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2015-2016高中数学 模块综合检测卷 苏教版必修2


模块综合检测卷
(测试时间:120 分钟 评价分值:150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.直线 x- 3=0 的倾斜角是(C) A.45° B.60° C.90° D.不存在

2.已知点 A(x,1,2)和点 B(2,3,4),且|AB|=2 6,则

实数 x 的值是(D) A.-3 或 4 B.-6 或 2 C.3 或-4 D.6 或-2

3.圆 x2+y2-2x=0 与圆 x2+y2-2x-6y-6=0 的位置关系是(D) A.相交 B.相离 C.外切 D.内切

4.在同一个平面直角坐标系中,表示直线 y=ax 与 y=x+a 正确的是(C)

5.(2014·重庆卷)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(C)

A.12 B.18 C.24

D.30

解析:因为三个视图中直角较多,所以可以在长方体中对几何体进行分析还原,在长方 体中计算其体积.

1

由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形, 由正视图和左视图可以判断该几何体 是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的.在长方体中分析还原,如图(1)所示, 1 故该几何体的直观图如图(2)所示.在图(1)中,V 棱柱 ABCA1B1C1=S△ABC·AA1= ×4×3 2 1 1 1 ×5=30,V 棱锥 PA1B1C1= S△A1B1C1·PB1= × ×4×3×3=6.故几何体 ABCPA1C1 的体 3 3 2 积为 30-6=24.故选 C.

6.(2013·重庆卷)已知圆 C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆 C2:(x-3)2+(y-4)2=9,

M,N 分别是圆 C1,C2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为(A)
A.5 2-4 C.6-2 2 B. 17-1 D. 17

解析:先求出圆心坐标和半径,再结合对称性求解最小值,设 P(x,0),C1(2,3)关于

x 轴 的 对 称点 为 C1 ′ (2 , - 3) , 那么 |PC1| + |PC2| = |PC1 ′ | + |PC2| ≥ |C ′ 1C2| =
(2-3)2+(-3-4)2=5 2. 而|PM|=|PC1|-1,|PN|=|PC2|-3, ∴|PM|+|PN|=|PC1|+|PC 2|-4≥5 2-4.

7.如图,已知 AB⊥平面 BCD,BC⊥CD,则图中互相垂直的平面有(B)

A.4 对 C.2 对

B.3 对 D.1 对

8.(2013·辽宁卷)已知点 O(0,0)、A(0,b)、B(a,a3),若△AOB 为直角三角形,则 必有(C) 1 A.b=a3 B.b=a3+

a

1? 1? ? ? C.(b-a3)?b-a3- ?=0 D.|b-a3|+?b-a3- ?=0

?

a?

?

a?

解析:根据直角三角形的直角的位置求解. 若以 O 为直角顶点,则 B 在 x 轴上,则 a 必为 0,此时 O,B 重合,不符合题意;
2

π 若∠A= ,则 b=a3≠0. 2 π a3-b 1 若∠B= ,根据斜率关系可知 a2· =-1,所以 a(a3-b)=-1,即 b-a3- = 2 a a 0. 以上两种情况皆有可能,故只有 C 满足条件.

9.一个圆柱的轴截面为正方形,其体积与一个球的体积之比是 3∶2,则这个圆柱的侧 面积与这个球的表面积之比为(A) A.1∶1 B.1∶ 2 C. 2∶ 3 D.3∶2

10.(2014·广东卷)若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4 满足 l1⊥l2,l2⊥

l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是(D)
A.l1⊥l4 B.l1∥l4 C.l1 与 l4 既不垂直也不平行 D.l1 与 l4 的位置关系不确定 解析:在长方体模型中进行推理论证,利用排除法求解.

