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专题3 第10讲


第 10 讲
[方法精要]

关于计算过程的再优化

中学数学的运算包括数的计算,式的恒等变形,方程和不等式同解变形,初等

函数的运算和求值,各种几何量的测量与计算,求数列和函数、(定积分)、概率、统计的初 步计算等. 《高中数学新课程标准》所要求的数学能力中运算求解能力更为基本,运算求解能 力指的是要求学生

会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理,能根据问题的条件, 寻找与设计合理、简捷的运算途径;能根据要求对数据进行估计和近似计算.运算求解能力 是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数字的计算、估值和近似计算,对式子的组合变 形与分解变形,对几何图形各几何量的计算求解等. 数学运算,都是依据相应的概念、法则、性质、公式等基础知识进行的,尤其是概念,它是 思维的形式,只有概念明确、理解透彻,才能作出正确的判断及合乎逻辑的推理.计算法则 是计算方法的程序化和规则化,对法则的理解是计算技能形成的前提.高考命题对运算求解 能力的考查主要是针对算法、推理及以代数运算为主的考查.因此在高中 数学中,对于运算求解能力的培养至关重要. 提高数学解题能力,首先是提高数学的运算求解能力,可以从以下几个方面入手: 1.培养良好的审题习惯. 2.培养认真计算的习惯. 3.培养一些常用结论的记忆的能力,记住一些常用的结论,比如数列求和的公式 12+22+32 1 +…+n2= n(n+1)(2n+1), 三角函数中的辅助角公式 asin x+bcos x= a2+b2sin(x+θ)等等. 6 4.加强运算练习是提高基本运算技能的有效途径,任何能力都是有计划、有目的地训练出来 的,提高基本运算技能也必须加强练习、严格训练. 5.提高运算基本技能,必须要提高学生在运算中的推理能力,这就首先要清楚运算的定理及 相关理论. 6.增强自信是解题的关键,自信才能自强,在数学解题中,自信心是相当重要的.

题型一 化繁为简,优化计算过程 例 1 过点( 2,0)引直线 l 与曲线 y= 1-x2相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于( A. 3 3 B.- 3 3 C.± 3 D.- 3 3 )

破题切入点 本题考查直线与圆的位置关系以及三角形的面积公式,先设出直线方程 x=my + 2,表示出△AOB 的面积,然后探讨面积最大时 m 的取值,得到直线的斜率.

答案 B 解析 由 y= 1-x2得,x2+y2=1(y≥0),

设直线方程为 x=my+ 2,m<0(m≥0 不合题意) 代入 x2+y2=1(y≥0),整理得, (1+m2)y2+2 2my+1=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 2 2m 1 则 y1+y2=- ,y1y2= , 2 1+m 1+m2 1 2 则△AOB 的面积为 × 2|y1-y2|= |y1-y2|, 2 2 因为|y1-y2|= = ?- ?y1+y2?2-4y1y2 ?2- 4 1+m2

2 2m 1+m

2

m2-1 2 m2-1 = = 1+m2 2+m2-1 2 = 2 + m2-1 2 2 ≤ m -1 2
2

2 × m -1
2

2

= m2-1

2 , 2

当且仅当

= m -1
2

m2-1,

即 m2-1=2,m=- 3时取等号. 此时直线方程为 x=- 3y+ 2, 即 y=- 3 6 x+ , 3 3 3 . 3

所以直线的斜率为-

题型二 运用概念、性质等优化计算过程 例 2 如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于点 A,B, 交其准线 l 于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为( A.y2=9x B.y2=6x )

