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江苏省范水高级中学高三第一轮复习训练题数学(12)(直线和圆的方程)


2007-2008 学年度南昌市高三第一轮复习训练题

数学(十二) (直线和圆的方程)
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1 在直角坐标系中,直线 3x ? y ? 3 ? 0 的倾斜角是 A.

? 6
B. [0,
<

br />B.

? 3
C. [0,

C.

5? 6
D. [0,

D.

2? 3

2.直线 l 经过 A(2,1) 、B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线 l 的倾斜角的取值范围是 A. [0, ? )

?

3 ] ? [ ? ,? ) 4 4

?
4

]

?

] ? ( ,? ) 4 2

?

3. 若直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 x ? y ? 2 ? 0 互相垂直,那么 a 的值等于

1 2 C. ? D. ? 2 3 3 4. 若 圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上至少有 三个不同点 到直线 l : ax ? by ? 0 的距离 为
A.1 B. ?

2 2 ,则直线 l 的倾斜角的取值范围是 ? ? ? 5? ? ? A.[ , ] B.[ , ] C.[ , ] 12 4 12 12 6 3

D. [0,

?
2

]

5. M ( x0 , y0 ) 为圆 x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 内异于圆心的一点, 则直线 x0 x ? y0 y ? a 2 与该圆的位置 关系为 A.相切
1

B.相交

C.相离

D.相切或相交

6. 已知直线 l 的方程为 y ? x ,直线 l2 的方程为 ax ? y ? 0 ( a 为实数) .当直线 l1 与直线 l2 的夹角在(0,
?
12

)之间变动时, a 的取值范围是

A.(

3 3 ,1)∪(1, 3 ) B.( , 3 3

3

) C.(0,1) D.(1, 3 )

7.若点(5,b)在两条平行直线 6x-8y+1=0 与 3x-4y+5=0 之间,则整数 b 的值为 A.5 B.-5 C.4 D.-4

?x ? y ?1 ? 0 ? 8.如果实数 x、 y 满足条件 ? y ? 1 ? 0 ?x ? y ?1 ? 0 ?
A. 2 B. 1 C.

,那么 4 ( ) 的最大值为

x

1 2

y

1 1 D. 2 4 2 2 9.设直线过点 (0, a), 其斜率为 1,且与圆 x ? y ? 2 相切,则 a 的值为
A. ?4 B. ?2 2 C. ?2 D. ? 2

10.平面 ? 的斜线 AB 交 ? 于点 B ,过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直,且交 ? 于点 C ,则 动点 C 的轨迹是

A.一条直线
2 2

B.一个圆

C.一个椭圆

D.双曲线的一支

11.已知圆 C : x ? y ? 1 ,点 A (-2,0)及点 B (2, a ) ,从 A 点观察 B 点,要使视线 不被圆 C 挡住,则 a 的取值范围是 A.(-∞,-1)∪(-1,+∞) C.(-∞, ?
4 4 3 )∪( 3 ,+∞) 3 3

B.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-4)∪(4,+∞)

12. 在圆 x2+y2=5x 内, 过点 ( , ) 有 n 条弦的长度成等差数列, 最小弦长为数列的首项 a1,

5 3 2 2 1 1 最大弦长为 an,若公差 d ? [ , ] ,那么 n 的取值集合为 6 3
A.{4,5,6,7} B.{4,5,6} 3 4 5

C.{3,4,5,6} 6 7 8

D. {3,4,5} 9 10 11 12

题号 答案

1

2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上。 13.已知变量 x,y 满足约束条件 1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2.若目标函数 z=ax+y(其中 a>0)仅在点 (3,1)处取得最大值,则 a 的取值范围为___________ 14.过点 M (1,2)的直线 l 将圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 9 分成两段弧,其中的劣弧最短时,l 的方程 为 . 15 .已知圆 ( x ? 2 3)2 ? ( y ? 2) 2 ? 16 与 y 轴交于 A,B 两点,与 x 轴的另一个交点为 P ,则 . 16.已知圆 M: (x+cos?)2+(y-sin?)2=1, 直线 l:y=kx,下面四个命题: (A) 对任意实数 k 与?,直线 l 和圆 M 相切; (B) 对任意实数 k 与?,直线 l 和圆 M 有公共点; (C) 对任意实数?,必存在实数 k,使得直线 l 与和圆 M 相切 (D)对任意实数 k,必存在实数?,使得直线 l 与和圆 M 相切 其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.已知点 A(2, 0), B(0, 6),坐标原点 O 关于直线 AB 的对称点为 D, 延长 BD 到 P, 且 |PD|=2|BD|.已知直线 l:ax+10y+84-108 3 =0 经过 P, 求直线 l 的倾斜角。 18.圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0,过坐标原点作长为 8 的弦,求弦所在的直线方程。 19.已知定点 A(0,1),B(0,-1),C(1,0)。动点 P 满足: AP ? BP ? k | PC |2 。 (1)求动点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的曲线;(2)当 k ? 2时, 求 | 2 AP ? BP | 的最大值 和最小值。 20.设有半径为 3 km 的圆形村落, A 、 B 两人同时从村落中心出发, B 向北直行, A 先向 东直行,出村后不久,改变前进方向,沿着与村落周界相切的直线前进,后来恰与 B 相遇. 设 A 、 B 两人速度一定,其速度比为 3 :1 ,问两人在何处相遇?