如图,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,记 l1=DD1,l2=DC,l3=DA,若 l4=AA1,满足

l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,此时 l1∥l4,可以排除选项 A 和 C.
若 l4=DC1,也满足条件,可以排除选项 B.故选 D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.将正确答案填在题中的横线上) 11.若 M、N 分别是△ABC 边 AB、AC 的中点,MN 与过直线 BC 的平面 β (不包括△ABC 所在平面)的位置关系是________. 答案:平行

12. (2014·重庆卷)已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1)2-(y-a)2=4 相交 于 A,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数 a=________. 解析:根据“半径、弦长 AB 的一半、圆心到直线的距离”满足勾股定理可建立关于 a 的方程,解方程求 a.

3

|a+a-2| 圆心 C(1,a)到直线 ax+y-2=0 的距离为 . a2+1 因为△ABC 为等边三角形,所以|AB|=|BC|=2.所以? 4± 15. 答案:4± 15

?|a+a-2|?2 ? +12=22.解得 a= ? a2+1 ?

3 13.两条平行线 2x+3y-5=0 和 x+ y=1 间的距离是________. 2 3 13 答案: 13

14.(2013·大纲全国卷)已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球 O 3 的半径,OK= ,且圆 O 与圆 K 所在的平面所成的一个二面角为 60°,则球 O 的表面积等于 2 ________.

解析: 根据球的截面性质以及二面角的平面角的定义确定平面角, 把球的半径转化到直 角三角形中计算,进而求得球的表面积. 如图所示,公共弦为 AB,设球的半径为 R,则 AB=R.取 AB 中点 M,连接 OM、KM,由圆 的性质知 OM⊥AB , KM⊥AB, 所以∠KMO 为圆 O 与圆 K 所在平面所成的一个二面角的平面角, 则∠KMO=60°. 3 在 Rt△KMO 中,OK= , 2 所以 OM= = 3. sin 60°

OK

1 在 Rt△OAM 中,因为 OA2=OM2+AM2,所以 R2=3+ R2,解得 R2=4.所以球 O 的表面 4 积为 4π R2=16π . 答案:16π

4

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演 算步骤) 15.(本小题满分 12 分)已知两点 A(-1,2),B(m,3). (1)求直线 AB 的斜率; (2)已知实数 m∈?-

? ?

3 ? -1, 3-1?,求直线 AB 的倾斜角 α 的范围. 3 ?

解析:(1)当 m=-1 时,直线 AB 的斜率不存在; 当 m≠-1 时,k= 1

m+1

.

π (2)当 m=-1 时,α = ;当 m≠-1 时, 2

k= ∈(-∞,- 3]∪? ,+∞?, m+1 ?3 ?

1

? 3

?

?π π ? ?π 2π ? 则 α ∈? , ?∪? , ?. 3 ? ?6 2? ?2
综上,α ∈?

?π ,2π ?. 3 ? ?6 ?

16.(本小题满分 12 分)(2013·上海卷)如图,在正三棱柱 ABCA1B1C1 中,AA1=6,异 π 面直线 BC1 与 AA1 所成角的大小为 ,求该三棱柱的体积. 6

π 解析:因为 CC1∥AA1,所以∠BC1C 为异面直线 BC1 与 AA1 所成的角,即∠BC1C= . 6 在 Rt△BC1C 中,BC=CC1·tan ∠BC1C=6× 3 3 =2 3,从而 S△ABC= BC2=3 3,因此 3 4

该三棱柱的体积为 V=S△ABC·AA1=3 3·6=18 3.

17.(本小题满分 14 分)(2014·湖北卷)如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E、F、P、Q、

M、N 分别是棱 AB、AD、DD1、BB1、A1B1、A1D1 的中点.求证:
(1)直线 BC1∥平面 EFPQ;

5

(2)直线 AC1⊥平面 PQMN.

分析:借助三角形中位线的性质、线面平行的判定及线面垂直的判定和性质证明. 证明:(1)连接 AD1,由 ABCDA1B1C1D1 是正方体,知 AD1∥BC1. 因为 F,P 分别是 AD,DD1 的中点,所以 FP∥AD1. 从而 BC1∥FP. 而 FP? 平面 EFPQ,且 BC1?平面 EFPQ, 故直线 BC1∥平面 EFPQ.

