一 件 上 , 按 照 这 种 规 律 增 加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六变形,依 此推断第 n件首饰所用珠宝数 为 *****颗.

第 2 页 共 8 页

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 为等差数列,且 a1 ? 2 , a1 ? a2 ? a3
a

? 12 .

(1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 令 bn ? 3 n ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列. (3)令 cn ?

1 ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn . an an?1

18. (本小题满分 12 分)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,将其某科 成绩(是不小于 40 不大于 100 的整数)分成六 段 ?40,50? ,?50,60? … ?90,100? 后画出如下频率 分布直方图,根据图形中所给的信息,回答以下 问题: (1)求第四小组 ?70,80? 的频率. (2)求样本的众数. (3) 观察频率分布直方图图形的信息,估计 这次考试的及格率(60 分及以上为及格)和平 均分.

19. (本小题满分 12 分)已知:函数 f ( x) 是 R 上的增函数,且过 (?3,?1) 和 (1,2) 两点,集合 A ? ?x | f ( x) ? ?1或f ( x) ? 2? ,关于 x 的不等 式 ( )2 x ? 2? a ? x (a ?R) 的解集为 B . (1)求集合 A; (2)求使 A ? B ? B 成立的实数 a 的取值范围.

1 2

2 20. (本小题满分 10 分)设 f (x) ? 4x ? 4ax ? 3a ? 4(a ? R) ,若方程 f ( x) ? 0 有两个

均小于 2 的不同的实数根,则此时关于 x 的不等式 (a ? 1) x ? ax ? a ? 1 ? 0 是否对一切实
2

数 x 都成立?并说明理由。
第 3 页 共 8 页

21. (本小题满分 12 分)已知甲、乙两个工厂在今年的 1 月份的利润都是 6 万,且乙厂在 2 月份的利润是 8 万元.若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份 x 之间的函数关系式分别

3 符合下列函数模型:f(x)=a1x2—4x+6,g(x)=a2 ? +b2(a1,a2,b2∈R).
x

(1)求函数 f(x)与 g(x)的解析式; (2)求甲、乙两个工厂今年 5 月份的利润; (3)在同一直角坐标系下画出函数 f(x)与 g(x)的草图,并根据草图比较今年 1—10 月份甲、 乙两个工厂的利润的大小情况.

22. (本小题满分 12 分)设数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 ? 1 , 数, c ? 1, n ? N ),且 a1 , a2 , a3 成等差数列. (1) 求 c 的值; (2) 求数列 ?an ?的通项公式; (3) 若数列 ? n ? 是首项为 1,公比为 c 的等比数列,记 b
?

Sn ?1 n ? c ( c 为常 ? Sn n

n?1 An ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ? ? an bn , Bn ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? ? ? ?? 1? an bn , n ? N ?

.求证: A2n ? 3B2n ? ?4 , n ? N ). (

?

第 4 页 共 8 页

2012-2013 学年度第一学期

高一级数学科期末试题答案
一、选择题:一、C DBCA 二、填空题:11. 三、解答题 17.解. (1)∵数列 ?an ? 为等差数列,设公差为 d , 由 a1 ? 2, a1 ? a2 ? a3 ? 12 ,得 3a 2 ? 12 , a 2 ? 4 , ∴d ? 2 , …………………… 3 分 …………………… 4 分 …………………… 5 分 ……………… 1 分 C ACBD 12.44; 13.0; 14.90; 15.; ? ,1? ; 16. 2n 2 ? n

13 ; 2

?3 ? ?4 ?

an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n .
(2)∵ bn ? 3 ∴
an

? 32 n ? 9 n ,


bn?1 9 n?1 ? n ?9 bn 9

…………………… 6 分

∴数列 ?bn ? 是首项为 9,公比为 9 的等比数列 . (3)∵ cn ?

…………………… 8 分

1 , an ? 2n , an an?1
…………… 10 分



cn ?

1 1 1 1 ? ( ? ) 2n ? 2(n ? 1) 4 n n ? 1

∴ Sn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? … ? ( ? ) ? (1 ? ) ……… 12 分 4 2 4 2 3 4 n n ?1 4 n ?1
第 5 页 共 8 页

18.解: (1)因为各组的频率和等于 1,故第四组的频率:

f4 ? 1 ? (0.025 ? 0.015 ? 2 ? 0.01 ? 0.005) ?10 ? 0.3
(2)样本的众数是 75. (3)依题意,60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组, 频率和为 (0.015 ? 0.03 ? 0.025 ? 0.005) ?10 ? 0.75 所以,抽样学生成绩的及格率是 75 %.. 利用组中值估算抽样学生的平均分 45 ? f1 ? 55 ? f 2 ? 65 ? f3 ? 75 ? f 4 ? 85 ? f5 ? 95 ? f6 = 45 ? 0.1 ? 55 ? 0.15 ? 65 ? 0.15 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.25 ? 95 ? 0.05 =71 估计这次考试的平均分是 71 分 19. 解:由 A ? ?x ? 1 ? f ( x)或f ( x) ? 2}得 f (?3) ? f ( x)或f ( x) ? f (1)
解得 x ? ?3或x ? 1 ,于是 A ? (??, ?3) ? (1, ??) 4分