?APB ?

21.已知圆 C: x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ,是否存在斜率为 1 的直线 l,使 l 被圆 C 截得 的弦 AB 为直径的圆过原点,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在说明理由。 22. 如图, 已知: 射线 OA 为 y ? kx (k ? 0, x ? 0) , 射线 OB 为 y ? ?kx ( x ? 0) , 动点 P( x, y) 在 ?AOX 的内部,PM ? OA 于 M ,PN ? OB 于 N , 四边形 ONPM 的面积恰为 k . (1)当 k 为定值时,动点 P 的纵坐标 y 是横坐标 x 的函数,求这个函数 y ? f ( x) 的解 析式; (2)根据 k 的取值范围,确定 y ? f ( x) 的定义域. y M A

P

O N B

x

2007-2008 学年度范水高级中学高三第一轮复习训练题
数学(十二)参考答案 一、1.C 2.D 3.D 4.B 5.C 二、13. a ? 1 14. x ? 2 y ? 3 ? 0 6.A 7.C 8.A 9.C 10.A 11.C 12.A
0

15. 30

16. (B) (D)

三、17.解:设 D 点的坐标为(x0, y0),∵直线 AB:

x y ? ? 1, 即 3x+y 2 6

—6=0,

? y0 1 1 ? ? 18 6 18 6 ? kOD ? ? ? k AB , 即 ? x0 3 即D( , ) . ∴? . 解得 x0= ,y0= , 5 5 5 5 ?3x ? y ? 12 ? 0 ? 0 ?3 x0 ? y0 ? 6 ? 0 ? 0 BP 3 54 42 ? ? . ∴由定比分点公式得 xp= , yp ? ? 由|PD|=2|BD|, 得λ = . PD 2 5 5 54 42 ,? )代入 l 的方程, 得 a=10 3 . ∴k1= - 3 . 故得直线 l 的倾斜角为 120° 将 P( 5 5
18.解:x2+y2-6x-8y=0 即(x-3)2+(y-4)2=25,设所求直线为 y=kx。 ∵圆半径为 5,圆心 M(3,4)到该直线距离为 3, ∴ d ?
2 2 ∴ 9k ? 24k ? 16 ? 9(k ? 1) ,∴ k ?

| 3k ? 4 | k 2 ?1

? 3,

7 7 x 或 x ? 0。 。 ∴所求直线为 y ? 24 24

19.解:(1)设动点的坐标为 P(x,y),则 AP =(x,y-1), BP =(x,y+1), PC =(1-x,-y)

BP =k| PC |2,∴x2+y2-1=k[(x-1)2+y2] 即(1-k)x2+(1-k)y2+2kx-k-1=0。 ∵ AP ·
若 k=1,则方程为 x=1,表示过点(1,0)是平行于 y 轴的直线。 若 k≠1,则方程化为: ( x ?

k 2 1 2 ) ? y2 ? ( ) , 1? k 1? k

表示以(-

k 1 ,0)为圆心,以 为半径的圆。 1? k |1 ? k |

(2)当 k=2 时,方程化为(x-2)2+y2=1。∵2 AP + BP =2(x,y-1)+(x,y+1)=(3x,3y-1),
2 2 ∴|2 AP + BP |= 9 x ? 9 y ? 6 y ? 1 。又 x2+y2=4x-3,

∴|2 AP + BP |= 36x ? 6 y ? 26

∵(x-2)2+y2=1,∴令 x=2+cosθ,y=sinθ。

则 36x-6y-26=36cosθ-6sinθ+46=6 37 cos(θ+φ)+46∈[46-6 37 ,46+6 37 ], ∴|2 AP + BP |max =

46 ? 6 37 = 3 + 37 , |2 AP + BP |min =
y Q R

46 ? 6 37 = 37 -3。
20.解:如图建立平面直角坐标系,由题意可设 A、B 两人速度分别为 3v 千米/小时 ,v 千米/小时,再设 A 出发 x0 小时,在点 P 改变方向,又经 过 y0 小时,在点 Q 处与 B 相遇. 则 P、Q 两点坐标为(3vx0, 0) , (0,vx0+vy0). 2 2 2 由|OP| +|OQ| =|PQ| 知, 2 2 2 (3vx0) +(vx0+vy0) =(3vy0) , 即 ( x0 ? y0 )(5x0 ? 4 y0 ) ? 0 .

