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19实验班高一物理竞赛讲义


质心运动

2016/06/11

安庆一中 2015 级理科实验班高一物理竞赛辅导 L19
一、质心及质心系 ? ? ? ? ? ? ? m1r1 ? m2 r2 , ? m1v m a ? m2 a2 1.质心的位置、速度和加速度: r 1 ? m2 v2 , ? vC ? aC ? 1 1 C ? m1 ? m2 m ?m

m1 ? m2 ? 1 2 ? 2.质心运动定理:系统的合外力等于总质量与质心加速度的乘积( F ? m总 aC ) 推论:若系统合外力为零,无论系统内各物体如何运动,系统质心将保持静止或匀速直线运动。 3.孤立二体的动力学方程:对于孤立二体系统,二体间相互作用力与二体间相对加速度满足如下关系式: ? ? F12 ? m1 a1C F12 ? ?a12 (其中 ? 称为折合质量或约化质量) 此方程既是质点 1 在质心系中的动力学方程也是质点 2 在质心系中的动力学方程,故又称等效一体问题。 二、质心系中的能量(无论是否孤立二体系统) 1.柯尼希定理:质点系在某参考系中的总动能 Ek 等于质心在该参考系中的动能 EkC 与质点在质心系中动能 的和。
1 1 1 2 2 2 , 对于二体系统: E ? 1 m v 2 ? 1 m v 2 , EkC ? 1 (m1 ? m2 )vC ? ? m1v12C ? m2 v2 Ek ?vr ? Ekr C ? k 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 两质点在质心系中的总动能称为两质点的相对动能,或称资用能。 2.质心系中的动能定理:质心系中某一质点所受合力(包含惯性力)的总功等于质点在质心系中动能的增 量; 1 1 ? 2 ?2 ? m1v1C W1 ? W1 ? m1v1C 对于二体系统: W ? W ? 1 ?v ? 2 ? 1 ?v 2 2 2
12 21

? E k ? E kC ? E k

2

12

2

12

三、质心系中的动量(无论是否孤立二体系统) 1.质心系是个零动量系; 2.质心系中的正碰:质心系中每个质点碰后的速度是碰前速度的 ? e 倍;
m1 ? m2

m (v ? v ) m (v ? v ) ?C ? m2 v2 ? C ? 0 , v2C ? ? v1 ?C ? e(v1 ? v2 ) → v1 m1v1 ?C ? ?e 2 1 2 ? ?ev1C ; v2C ? ? e 1 1 2 ? ?ev2 C
m1 ? m2

1. (2014 年高考安徽卷)在光滑水平地面上有一凹槽 A,中央放一小物块 B.物块与左右两边槽壁的距离 如图所示,L 为 1.0m.凹槽与物块的质量均为 m,两者之间的动摩擦因数μ为 0.05。开始时物块静止,凹 槽以 v0 ? 5m / s 初速度向右运动,设物块与凹槽壁碰撞过程中没有能量损失,且碰撞时间不计。 g 取 10m/s2.求: (1)物块与凹槽相对静止时的共同速度; (2)从凹槽开始运动到两者相对静止物块与右侧槽壁碰撞的次数; (3)从凹槽开始运动到两者相对静止所经历的时间及该时间内凹槽 运动的位移大小。 答案:(1)2.5m/s (2)6 (3)5s 12.75m v0
L 2

B

L 2

A

2.如图所示,木块与箱子质量均为 m ,且各处均无摩擦。初始时木块以 v0 的初速向右运动,恢复系数
?1? e ? ? ? 。问: ?2?
1/ 4

(1)要使损失动能不超过系统初动能的 40% ,最多能碰几次? (2)从开始到上述碰撞中,箱子的平均速度是多少? 答案:4 次;

3.假设宇宙空间的一个惯性系中,有两颗相距为 d ,质量分别为 M 和 m 的静止不动的星球,在万有引力 的相互作用下,开始相向运动。求两星球自静止起,至相碰止,共经历多长时间?设两星球半径远比相互 间距离小。 答案: t ? ?
2 d3 2G ( M ? m )

v0 。 2

质心运动

2016/06/11

4.如图所示,长为 L 的光滑平台固定在地面上,中间放小物体 A、B,两者彼此接触,A 的上表面是半径 为 R(R 远小于 L)的半圆形轨道,轨道顶端距平台高度为 h ,有一个小物体 C,A、B、C 质量均为 m 。 在运动过程中 A、C 始终保持接触。求: (1)A、B 刚分离时 B 的速度; (2)A、B 分离后,C 所能达到的最大高度; (3)试判断 A 在哪边落地,估计 A 从与 B 分离到落地经历的时间。 答案:(1) v ? gR (2) hm ? h ? R B
3

4

(3)左边, t ? L ?

3 gR

5. 两根长度均为 l 的刚性轻杆, 一端通过质量为 m 的球形铰链连接, 另一端分别接质量为 m 和 2m 的小球. 将 此装置的两杆并拢,铰链向上竖直地放在桌上,然后轻敲一下,使球往两边滑,但两杆始终保持在竖直面 内(如图),忽略一切摩擦.求: (1)铰链碰到桌面前的速度; (2)当两杆夹角为 900 时,质量为 2m 的小球的速度; (3)当两杆夹角为 900 时,质量为 2m 的小球的位移. 答案:(1)? ? 2 gl (2)

3 gl (2 ? 2 ) (3) 3l 20 4 2

6.有三个质量相等的粒子,粒子 1 与粒子 2 中间夹置一个被充分压缩了的轻质短弹簧,并用轻质细线缚在 一起(可视为一个小物体),静止地放置在光滑水平面上。另一个粒子 3 沿该光滑水平面射向它们。粒子 3 和粒子 1 相碰并粘连在一起运动,之后轻质细线自动绷断,使弹簧释放,三个粒子分成两部分:一部分 为粒子 2,另一部分为粘在一起的粒子 1、3。已知弹簧被充分压缩时的弹性势能是 E p 。为了使释放出的 粒子 2 的散射角保持在 30 之内,求粒子 3 入射时的动能应满足什么条件。
?

答案: Ek 0 ? 24 E p 7.(18 届预赛)如图所示,一质量为 M 、长为 L 带薄挡板 P 的木板,静止在水平的地面上,设木板与地 面间的静摩擦系数与滑动摩擦系数相等,皆为 ? .质量为 m 的人从木板的一端由静止开始相对于地面匀加 速地向前走向另一端,到达另一端时便骤然抓住挡板 P 而停在木板上.已知人与木板间的静摩擦系数足够 大,人在木板上不滑动.问:在什么条件下,最后可使木板向前方移动的距离达到最大?其值等于多少? 答案:人作用于木板的静摩擦力等于地面作用于木板的滑动摩擦力时,木 板向前移动的距离有最大值。 移动的最大距离: X max ?

m L M ?m

8.(19 届预赛)如图所示,在长为 l ? 1.0 m、质量为 mB=30.0kg 的车厢 B 内的右壁处,放 1 个质量 mA=20.0kg 的小物块 A(可视为质点 L 向右的水平拉力 F=120.0N 作用于车厢,使之从静止开始运动, 测得车厢 B 在最初 2.0S 内移动的距离 s=5.0m,且在这段时间内小物块未与车厢壁发生过碰撞.假定车 厢与地面间的摩擦忽略不计,小物块与车厢壁之间的碰撞是弹性的.求车厢开始运动后 4.0S 时,车厢与 小物块的速度.

答案:自车厢开始运动到 4.0 s 时车厢与物块的速度相同,均为 9.6 m ? s-1


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