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基本不等式应用


方城一高教案
教 学科: 学 过 程 教师姓名: 教学反思

算术平均数与几何平均数(二) 学习目标 1.能熟练应均值不等式证明不等式; 2.掌握利用重要不等式求最值的方法

一、复习:
1. 基本不等式,均值不等式:
① a,b∈ R,a2 +b2≥2ab

a?b ② a,b是正数 , ? ab 2

(当且仅当 a=b时取“=”号) (当且仅当a=b时取”=“号)

2.上面两个重要不等式有如下变形及推广: a?b 2 a 2 ? b2 ) (a ? 0, b ? 0) (1)ab ? (a ? R, b ? R) (2)ab ? ( 2 2 b a (4)a ? b ? ?2 ab (a ? 0, b ? 0) (3) ? ? 2(a, b同号)

(5)a ? b ? 2 ab (a ? 0, b ? 0)
a?b?c 3 ? abc (当且仅当a=b=c时取“=”号) 3 a1 ? a2 ? ? ? an n ? a1a2 ? an 当a1,a2, … ,an是正数时 n 推广 :

a

b

(当且仅当a1 =a 2 = L =a n时取 " ? "号)

二、均值不等式的应用
1.均值不等式可证明简单的不等式

例1. 1)已知:a,b,c均为正数,求证 : b?c?a c?a?b a?b?c ? ? ?3 a b c
2)已知 :正数a,b,c满足a+b+c=1,求证 : (1 ? a )(1 ? b )(1 ? c ) ? 8 abc

3)a>0,b>0且a+b=1,求证:

1 1 ? ?4 a b

4 已知 ) a?

求证 2

,

a

a? g :

l ? a ao

g ?

(

1

)

l

o

g

(

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二、均值不等式的应用
1.均值不等式可证明简单的不等式 2.应用均值不等式求最值的问题 (1)利用均值不等式求函数最值的步骤: 练习1)若 x>0,f(x)=

12 12 此时x=_______. 2 ? 3 x的最小值为_______; x 12 -12 此时x=_______. -2 ? 3 x的最大值为_______; 若 x<0,f(x)= x
一正

解 :因为x>0,

f (x) ?

12 当且仅当 ? 3x即x ? 2 时取等号 , x 三相等 即当 x=2时函数的最小值为12.

12 ? 3x ? 2 12 ? 3x ? 12 二定 x x

二、均值不等式的应用
1.均值不等式可证明简单的不等式 2.应用均值不等式求最值的问题 (1)利用均值不等式求函数最值的步骤: 练习1)若x>0,f(x)=

12 12 此时x=_______. 2 ? 3 x的最小值为_______; x 12 -12 此时x=_______. -2 ? 3 x的最大值为_______; 若 x<0,f(x)= x 5 (0 ? x ? 1) 的范围. 2)求函数 f (x) ? 2 ? log 2 x ? log 2 x
f (x) ? 2 ? log 2 x ?

5 5 ? 2 ? 2 log 2 x ? ? 2? 2 5 log 2 x log 2 x 注意:各项必须为正数 一不正, 常用a ? b ? ?2 ab (a ? 0, b ? 0) 5 正解: ? 0 ? x ? 1? log2 x ? 0 ? f (x) ? 2 ? log 2 x ? ? 2?2 5 log 2 x 5 当且仅当log2 x ? ,即x ? 2? 5 时, ? f (x)max ? 2 ? 2 5 log2 x

错解!

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2.应用均值不等式求最值的问题 (1)利用均值不等式求函数最值的步骤: (2)先变形再利用均值不等式求函数最值: 二不定, 需变形 1 1 0 例 2. 函数 y= x ? (x ≥ 0)的最小值为______, 此时 x=______.

