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2.3.1 直线与平面垂直的判定 学案(人教A版必修一)


2.3.1 直线与平面垂直的判定
一、学习目标: 知识与技能:理解直线与平面垂直的定义, 掌握直线与平面垂直判定的定理,并能运用判定定 理证明一些空间位置关系的简单命题. 理解直线与平面所成的角的定义及求法; 过程与方法: 培养几何直观能力, 使他们在直观感知, 操作确认的基础上学会归纳、 概括结论。 情感态度与价值观:亲身经历数学研究的过程,体验探索的乐趣,增强学习数

学的兴趣,同时 培养从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知的能力。 二、学习重、难点 学习重点: 操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。 学习难点: 操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用 三、使用说明及学法指导: 1、限定 45 分钟完成,注意逐字逐句仔细审题,认真思考、独立规范作答,不会的先绕过,做 好记号。 2、把学案中自己易忘、易出错的知识点和疑难问题以及解题方法规律,及时整理在解题本, 多复习记忆。3、对小班学生要求完成全部问题,实验班完成 80%以上,平行班完成 60%以上.4、 A 级是自主学习,B 级是合作探究,C 级是提升 四、知识链接: 直线与平面平行的性质定理: 一条直线与一个平面平行, 则过这条直线的任一平面与此平面的 交线与该直线平行 平面与平面平行的性质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行 五、学习过程:自主探究 一、直线与平面垂直的判定 1、线面垂直的定义 A 问题 1、结合对下列问题的思考,试着给出直线和平面垂直的定义. (1)阳光下,直立于地面的旗杆 AB 与它在地面上的影子 BC 所成的角度是多少? (2)随着太阳的移动,影子 BC 的位置也会移动,而旗杆 AB 与影子 BC 所成的角度是否会发生改 变? (3)旗杆 AB 与地面上任意一条不过点 B 的直线 B1C1 的位置关系如何?依据是什么? A 问题 2、直线与平面垂直的定义 如果直线 l 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 与平面α 互相垂直,记作:l ⊥α . 直线 l 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 l 的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一 的公共点 P 叫做垂足。 符号语言:

l
图形语言:

a是平面?内任一直线? ??l ?? l?a ?

α

P

思想: 直线与平面垂直 ? 直线与平面垂直 A 思考: (1)如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线是否与这个平面垂 直?

(2) 如果一条直线垂直于一个平面, 那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线?即若

l ? ? , a ? ? ,则 l ? a
2、直线与平面垂直的判定定理 A 问题 3、请同学们拿出一块三角形纸片,我们一起做一个试验:过三角形的顶点 A 翻折纸片, 得到折痕 AD(如图 1) ,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC 与桌面接触) A B B D (图 1) C C (图 2) D A

(1)折痕 AD 与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能使折痕 AD 与桌面所在的平面垂直? A 问题 4、直线与平面垂直的判定定理。 定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 符号语言: m ? ? , n ? ? , m ? n ? P? ??l ?? l ? m, l ? n ? 图形语言: α m p n l

思想: 直线与直线垂直 ? 直线与平面垂直 例 1 有一根旗杆 AB 高 8m , 它的顶端 A 挂一条长 10m 的绳子, 拉紧绳子并把它的下端放在地 面上的两点(和旗杆脚不在同一直线上) C , D ,如果这两点都和旗杆脚 B 的距离是 6 m ,那 么旗杆就和地面垂直,为什么?

A 问题 5、如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,请列举与平面 ABCD 垂直的直线。并说明这些直 线有怎样的位置关系?D 1 A1 D A B B1 C1

a
C

b

?

A 例 2:如图 5,已知 a // b, a ? ? ,则 b ? ? 吗?请说明理由。

小结:判断直线与平面垂直的方法 (1)定义法:(2)直接法:线面垂直的判定定理(3)间接法: 如果两条平行直线中的一条直线 垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面即 a // b, a ? ? ,则 b ? ? 3、直线与平面所成的角 问题 6: 斜线: 斜足: 斜线在平面上的投影: 直线和平面所成的角: 一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;(判断直线与平面垂直的方法 4) 一条直线和平面平行或在平面内,我们说它们所成的角是 0°的角. 例 3: 在正方体 ABCD _ A 1B 1C1 D 1 中,求: (1)直线 A 1B 和平面 ABCD 所成的角 (2)直线 A 1B 和平面 A 1B 1C D 所成的角
A A1 D1 B1 C1

D B

C

▲ 小结:直线和平面所成角的步骤 ①作图—找出或作出直线在平面上的射影 ②证明—证明所找或所作角即为所求角 ③计算—通常在三角形中计算角 六、达标检测: 1 直线 l 与平面?内的两条直线都垂直,则直线 l 与平面?的位置关系是 (A)平行 (B)垂直 (C)在平面?内 (D)无法确定 2 对于已知直线 a,如果直线 b 同时满足下列三个条件: ①与 a 是异面直线; ②与 a 所成的角为定值θ ; ③与 a 距离为定值 d 那么这样的直线 b 有 ( (A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)无数条
王新敞
奎屯 新疆



3.如图,已知 E,F 分别是正方形 ABCD 边 AD,AB 的中点,EF 交 AC 于 M,GC 垂直于 ABCD

所在平面. 求证:EF⊥平面 GMC.
G D E M A F B

C

4.已知:空间四边形 ABCD , AB ? AC , DB ? DC , 求证: BC ? AD

A

B E C

D

七、总结评价: 直线与平面垂直的判定方法 1.定义:如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线,则此直线垂直于这个平面. 2.判定定理:如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线, 那么此直线垂直于这个平面。 3.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一个平面。 4.如果直线和平面所成的角等于 90°,则这条直线和平面垂直 学后反思、自查自纠: 要求: 1、静心思考,查缺补漏,找出在基础、能力方面的漏洞。 2、不讨论,独立思考,将错题重新做一遍。可查阅课本和相关资料。 【金玉良言】快乐心中徜徉,自由随风飘扬,身体力行健康,奋进热情高涨,拼搏成就梦想.

【答案 15】直线与平面垂直的判定 例 1:解:在 ?ABC 和 ?ABD 中,
∵ AB ? 8m, BC ? BD ? 6m, AC ? AD ? 10m ∴ AB ? BC ? 6 ? 8 ? 10 ? AC
2 2 2 2 2 2

A ? C B D

AB2 ? BD2 ? 62 ? 82 ? 102 ? AD2
∴ ?ABC ? ?ABD ? 90 即 AB ? BC, AB ? BD 又∵ B, C, D 不共线 ∴ AB ? 平面 BCD ,即旗杆和地面垂直; 例 2:已知 a // b, a ? ? ,则 b ? ? 吗? 已知:a//b,a ? ? . 求证;b ? ? 证明:设 m 是 ? 内的任意一条直线
?

a
? m

b

a ?? ? ? ?a?m ? ? ? m ?? ? ? b ? m? ? ? a // b? ? b ?? ? m ?? ? ?
例 3:1)45°,2)30° 达标检测: 1) D;2)D 3)解:连结 BD 交 AC 于 O, ∵E,F 是正方形 ABCD 边 AD,AB 的中点,AC⊥BD, ∴EF⊥AC.

G D

C B

∵AC∩GC=C, ∴EF⊥平面 GMC.

E M A F


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