(2)如图,连接 AC,BD,则 AC⊥BD. 由 CC1⊥平面 ABCD,BD? 平面 ABCD,可得 CC1⊥BD. 又 AC∩CC1=C, 所以 BD⊥平面 ACC1. 而 AC1? 平面 ACC1, 所以 BD⊥AC1. 因为 M,N 分别是 A1B1,A1D1 的中点, 所以 MN∥BD,从而 MN⊥AC1. 同理可证 PN⊥AC1. 又 PN∩MN=N,所以直线 AC1⊥平面 PQMN.

18.(本小题满分 14 分)下图是某几何体的三视图,请你指出这个几何体的结构特征, 并求出它的表面积与体积.

6

解析:此几何体是一个组合体,下半部是长方体,上半部是半圆柱,其轴截面的大小与 长方体的上底面大小一致. 表面积为 S,则

S=32+96+48+4π +16π =176+20π .
1 体积为 V,则 V=8×4×6+ ×22×8π =192+16π . 2 所以几何体的表面积为(176+20π )cm2,体积为(192+16π )cm3.

19.(本小题满分 14 分)如图,△ABC 中,AC=BC=

2 AB,四边形 ABED 是边长为 a 的正 2

方形,平面 ABED⊥平面 ABC,若 G、F 分别是 EC、BD 的中点.

(1)求证:GF∥平面 ABC; (2)求 BD 与平面 EBC 所成角的大小; (3)求几何体 EFBC 的体积.

(1)证明:如图,连 EA 交 BD 于点 F,
7

∵F 是正方形 ABED 对角线 BD 的中点,∴F 是 EA 的中点.∴FG∥AC. 又 FG?平面 ABC,AC? 平面 ABC, ∴FG∥平面 ABC. (2)解析:∵平面 ABED⊥平面 ABC,BE⊥AB, ∴BE⊥平面 ABC. ∴BE⊥AC. 又∵AC=BC= ∴BC⊥AC. 又∵BE∩BC=B, ∴AC⊥平面 EBC. 由(1)知,FG∥AC, ∴FG⊥平面 EBC. ∴∠FBG 就是线 BD 与平面 EBC 所成的角. 1 2a 1 2a 又 BF= BD= ,FG= AC= , 2 2 2 4 2 AB, 2

FG 1 sin ∠FBG= = , BF 2
∴∠FBG=30°. 1 1 1 2a 1 2a a3 (3)VEFBC=VFEBC= S△EBC·FG= · ·a· · · = . 3 3 2 2 2 2 24

20.(本小题满分 14 分)(2013·江苏卷)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3), 直线 l:y=2x-4,设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上.

(1)若圆心 C 也在直线 y=x-1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使 MA=2MO,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. 解析:(1)由题设,圆心 C 是直线 y=2x-4 和 y=x-1 的交点,解得点 C(3,2),于是 切线的斜率必存在,设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3.

8

|3k+1| 3 由题意,得 =1,解得 k=0 或 k=- , 4 k2+1 故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0. (2)因为圆心在直线 y=2x-4 上, 设圆心 C(a,2(a-2)), 所以圆 C 的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 设点 M(x,y),因为 MA=2MO, 所以 x2+(y-3)2=2 x2+y2,化简得 x2+y2+2y-3=0,即 x2+(y+1)2=4.所 以点 M 在以 D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上. 由题意,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点, 则|2-1|≤CD≤2+1, 即 1≤ a2+(2a-3)2≤3. 整理,得-8≤5a2-12a≤0. 由 5a2-12a+8≥0,得 a∈R; 由 5a2-12a≤0,得 0≤a≤ 12 . 5

? 12? 所以点 C 的横坐标 a 的取值范围为?0, ? 5? ?

9


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