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北京市海淀区2013届高三年级第二学期期末练习文科数学试题(扫描版)


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海淀区高三年级第二学期期末练习
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学 (文科) 2013.5

参考答案及评分标准
说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数. 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 B 5 D 6 C 7 B

8 D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分)

9. ? 1 ? i 12. 2 2

10.乙 13. ; ( ?
2 1 π 2π , ) 3 3

11. ? 1 6 或 1 6 14. 1; 0 ? k ? 2

注:11 题少写一个,扣两分,错写不给分 13 题开闭区间都对 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)

15. (本小题满分 13 分) 解: (I)设 { a n } 的公差为 d 因为 a 1 ? 1 , S 1 0 ? 所以 a 1 ? 1, a 1 0 ? 1 9 所以 d ? 2 所以 a n ? 2 n ? 1
2 (II)因为 S n ? n ? 6 n

a1 ? a 9 2

? 10 ? 100

……………………2 分 ……………………4 分

……………………6 分

2 当 n ? 2 时, S n ? 1 ? ( n ? 1) ? 6 ( n ? 1)

所以 a n ? 2 n ? 7 , n ? 2 又 n ? 1 时, a 1 ? S 1 ? ? 5 ? 2 ? 7 所以 a n ? 2 n ? 7
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……………………9 分

……………………10 分

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2 所以 S n ? a n ? n ? 4 n ? 7

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所以 n 2 ? 4 n ? 7 ? 2 n ,即 n 2 ? 6 n ? 7 ? 0 所以 n ? 7 或 n ? ? 1 , 所以 n ? 7 , n ? N ……………………13 分

16. 解: (I)因为 ? A D B ? 7 5 ? ,所以 ? D A C ? 4 5 ? 在 ? A C D 中, A D ? 根据正弦定理有 所以 C D ? 2 (II)所以 B D ? 4 又在 ? A B D 中,
? AD B ? 75
?

2


? AD sin 3 0
?

CD sin 4 5
?

……………………4 分 ……………………6 分 ……………………7 分

, sin 7 5 ? ? sin ( 4 5 ? ? 3 0 ? ) ?
1 2
3 2 S ?ABD ? 3 3 ?3 2

6 ? 4

2

……………………9 分 ……………………12 分 ……………………13 分

所以 S ? A D B ? 所以 S ? A B C ?

A D ? B D ? sin 7 5 ?

?

3 ?1

同理,根据根据正弦定理有 而 sin 1 0 5 ? ? sin ( 4 5 ? ? 6 0 ? ) ? 所以 A C ?
3 ?1

AC sin 1 0 5
?

?
2

AD sin 3 0
?

6 ? 4

……………………8 分 ……………………10 分 ……………………11 分

又 BD ? 4 , BC ? 6 所以 ……………………13 分

17.解: (I)因为点 P 在平面 A D C 上的正投影 O 恰好落在线段 A C 上 所以 P O ? 平面 A B C ,所以 P O ? A C 因为 A B ? B C , 所以 O 是 A C 中点, 所以 O E / / P A 同理 O F / / A D 又OE ? OF ? O , PA ? AD ? A
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…………………2 分

…………………3 分 …………………4 分

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所以平面 O E F / / 平面 P D A (II)因为 O F / / A D , A D ? C D 所以 O F ? C D

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…………………6 分

…………………7 分

又 P O ? 平面 A D C , C D ? 平面 A D C 所以 P O ? C D 又OF ? PO ? O 所以 C D ? 平面 P O F (III)存在,事实上记点 E 为 M 即可 因为 C D ? 平面 P O F , P F ? 平面 P O F 所以 C D ? P F 又 E 为 P C 中点,所以 E F ?
1 2 PC 1 2

…………………8 分

…………………10 分 …………………11 分

…………………12 分
PC

同理,在直角三角形 P O C 中, E P ? E C ? O E ? 所以点 E 到四个点 P , O , C , F 的距离相等



…………………13 分 …………………14 分

18.解: (I)当因为 a ? 1 , f '( x ) ?

1 x

, g(x) ?

1 x
2

…………………2 分

若函数 f ( x ) 在点 M ( x 0 , f ( x 0 )) 处的切线与函数 g ( x ) 在点 P ( x 0 , g ( x 0 )) 处的切线平行, 所以
1 x0 ? 1 x0
2

,解得 x 0 ? 1

此时 f ( x ) 在点 M (1, 0 ) 处的切线为 y ? x ? 1
g ( x ) 在点 P (1, ? 1)

处的切线为 y ? x ? 2 …………………4 分
3 2

所以 x 0 ? 1 (II)若 ? x ? (0, e ] ,都有 f ( x ) ? g ( x ) ? 记 F (x) ? f (x) ? g(x) ?
3 2 ? ln x ? a x ? 3 2



只要 F ( x ) 在 ( 0 , e ] 上的最小值大于等于 0
F '( x ) ? 1 x ? a x
2

?

x?a x
2

…………………6 分

则 F '( x ), F ( x ) 随 x 的变化情况如下表:
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x
F '( x )

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( 0, a )
?

a

(a , ?? )

0 极大值

?
?

