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高中数学必修一、必修四综合测试卷


数学必修一、四综合测试卷(一)
一.选择题. 1. 已知映射 f : ? x, y ? ? ? x ? 2 y, x ? 2 y ? ,在映射 f 下 ? 3, ?1? 的原象是( A. )

? 3, ?1?

B. ?1,1?

C. ?1, 5 ?

D.

? 5

, ?7 ?


2.已知 ? 是第四象限角,且 cos A. 第一象限角

?
2

? 0 ,则

? 所在的象限是( 2

B. 第二象限角

C. 第三象限角

D . 第四象限角

3.在△ABC 中,D、E、F 分别 BC、CA、AB 的中点,点 M 是△ABC 的重心,则

???? ???? ???? ? MA ? MB ? MC 等于
A. O 4. 函数 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? x ? 1 在下列区间内一定有零点的是 ( A.[0,1] B.[1,2] C.[2,3] B. 4 MD C. 4 ME





D. 4 MF )

D.[3,4] )

5.已知 M,N 为集合 I 的非空真子集,且 M ? N ,若 M ? ? CI N ? ? I ,则 M ? N ? ( A.M B. N C. I D. ?

6 . 设 a, b 是 两 个 不 共 线 的 非 零 向 量 , 则 “ 向 量 a ? ? b 与 ? a ? 4b 共 线 ” 是 “ ? ? 2 ” 的( )A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 )
x

? ?

?

?

?

?

D.非充分非必要条件

7.下列函数为偶函数,且在 ? ??, 0 ? 上单调递增的函数是( A. f ? x ? ? x
2 3

B. f ? x ? ? x

?3

?1? C. f ? x ? ? ? ? ?2?

D. f ? x ? ? ln x

8. (原创)设定义在实数集上函数 f (x) 满足: f ? x ? 1? ? f ? ? x ? 1? ? 0, f ? x ? 2 ? ? f ? ? x ? , 且当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 3 ? 1 ,则有(
x

) B. f ( ) ? f (? ) ? f ( )

3 7 2 3 3 7 9 C. D. f (? ) ? f ( ) ? f ( ) 2 3 4 ? a, a ? b ? 1 2 9.对实数 a 和 b ,定义运算“ ? ” a ? b ? ? : ,设函数 f ? x ? ? x ? ? x ? 1? ,若 b, a ? b ? 1 ? 函数 y ? f ? x ? ? c 恰有两个不同的零点,则实数 c 的取值范围是 ( )
A. f ( ) ? f (? ) ? f ( ) A. ? 0,1? ? ? 3, 4? 10.(原创)函数 y ? A . ? -1,3? B. ? 0,1? ? ? 2, 4? C. ? 0,3? ? ? 4, ?? ? ) D. ? ?2, 4? D.

7 3 9 3 2 4 7 9 3 f ( ) ? f ( ) ? f (? ) 3 4 2

9 4

? 0, 4?

sin 3 x cos 5 x ? ? ? ?? ? ? x ? ? 0, 2 ? ? 的值域是( sin x cos x ? ? ??
B.

? ?1, 4?

C. ? ?6,3?

二.填空题. 11. 若扇形的半径为 1 ,周长为 4 ,则扇形的面积为 . . 12.函数 f ? x ? 1? 的定义域为 ? ?1,1? ,则函数 f ? x ? 的定义域为 13.函数 f ? x ? ? cos ? ln x ? ? x ? ? , e ? ? 的单调递减区间是 e

? ?

?1 ?

?? ??

.

14.给出下列命题: ① sin ? ?10 ? ? 0 ; 5π ? ? ? ②函数 y=sin(2x+ )的图像关于点 ? ? , 0 ? 对称; 4 ? 8 ?

π π ③将函数 y=cos(2x- )的图像向左平移 个单位,可得到函数 y=cos2x 的图像; 3 3

? ④函数 y ? tan ? 2 x ? ? ? 的最小正周期是 .其中正确的命题的序号是 ? ? 4 4? ?
15. f ? x ? ? 1 ? ln 设 三.解答题. 16.(13 分) 已知 A ? x x ? 1 ? 1 ; B ? ? x y ?