解:

1 y ? x? x?1

x ?1

当且仅当

x2 ? 3x ? 1 ( x ? ? 1) 的最小值 . x ? 1 2 2 解: f (x) ? x ? 3x ? 1 ? (x ? 1) ? 5(x ? 1) ? 5 ? x ? 1 ? 5 ? 5 x?1 x?1 x?1 5 ?5? 2 5?5 ? x ? ?1 ? x ? 1 ? 0 又 ? x ? 1 ? x?1
练习 :1.求函数 f ( x ) ? 当且仅当 x ? 1 ? x ? 1 即x ? 5 ? 1 时取 “=”号 即当 x ? 5 ? 1 时 ,函数的最小值为 2 5 ? 5 2.应用均值不等式求最值的问题 (1)利用均值不等式求函数最值的步骤: (2)先变形再利用均值不等式求函数最值:
5

1 ? x ?1? ? 1 ≥ 2-1=1 x?1 1 x?1? 即x ? 0 时取 “=”号 x?1

练习2:求函数 y ? x(a ? 4x)(0 ? x ? ,a ? R? ) 4 并求出相应x的值.
(3)取不到等号时用函数单调性求最值: x2 ? 5 例 3.求函数 y ? 的最小值. x2 ? 4

a

的最大值,

错解: x
y?

2

?5
2

x ?4

?

x2 ? 4 ? 1 x ?4
2

?

x2 ? 4 ?
时取等号

1 x2 ? 4

?2

当且仅当

x2 ? 4 ?

1 x2 ? 4

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2.应用均值不等式求最值的问题 (1)利用均值不等式求函数最值的步骤: (2)先变形再利用均值不等式求函数最值: (3)取不到等号时用函数单调性求最值: x2 ? 5 y ? 例3.求函数 的最小值. x2 ? 4 1 依据: 利用函数 y ? t ? (t>0)的单调性. t t ? (0,1] 单调递减 三不等, 常用单调性 t ? [1, ?? ) 单调递增

正解:
y?

x2 ? 5 x ?4
2

?

x2 ? 4 ? 1 x ?4
2

?

x2 ? 4 ?

1 x2 ? 4

1 则y ? t ? (t ? 2) 令t ? x 2 ? 4 t 5 ?当t ? 2,即 : x ? 0时, ymin ? 2

例4已知 x, y ? R? , a、b为常数,且 求证:x+y的最小值为

a b ? ?1 x y

a b bx 解1: ? ? 1 ? y ? ?0? x?a ?0 x y x?a bx b( x ? a) ? ab ab ?x ? y ? x ? ? x? ? ( x ? a) ? ?a?b x?a x?a x?a

? 2 ab ? a ? b ? ( a ? b )2
y x a b 2 解2 : x ? y ? ( x ? y)( ? ) ? a ? b ? a ? ? b ? ? a ? b ? 2 ab ? ( a ? b ) x y x y

1 1 练习: 若x, y ? R ? , 且x ? 2 y ? 1, 求 ? 的最小值 x y

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小结: 二、均值不等式的应用

1.均值不等式可证明简单的不等式 2.应用均值不等式求最值的问题 (1)利用均值不等式求函数最值的步骤:

一正, 二定, 三相等
(2)先变形再利用均值不等式求函数最值: (3)取不到等号时用函数单调性求最值:

一不正, 常用a ? b ? ?2 ab (a ? 0, b ? 0)
二不定, 需变形 三不等, 常用单调性
作业: 同步练3~4页

补充例题
1、当x>-1时,y=

提示:y=

5 1 2、已知x< ,求函数y=4x-2+ 的最大值. 4 4x ? 5

x ?1 x ?1 ? ? x?2 ( x ? 1) 2 ? 1

x +1 的最大值为________ x +2

1 x ?1 ? 1 x ?1

?

1 2

提示:y=4x-2+

1 1 ? ?(5 ? 4x ? )?3 4x-5 5-4x

3、已知x、y>0,且

1 9 ? ? 1, 求x+y的最小值. x y

提示:三角换元法、判别式法均可;另解如下: ?1 9? y 9x ( 1)x+y= ? ? ? (x ? y) ? ? ? 10; x y ?x y? 1 9 (2)由 ? ? 1得(x-1)(y-9)=9(定值)且x>1,y ? 9, x y ?当且仅当x-1=y-9=3时;即x=4,y=12时,x+y最小=16


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