F (x)

?

…………………8 分 当 a ? e 时,函数 F ( x ) 在 ( 0 , e ) 上单调递减, F ( e ) 为最小值 所以 F ( e ) ? 1 ? 所以 a ? e
a e ? 3 2 ? 0

,得 a ?

e 2

…………………10 分

当 a ? e 时,函数 F ( x ) 在 ( 0, a ) 上单调递减,在 ( a , e ) 上单调递增 ,
F (a )

为最小值,所以 F ( a ) ? ln a ?

a a

?

3 2

? 0

,得 a ?

e

所以 e ? a ? e 综上, e ? a

………………12 分 ………………13 分

19.解:(I)因为椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

的四个顶点恰好是一边长为 2,

一内角为 6 0 ? 的菱形的四个顶点, 所
x
2



a ?

3 b ? ,

,

1 椭



C









? y ?1
2

………………4 分

3

(II)设 A ( x 1 , y 1 ), 则 B ( ? x 1 , ? y 1 ), 当直线 A B 的斜率为 0 时, A B 的垂直平分线就是 y 轴,
y

轴与直线 l : x ? y ? 3 ? 0 的交点为 P ( 0, 3) ,
3 , | P O |? 3

又因为 | A B |?

,所以 ? P A O ? 6 0 ? , ………………6 分

所以 ? P A B 是等边三角形,所以直线 A B 的方程为 y ? 0 当直线 A B 的斜率存在且不为 0 时,设 A B 的方程为 y ? k x
?x 2 ? y ?1 ? 2 2 所以 ? 3 ,化简得 (3 k ? 1) x ? 3 ? y ? kx ?
2

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所以 | x 1 |?
3 3k ? 1
2

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3 3k ? 1
2

,则 | A O |? 1 ? k 2
1 k

?

3k ? 3
2

3k ? 1
2

………………8 分

设 A B 的垂直平分线为 y ? ?
?y ? ?x ? 3 ? 所以 ? 1 ?y ? ? x k ?

x

,它与直线 l : x ? y ? 3 ? 0 的交点记为 P ( x 0 , y 0 )

3k ? x ? ? 0 ? k ?1 ,解得 ? ? y ? ?3 ? 0 k ?1 ?

,

则 | P O |?

9k ? 9
2

( k ? 1)

2

………………10 分

因为 ? P A B 为等边三角形, 所以应有 | P O |? 代入得到 |
9k ? 9
2

3 | AO |

( k ? 1)

2

?

3

3k ? 3
2

3k ? 1
2

,解得 k ? 0 (舍) k ? ? 1 ……………13 分 ,

此时直线 A B 的方程为 y ? ? x 综上,直线 A B 的方程为 y ? ? x 或 y ? 0 ………………14 分

20.解: (I) 法 1:
1 ?2 2 1 3 0 ?7 1 ????? ?
改 变 第 4列

1 ?2

2 1

3 0

7 ?1

????? ?

改 变 第2行

1 2

2 ?1

3 0

7 1

法 2:
1 ?2 2 1 3 0 ?7 1 ????? ?
改 变 第2行

1 2

2 ?1

3 0

?7 ?1

????? ?

改 变 第 4列

1 2

2 ?1

3 0

7 1

法 3:
1 ?2 2 1 3 0 ?7 1 ????? ?
改 变 第 1列

?1 2

2 1

3 0

?7 1

????? ?

改 变 第 4列

?1 2

2 1

3 0

7 ?1

( 可









即 )

…………………3 分

(II)

每一列所有数之和分别为 2,0, ? 2 ,0,每一行所有数之和分别为 ? 1 ,1; ①如果操作第三列,则

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a 2?a a ?1
2

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?a a
2 2

a 2?a

1? a

2

则第一行之和为 2 a ? 1 ,第二行之和为 5 ? 2 a ,
?2a ? 1 ? 0 ? ?5 ? 2a ? 0

,解得 a ? 1, a ? 2 .

…………………6 分

② 如果操作第一行
?a 2?a 1? a 1? a
2 2

a a ?2

a a

2 2

则每一列之和分别为 2 ? 2 a , 2 ? 2 a 2 , 2 a ? 2 , 2 a 2 解得 a ? 1 综上 a ? 1 …………………9 分 …………………10 分

(III) 证明:按要求对某行(或某列)操作一次时,则该行的行和(或该列的列和) 由负整数变为正整数,都会引起该行的行和(或该列的列和)增大,从而也就使得 数阵中 m n 个数之和增加,且增加的幅度大于等于 1 ? ( ? 1) ? 2 ,但是每次操作都只 是改变数表中某行(或某列)各数的符号,而不改变其绝对值,显然,数表中 m n 个数之和必然小于等于 ?
i ?1 m

? | a | ,可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止
ij j ?1

n

之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数, 故结论成立 …………………13 分

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