.

x , 则 2? x

? 1 ? ? 2? ? f? f ? ?f? ? ?? 0 1 0 0 1 ? 23 ? 23 ?1 ? 23?

3? ? ?

0 2 ? 45? ? ?f ?? ? 23 ? 0 1 ?

?

.

?

?

? ? ? ?

? x?2 ? , x ? R ? , 求 A ? B , A ? ? CR B ? 。 x ?1 ? ?

17. (13 分)计算(1) log 2

14

3 ? log27 ? log3 ? log2 2 ? ? log23? log916 ; ? ?

?

?

(2)

? 1 1 ?? ? 2? 3 ? 2 2 ?

?1 ? 3

? 320.1 ? 4 ? 2 3 .

18. (1)已知 sin 2? ? ?

24 ? ? ?? , ? ? ? ? , ? ,求 sin ? ? cos ? 的值; 25 ? 2 2?
? 3 1 ?? ?? , cos ?? ? ? ? ? .求 ?sin ? ? cos ?? ? ? ? ? ?sin ? ? sin ? ? ? ? ? 的 ? ? 5 10 ?2 ?? ?

(2)已知 sin ?? ? ? ? ? 值.

19.(原创) f ? x ? ? 2sin ? ? x ?

? ?

??

?? ? ? cos ? x ? 2 cos ? 2? x ? ? ,其中 ? ? 0 . 3? 6? ?
?1 ? ,1? ,求函数 f(x)的单调递减区间. ?2 ?

(1)若 ? ? 2 ,求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 y ? f ? x ? 满足 f ?? ? x ? ? f ?? ? x ?? x ? R ? ,且 ? ? ?

20. (原创)已知定义域为 R 的偶函数 f ? x ? ? a ? b ? a
x

?x

? a ? 0, a ? 1, b ? R ? .

(1)求实数 b 的值;

(2)判断并证明 f (x ) 的单调性;

(3)若 f 范围.

?? log

2

? ? 2 x ? ? log 2 x ? 1 ? f ? m ? log 1 x 2 ? 对任意 x ? ? 2, 4? 恒成立,求实数 m 的取值 ? 2 ?

?

21. 我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数” : ①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数;
2 2 ②在函数的定义域内存在区间 ? p, q ? ? p ? q ? ,使得函数在区间 ? p, q ? 上的值域为 ? p , q ? . ? ?

2 ⑴已知幂函数 f ? x ? 的图像经过点 ? 2,? ,判断 g ? x ? ? f ? x ? ? 2 ? x ? R ? 是否是和谐函数?

?1 ? x 2 ? x ? 1? ? ⑵判断函数 h ? x ? ? ? 是否是和谐函数? ?2 ? 2 x ? x ? 1? ?
⑶若函数 ? ? x ? ?

? 6? x 2 ? 1 ? t ?1 ? x ? ? 是和谐函数,求实数 t 的取值范围. ? 2 ? ? ?

数学必修一、四综合测试卷答案 一.选择题.(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 B D 2 D 3 4 C 5 B 6 B 7 C 8 D 9 A 10 C

11. 1

12.

? 0, 2?

13. ?1, e ?

14. ②

15. 4025

三.解答题.(共 75 分)

16. A ? x x ? 1 ? 1 ? ? x 0 ? x ? 2?

?

?

????????????????3分

? ? B ? ?x y ? ? ?

? ? x?2 x?2 ? ? , x ? R? ? ?x ? 0? ? ?x x ? ?2或x ? 1? ?????6分 x ?1 ? ? ? x ?1 ?
??? ???????????????9分 ????????13分

A ? B ? ? x 1 ? x ? 2? ,

CR B ? ? x ?2 ? x ? 1? , A ? ? CR B ? ? ? x ?2 ? x ? 2?
17.(1) log 2
14

3 ? log27 ? log3 ? log2 2 ? ? log23? log916 ? ?