又(

1 2x 1 1 ) ? 2?a? x ? ( )2 x ? ( )a? x ? 2 x ? a ? x ? x ? a , 2 2 2
8分

所以 B ? (??, a )

A ? B ? B, 所以B ? A ,所以 a ? ?3 , 即 a 的取值范围是 (??, ?3] . 12 分
因为

?? ? 16a 2 ? 16(3a ? 4) ? 0 ? ?a 20 解: 由题意得 ? ? 2 ?2 ? f (2) ? 16 ? 8a ? 3a ? 4 ? 0 ? 得 a ? ?1 ; ……………………5 分
2

………………3 分

若 (a ? 1) x ? ax ? a ? 1 ? 0 对任意实数 x 都成立,则有: (1)若 a ? 1 =0,即 a ? ?1 ,则不等式化为 x ? 2 ? 0 不合题意……………………6 分 (2)若 a ? 1 ? 0,则有 ?

?a ? 1 ? 0
2 ?a ? 4(a ? 1)(a ? 1) ? 0

……………………8 分

得a ? ?

2 3 , 3

…………………9 分

综上可知,只有在 a ? ?

2 3 2 时, (a ? 1) x ? ax ? a ? 1 ? 0 才对任意实数 x 都成立。 3

第 6 页 共 8 页

∴这时 (a ? 1) x 2 ? ax ? a ? 1 ? 0 不对任意实数 x 都成立

……………10 分

21.解:(1)依题意:由 f(1)=6,解得:a1=4, ∴f(x)=4x2-4x+6.
?g?1?=6 ?3a2+b2=6 ? ? 由? ,有? , ? ? ?g?2?=8 ?9a2+b2=8

1 解得 a2= ,b2=5, 3

1 - ∴g(x)= ×3x+5=3x 1+5. 3

(2)由(1)知甲厂在今年 5 月份的利润为 f(5)=86 万元,乙厂在今年 5 月份的利润为 g(5)=86 万元,故有 f(5)=g(5),即甲、乙两个工厂今年 5 月份的利润相等. (3)作函数图像如下:

从图中可以看出今年 1—10 月份甲、乙两个工厂的利润: 当 x=1 或 x=5 时,有 f(x)=g(x); 当 1<x<5 时,有 f(x)>g(x); 当 5<x≤10 时, 有 f(x)<g(x). 22.解:(1)∵ S1 ? 1 ,

c Sn ?1 n ? c ,∴ an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? Sn , ? n Sn n c c ∴ a1 ? S1 ? 1, a2 ? cS1 ? c, a3 ? S 2 ? (1 ? c ) . 2 2 c(1 ? c) 2 ∵ a1 , a2 , a3 成等差数列,∴ 2a2 ? a1 ? a3 ,即 2c ? 1 ? ,∴ c ? 3c ? 2 ? 0 . 2 解得 c ? 2 ,或 c ? 1 (舍去) .…………4 分
2 ) ∵



S1 ? 1



Sn ?1 n ? 2 ? Sn n





Sn ? S1 ?

S S2 3 4 n ? 1 n(n ? 1) ??? n ? 1? ? ??? ? (n ? 2) , S1 Sn?1 1 2 n ?1 2
n(n ? 1) n(n ? 1) ? ? n(n ? 2) , 2 2

∴ an ? S n ? S n ?1 ?

又 a1 ? 1 ,∴数列 ?an ? 的通项公式是 an ? n(n ?N? ) .…………7 分

第 7 页 共 8 页

(3)证明:∵数列 ?bn ? 是首项为1,公比为 c ? 2 的等比数列,∴ bn ? 2n?1 . 又 an ? n(n ?N? ) ,所以

A2n ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? ?? 2n ? 22n?1 B2n ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? ?? 2n ? 22n?1
将①乘以 2 得: 2 A2n ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? ?? 2n ? 22n ①-③得: ? A2 n ? 2 ? 2 ? ? ? 2
0 1 2 n ?1

① ② ③

? 2n ? 2 2 n ?

1(1 ? 22 n ) ? 2n ? 2 2 n , 1? 2

整理得: A2n ? 4n (2n ?1) ? 1 将②乘以 ?2 得: ②-④整理得:

?2B2n ? ?1? 21 ? 2 ? 22 ??? 2n ? 22n



3B2 n ? 20 ? 21 ? 22 ? ? ? 22 n?1 ? 2n ? 22 n ?


1(1 ? 22 n ) 1 ? 4n ? 2n ? 2 2 n ? ? 2n ? 4 n 1 ? (?2) 3

A2 n ? 3B2 n ?

4 (1 ? 4n ) 3

? A2 n ? 3B2 n ?

4 4 (1 ? 4n ) ? (1 ? 41 ) ? ?4 ……12 3 3

第 8 页 共 8 页


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