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第三课 三角函数和差角公式


第三节 两角和与差及二倍角 三角函数公式 考纲要求 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余 弦、正切公式,了解它们的内在联系. 知识点: 一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α〒β)=______________________

__(简记为 Sα〒β); cos(α〒β)=_______________________(简记为 Cα〒β); tan(α〒β)=________________(简记为 Tα〒β). 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin 2α=______________(简记为 S2α); cos 2α=____________________________________ (简记为 C2α); tan 2α=________(简记为 T2α). 三、二倍角余弦公式的变式 1+cos 2α 1-cos 2α 2 2 1.降幂公式:cos α= ,sin α= . 2 2 2.升幂公式:1+cos 2α=2cos α,1-cos 2α=2sin α.
2 2

四、辅助角公式

asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ)其中φ角所在的象限由 a,b 的符号确定,φ角的值由
tan φ= 确定. 考点一 正用和、差及二倍角三角公式求值 5 ?π ? 【例 1】 已知 sin α= ,α∈? ,π?. 13 ?2 ?

b a

? π? ? π? ? π? (1)求 sin?α+ ?,cos?α- ?,tan?α+ ?的值; ? 4? ? 6? ? 3?
(2)求 sin 2α,cos 2α,tan 2α的值.

练习 1.sin 15° -cos 165° = A. 2 B.- 2 2

( C. 6 2

) D.- 6 2

2

练习 2 已知 sin α=2cos α,那么 tan 2α 的值为__________.

考点二 逆用和、差、倍角三角公式求值 【例 2】 计算 sin 43° cos 13° -sin 13° cos 43° 的值等于( A. 1 2 B.

)

3 3

C. 2

D.

2
) 3 2

3 2

sin 110° sin 20° 2.(1) 2 的值为( cos 155° -sin2155° 1 A.- 2 1 B. 2

C.

D.-

3 2

π? 2cos? ?α+4? 1 (2)已知 tan(π+α)=- ,则 =__________. 3 cos α+sin α 考点三 配角法(角的变换)的运用 π? 4 π? ? 【例 3】 设 α 为锐角,若 cos? ?α+6?=5,则 sin?2α+12?的值为__________.

π π π ? 1 ? π β? 3 ? β? 3. (1)若 0<α< ,- <β<0,cos? ?4+α?=3,cos?4-2?= 3 ,则 cos?α+2?=( 2 2 A. 3 3 B.- 3 3 5 3 C. 9 D.- 6 9

)

3 5 (2)(已知 α 为第二象限角, sin α= , β 为第一象限角, cos β= , 则 tan(2α-β)的值为______. 5 13

考点四 和、差及倍角三角公式的变形运用 【例 4】 计算:tan 20°+tan 40°+ ? 3 tan 20°tan 40°.

4.(1)已知α+β= 45 ,则(1+tan α)(1+tan β)的值是( A.-1 B.1 C.2 D.4
0

)

(2)已知 A,B 为锐角,且满足 tan Atan B=tan A+tan B+1,则 cos(A+B)=________.

5 5

? ?? ? 0, ? ? 2?

1 3

考点五 同角公式、和差倍角公式的综合运用 【例 5】已知 sin α= ,α∈ ,tan β= (1)求 tan α的值; (2)求 tan(α+2β)的值.

.

5.设向量 a=(2,sin θ),b=(1,cos θ),θ 为锐角. (1)若 a· b= π 13 ,求 sin θ+cos θ 的值;(2)若 a∥b,求 sin 2θ+3 的值. 6

(

)

总结:

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式的关系. β)=sin αcos β± sin(α± cos αsin β 令 β=α sin 2α=2sin αcos α β)=cos αcos β?sin αsin β cos(α± cos 2α=cos2α-sin2α ?相除 =2co s2α-1 =1-2sin2α ? 1+cos 2α tan α± tan β β)= tan(α± cos2α= , 2 1?tan αtan β 1-cos 2α ?令 β=α sin2α= 2 2tan α tan 2α= 1-tan2α 2 基本的技巧有: (1)巧变角[已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其 和差角的变换.如 α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(β+α)-(β-α),α α+β α+β ? β ?α ? +β=2· , =?α-2? ?-?2-β?等]. 2 2 (2)三角函数名互化(切弦互化). tan α± tan β (3)公式变形使用[如将 tan(α± β)= 变形为 tan α ± tan β=tan(α± β) (1? tan αtan β)来 1? tan αtan β 使用]. 1+cos 2α 1-cos 2α (4)三角函数次数的降升(降幂公式:cos2α= ,sin2α= ;升幂公式:1+cos 2 2 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α). (5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构转化). 4. 辅助角公式: asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ) (其中角 φ 所在的象限由 a, b 的符号确定, b 角 φ 的值由 tan φ= 确定)在求最值、化简时起着重要作用. a


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