?

?

? log 22 ? log3 3 ?

1

lg 3 lg16 ? lg 2 lg 9

? 1 ?1 ? 2 ? 2

?1 ? 3

???? ???????????????6分

? 1 1 0.1 ?? ? ? 32 ? 4 ? 2 3 2? 3 ? 2 2 ?
? 2? 3 ? 2 ? 2 ?

?

?

?

3 ?1

?

? 1 ?????????13分

18. (1) sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ?

24 ? ? ?? ? 0, ? ? ? ? , ? 25 ? 2 2?

? sin ? ? 0,cos ? ? 0 ? sin ? ? cos ? ? 0

? sin ? ? cos ? ?

2

? 1 ? 2sin ? cos ? ? 1 ? sin 2? ?
7 5

49 25

故 sin ? ? cos ? ? ?

????? ?????????????6分

⑵ ?sin ? ? cos ?? ? ? ? ? ?sin ? ? sin ? ? ?

? ?

?? ?? ? ? ?? ?2 ??

? ? sin ? ? cos ? ?? sin ? ? cos ? ? ? ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? ? cos ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?
19. (1) f ? x ? ? 2sin ? ? x ?

?

1 3 1 ? ?? 10 5 2

?????13 分

? ?

??

?? ? ? cos ? x ? 2 cos ? 2? x ? ? 3? 6? ?

?? ? ? sin ? x ? 3 cos ? x cos ? x ? 2 cos ? 2? x ? ? 6? ? 1 ? sin 2? x ? 3 cos 2 ? x ? 3 cos 2? x ? sin 2? x 2 1 1 ? cos 2? x ? ? sin 2? x ? 3 ? 3 cos 2? x 2 2 3 1 3 ? cos 2? x ? sin 2? x ? 2 2 2 ?? 3 ? ? cos ? 2? x ? ? ? 6? 2 ?

?

?

?????? ?????????????????5分 若 ? ? 2 ,则 f ? x ? ? cos ? 4 x ? ⑵ f ?? ? x ? ? f ?? ? x ?? x ? R ?

? ?

??

3 2? ? ,T ? ? ?? 6? 2 4 2

????7分

?? ? ? cos ? 2?? ? ? ? ?1 6? ?
? 2?? ? ?? ?

?
6

? k? , ? k ? Z ?

k 1 ? ,?k ? Z ? 2 12

?? 3 11 ? 11 ?1 ? ,1? ,故 ? ? , f ? x ? ? cos ? x ? ? ? 6? 2 12 ?6 ?2 ? 11 ? 12 ? 12 5? 由 2k? ? x ? ? 2k? ? ? , ? k ? Z ? ,得 k? ? ? x ? k? ? ,?k ? Z ? 6 6 11 11 11 11
又? ?? 故函数 f(x)的单调递减区间为 ? 20. (1) f ? ? x ? ? f ? x ? ? a
?x

? 12 5? ? ?12 k? ? , k? ? ? , ? k ? Z ? .??13 分 11 11 11 ? ? 11

? b ? a x ? a x ? b ? a ? x ? ? b ? 1? ? a x ? a ? x ? ? 0

? b ?1
⑵设 0 ? x1 <x2

?? ?????????????????3分

则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? = a 1 ? a
x

?

? x1

? ? ?a

x2

? a ? x2 ?

= ? a x1 ? a x2 ? ? ? a ? x1 ? a ? x2 ?

= ? a x1 ? a x2 ? ?
x1 x2

a x2 ? a x1 a x1 ? x2

? a x1 +x2 ? 1 ? = ? a ? a ? ? x1 +x2 ? ? a ?
当 a ? 1 时, a 1 ? a
x x2

? 0, a x1 +x2 ? 1 , ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? , f ? x ? 为 ? 0, ?? ? 上的增函数; ? 0, a x1 +x2 ? 1 , ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? , f ? x ? 为 ? 0, ?? ? 上的增函数。

当 a ? 1 时, a 1 ? a
x

x2

综上可得,当 a ? 0, a ? 1 时, f ? x ? 为 ? 0, ?? ? 上的增函数。 同理可证,当 a ? 0, a ? 1 时, f ? x ? 为 ? ??, 0 ? 上的减函数。 ⑶f ??????7分

?? log

2

? ? 2 x ? ? log 2 x ? 1 ? f ? m ? log 1 x 2 ? 对任意 x ? ? 2, 4? 恒成立, ? 2 ?