O

P

x

x0 ? y0 ? 0,
将①代入 kPQ ? ?

?5x0 ? 4 y0 ……①
x0 ? y0 3 , 得kPQ ? ? . 3x0 4

又已知 PQ 与圆 O 相切,直线 PQ 在 y 轴上的截距就是两个相遇的位置. 设直线 y ? ? 则有

3 x ? b与圆O : x 2 ? y 2 ? 9 相切, 4

| 4b | 32 ? 42

? 3,

?b ?

15 . 4
3 千米处 4
2 2

答:A、B 相遇点在离村中心正北 3
2

21.解:圆 C 化成标准方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 3

假设存在以 AB 为直径的圆 M,圆心 M 的坐标为(a,b)

由于 CM⊥ l,∴kCM?kl= -1

∴kCM=

b?2 ? ?1 , 即 a+b+1=0,得 b= -a-1 a ?1
CM=



直线 l 的方程为 y-b=x-a,即 x-y+b-a=0

b?a?3 2

∵以 AB 为直径的圆 M 过原点,∴ MA ? MB ? OM

MB ? CB ? CM

2

2

2

?9?

(b ? a ? 3) 2 , OM 2


2

? a2 ? b2

∴9 ?

(b ? a ? 3) 2 ? a2 ? b2 2

把①代入②得 当a ?

2a 2 ? a ? 3 ? 0 ,∴ a ?

3 或a ? ?1 2

3 5 , 时b ? ? , 直线 l 的方程为 x-y-4=0; 2 2

当 a ? ?1,时b ? 0 , 直线 l 的方程为 x-y+1=0 故这样的直线 l 是存在的,方程为 x-y-4=0 或 x-y+1=0 22.解: (1)设 M(a,ka),N(b,-kb),(a>0,b>0)。 则|OM|= a 1 ? k 2 ,|ON|= b 1 ? k 2 。 由动点 P 在∠AOx 的内部,得 0<y<kx. ∴|PM|=

| kx ? y | 1? k 2

=

kx ? y 1? k 2

,|PN |=

| kx ? y | 1? k 2

=

kx ? y 1? k 2

∴ S四边形ONPM ? S?ONP ? SOPN ?

1 (|OM|·|PM|+|ON|·|PN|) 2

1 1 = [a(kx-y)+b(kx+y)]= [k(a+b)x - (a-b)y]=k 2 2 ∴k(a+b)x-( a -b)y=2k ①

又由 kPM= -

1 y ? ka 1 y ? kb = , kPN= = , k x?a k x ?b x ? ky x ? ky 2 2 2 ,b ? ,代入①式消 a、b,并化简得 x -y =k +1。 2 2 1? k 1? k

分别解得 a ?

∵y>0,∴ y ? x2 ? k 2 ?1 (2)由 0<y<kx,得 0< x 2 ? k 2 ? 1 <kx

?? ?

? x2 ? k 2 ? 1 ? 0
2 2 2 2 ? ?x ? k ?1 ? k x

?? ?

?x ? k 2 ?1
2 2 2 ?(1 ? k ) x ? k ? 1  ② ?

(*)

当 k=1 时,不等式②为 0<2 恒成立,∴(*) ? x> 2 。 当 0<k<1 时,由不等式②得 x2 ? 当 k>1 时,由不等式②得 x2 ?
1? k4 1? k4 k 2 ?1 ,x? ,∴(*) ? k 2 ? 1 ? x ? 。 2 2 1? k 1? k2 1? k

k 2 ?1 k 2 ?1 ,且 ? 0 ,∴(*) ? x ? k 2 ? 1 1? k 2 1? k 2

但垂足 N 必须在射线 OB 上,否则 O、N、P、M 四点不能组成四边形, 所以还必须满足条件: y ? 解得 k 2 ? 1 ? x ?
1 1 x ,将它代入函数解析式,得 x2 ? k 2 ? 1 ? x k k

k k 4 ?1 (k>1). k 2 ?1

综上:当 k=1 时,定义域为{x|x> 2 }; 当 0<k<1 时,定义域为{x| k 2 ? 1 ? x ? 当 k>1 时,定义域为{x| k 2 ? 1 ? x ?
1? k4 }; 1? k2

k k 4 ?1 }. k 2 ?1


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