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切线的性质和判定 1


切线的性质和判定

情景导入
1 当你在下雨天快速转动雨伞时水飞 出的方向是什么方向? 2 砂轮打磨零件飞出火星的方向是什 么方向?

下雨天转动雨伞时飞出的水,以及在砂轮上打 磨工件飞出的火星,均沿着圆的切线的方向飞出.

想一想
过圆0内一点作直线,这条直线与圆有什么位置关系? 过半径OA上一点(A除外)能作圆O的切线吗?过点A呢?

O r A l

圆的切线判定定理:

经过半径的外端且垂于这条半径 的直线是圆的切线。
符 号 语 言 表 达

条件:(1)经过半径的外端; (2)垂直于过该点半径; ∵l⊥OA,且l 经过⊙O上 的A 点


O

∴直线l是⊙O的切线

A



l

定理辨析
说明:在此定理中,题设是“经过半径的外端”和“垂直于 这条半径”,结论为“直线是圆的切线”,两个条件缺一不 可,否则就不是圆的切线, 下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的 切线:

判 断
1. 过半径的外端的直线是圆的切线( × ) 2. 与半径垂直的直线是圆的切线( × ) 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线( × )
O l O O l A A r A

r

r

l

归纳:

1、如何判定一条直线是已知圆的切线?

(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线; (2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的 切线;(d=r) (3)过半径外端点且和半径垂直的直线 是圆的切线;

例1

直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB, 求证:直线AB是⊙O的切线.

证明: 连接OC
∵OA=OB, CA=CB ∴△OAB是等腰三角形,OC 是底边AB上的中线 ∴OC⊥AB ∴AB是⊙O的切线
A O

C

B

这种证明方法简记为: “证切线,连半径,证 垂垂直”

注意:使用此方法时 必须已知直线与圆有 一公共点。

变式练习
练 习 1 、 如 图 4 , AB 是 ⊙ O 的 直 径 , ∠ ABC=45°, AC=AB , AC是⊙ O的切线吗? 为什么? B 解:∵AB=AC ∴∠ACB=∠ABC=450 O ∴∠BAC=900 即AB⊥AC ∵ AB是⊙O的直径 C A ∴ AC是⊙O的切线

变式练习
练习2、如图:线段AB经过圆心O,交⊙O 于点A、C,∠BAD=∠B = 30°,边BD交 圆于点D。BD是⊙O的切线吗?为什么?
D

A

O

C

解:BD是⊙O的切线 连接OD ∵ OD=OA B ∴∠ODA=∠BAD=∠B =300 ∴∠ OBD=600 ∴∠ODB=900 即: OD⊥DB ∴BD是⊙O的切线

变式练习 练习3,△ABC中,以AB为直径的⊙O,交 边BC于P, BP=PC, PE⊥AC于E。 求证:PE是⊙O的切线。 证明:连结OP。 A ∵ AB为直径 O ∴ OB=OA,BP=PC, ∴OP∥AC。 B P 又∵ PE⊥AC, ∴PE⊥OP。 ∴PE为⊙0的切线。

E C

例2:已知:O为∠BAC平分线上一点,OD⊥AB于D,以O为圆心,OD为
半径作⊙O。 求证:⊙O与AC相切。
证明:过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC,OD⊥AB ∴ OE=OD ∵ OD是⊙O的半径 ∴ AC是⊙O的切线。
A E C D O B

小结
例1与例2的证法有何不同?
D O A
E A C B C O B

(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和 圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。 简记为:连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共 点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线 段长等于半径长。简记为:作垂直,证半径。

∵直线L是⊙O 如图:如果直线 的切线, A是 L 是⊙O的切线,切点为 切点。 A,那么半径OA与直线 ∴ L ⊥ OA 于 A L是不是一定垂直呢? 点
一定垂直

.

O

切线的性质定理:

L A

圆的切线垂直于过切点的半径
简记为:“知切线,连半径,得垂直”

例3 如图,AB是⊙O的直径, C为⊙O上一点, AD和过点C的切线互相垂直,垂足为D. 求证: AC平分∠DAB.
证明:连接OC. ∵CD 是⊙O的切线, ∴OC⊥CD. 又∵AD⊥CD , ∴OC//AD. ∴∠ACO= ∠CAD . 又∵OC=OD, ∴∠CAO= ∠ACO ∴∠CAD= ∠CAO , 故AC平分∠DAB. A D

C

O

B

1, 如图:AC是⊙O的切线,∠B=600。求 ∠CAD= B
O A
O

D

C

A

C

B 2,如图:以O为圆心的同心圆, 大圆的弦AB是小圆的切线,C是切 点,求证:C是AB的中点。

已知如图,△ ABC 为等腰三角形, O 是底边 BC 的 中点,⊙O与腰 AB相切于点 D。AC与⊙ O相切吗?为 什么?

E

解:AC与⊙O相切 连接OD,作OE⊥AC ∴∠OEC=900 ∵ AB是⊙O的切线 ∴OD⊥AB, ∴∠ODB=900=∠OEC ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵O是BC的中点 ∴OB=OC ∴△OBD≌△OCE ∴OD=OE ∴AC与⊙O相切

课堂小结
1. 判定切线的方法有哪些? l是圆的切线 与圆有唯一公共点 l是圆的切线 直线l 与圆心的距离等于圆的半径 l是圆的切线 经过半径外端且垂直这条半径 2. 常用的添辅助线方法? ⑴直线与圆的公共点已知时,作出过公共点的半径, 再证半径垂直于该直线。(连半径,证垂直) ⑵直线与圆的公共点不确定时,过圆心作直线的垂线 段,再证明这条垂线段等于圆的半径。(作垂直,证半径) 3. 圆的切线性质定理:圆的切线垂直于圆的半径。 辅助线作法:连接圆心与切点可得半径与切线垂直。 即“连半径,得垂直”。

已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB⊥BC,以腰DC 的中点 E 为圆心的圆与 AB 相切,梯形的上底 AD 与底 BC 是方程 x 2-10x + 16 = 0 的两根,求 ⊙E 的半径 r .

解:连接EF
∵x 2-10x + 16 = 0 (X-2)(X-8)=0 X1=2 X2=8 F ∴BC=8 AD=2 ∵AB是⊙O的切线 ∴EF⊥AB ∵AB⊥BC ∴EF//BC//AD ∵E是DC的中点 ∴EF是梯形ABCD的中位线
1 ∴EF= (AD+BC)=5 2

谢谢观赏 再见!



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