?

?f

??log

2

x ? ? log2 x ? 1 ? f ? m ? 2log2 x ? 对任意 x ? ? 2, 4? 恒成立,
2
2

?

? ? log2 x ? ? log2 x ? 1 ? m ? 2log 2 x 对任意 x ? ? 2, 4? 恒成立,
? ? ? log 2 x ? ? log 2 x ? 1 ? m ? 2 log 2 x ? ? log 2 x ? ? log 2 x ? 1 对任意 x ? ? 2, 4? 恒成立
2 2

? ?t 2 ? 3t ? 1 ? m ? t 2 ? t ? 1 对任意 t ? ?1, 2? 恒成立, t ? log 2 x ) (令

?

5 ?m?3 4

??????????????12分

21. (1)设 f ? x ? ? x

?

?? ? R ? ,由 f ? 2 ? ? 2?

? 2 ,得 ? ? 1, f ? x ? ? x ,

g ? x ? ? x ? 2 在 R 上是增函数,

?g ? p ? ? p ? 2 ? p2 ? 令? ? p ? q ? ,得 p ? ?1, q ? 2 2 ?g ?q? ? q ? 2 ? q ?
故 g ? x ? ? f ? x ? ? 2 是和谐函数。 ⑵易得 h ? x ? 为 R 上的减函数, ?????????4分

?h ? p ? ? 2 ? 2 p ? q 2 ? ① 若 p ? q ? 1则 ? ,相减得 p ? q ? 2 与 p ? q ? 1 矛盾; h ? q ? ? 2 ? 2q ? p 2 ? ? ?h ? p ? ? 1 ? p 2 ? q 2 ? 2 2 ② 若1 ? p ? q 则 ? , p ? q ? 1 与 1 ? p ? q 矛盾; 2 2 ?h ? q ? ? 1 ? q ? p ? ?h ? p ? ? 2 ? 2 p ? q 2 ? ③ 若 p ?1? q 则 ? , p ? 1 与 p ? 1 矛盾。 2 2 ?h ? q ? ? 1 ? q ? p ?
故 h ? x ? 不是和谐函数。 ⑶? ? x? ? ???????????????8分

? 6? x 2 ? 1 ? t 在 ?1, ? 上是增函数, 2 ? ? ? ? 6? 6? x 2 ? 1 ? t ?1 ? x ? ? 是 和 谐 函 数 知 , 函 数 ? ? x ? 在 ?1, ? 内存在区间 ? 2 ? 2 ? ? ? ?

由 函 数 ? ? x? ?

? p, q? ?

p? q ,使得函数在区间 ? p, q ? 上的值域为 ? p 2 , q 2 ? . ? ? ?

?? ? p ? ? p 2 ? 1 ? t ? p 2 ? ?? ?? ? q ? ? q 2 ? 1 ? t ? q 2 ?
3? ? 3? ? ? p 2 , q 2 ?1 ? p 2 ? q 2 ? ? 是方程 m ? 1 ? t ? m 在区间 ?1, ? 内的两个不等实根 2? ? 2? ?
? 2? ? x2 ? x ? 1 ? t ? 0 在区间 ? 0, ? 内的两个不等实根, 令 m ? 1 ? x 2 ? ?

?

?

? ? ? 1 ? 4 ?1 ? t ? ? 0 ? 1 2 ? ?0 ? 2 ? 2 ?? ?1 ? t ? 0 ?1 ? ? 2 ?1? t ? 0 ?2 2

? 3 3? 2 ? ? t ?? , ? ?4 2 ? ?

?????????12分

()


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