C.y2=3x D.y2= 3x 破题切入点 由抛物线的定义解题. 答案 C

解析 如图,分别过 A,B 作 AA1⊥l 于 A1,BB1⊥l 于 B1,由抛物线的定 义知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|, ∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|, ∴∠BCB1=30° ,∴∠A1AF=60° . 连接 A1F,则△A1AF 为等边三角形, 过 F 作 FF1⊥AA1 于 F1,则 F1 为 AA1 的中点, 1 1 3 设 l 交 x 轴于 N,则|NF|=|A1F1|= |AA1|= |AF|,即 p= ,∴抛物线方程为 y2=3x,故选 C. 2 2 2 题型三 代数运算中加强“形”的应用,优化计算过程 nban-1 例 3 设 b>0,数列{an}满足 a1=b,an= (n≥2). an-1+2n-2 (1)求数列{an}的通项公式; bn 1 (2)证明:对于一切正整数 n,an≤ n+1+1. 2


n 1 2 n- 1 破题切入点 结合题目中 an 的表达式可知,需要构造 an 新的形式 = + · ,得到新的 an b b an-1 数列,根据新数列的形式求和;不等式的证明借用放缩完成. (1)解 由 a1=b>0,知 an= n 1 令 An= ,A1= , an b 2n-2 2n-1 1 2 1 2 当 n≥2 时,An= + An-1= + 2+…+ n 1+ n 1A1 b b b b b- b- 2n-2 2n-1 1 2 = + 2+…+ n 1+ n . b b b b- ①当 b≠2 时, 1 2 ?1-? ?n? bn-2n b b An= = n , 2 b ?b-2? 1- b n ②当 b=2 时,An= . 2 n 1 2 n-1 >0, = + · . an b b an-1 an-1+2n-2 nban-1

nb ?b-2? ? ? b -2 ,b≠2, a =? ?2, b=2. ?
n n n n

(2)证明 当 b≠2 时,(2

n+1

+b

n+1

bn-2n ) b-2

=(2n+1+bn+1)(bn-1+2bn-2+…+2n-1) =2n+1bn-1+2n+2bn-2+…+22n+b2n+2b2n-1+…+2n-1bn+1
n 1 2 22 2n bn b - b =2 b ( + 2+…+ n+ n+ n 1+…+ ) b b b 2 2- 2 n n

>2nbn(2+2+…+2), =2n· 2nbn=n· 2n+1bn, nbn?b-2? bn+1 ∴an= n < +1. b -2n 2n+1 bn+1 当 b=2 时,an=2= n 1+1. 2+ bn+1 综上所述 an≤ n 1+1. 2+ 总结提高 数学学习最重要的是创造能力,而解题则是培养学生创造能力的最好手段.通过 解题,可以提高运算求解能力,锻炼应付各种复杂情况的机智,以及掌握克服各种困难所需 要的若干常规方法和技巧.因此平时练习中应注重学生运算求解能力的训练,运算求解能力 提高了,解题水平就可以提高.

1.已知函数 f(x)= mx2+mx+1的定义域是一切实数,则 m 的取值范围是( A.0<m≤4 C.m≥4 答案 D 解析 根据题意 mx2+mx+1≥0(x∈R)恒成立, 当 m=0 时,满足不等式; B.0≤m≤1 D.0≤m≤4

)

? ?m>0, 当 m≠0 时,须满足? ?Δ=m2-4m≤0, ?
解得 0<m≤4,综上 0≤m≤4. 1 1 2.已知函数 f(x- )=x2+ 2,则 f(3)的值为( x x A.8 B.9 C.11 D.10 答案 C 1 1 解析 ∵f(x- )=(x- )2+2, x x ∴f(3)=9+2=11. 3.定义运算:(a b)?x=ax2+bx+2,若关于 x 的不等式(a a)?x<0 的解集为( ) b)?x<0 的解集为{x|1<x<2}, )

则关于 x 的不等式(b A.(1,2)

B.(-∞,1)∪(2,+∞) 2 ? C.? ?-3,1? 2? D.? ?-∞,-3?∪(1,+∞) 答案 D 解析 1,2 是方程 ax2+bx+2=0 的两实根,

? ?a=1, b 2 1+2=- ,1×2= ,解得? a a ?b=-3, ?
由(-3 1)?x=-3x2+x+2<0,得 3x2-x-2>0,

2 解得 x<- 或 x>1. 3 4. 已知函数 f(x)是 R 上的单调增函数且为奇函数, 数列{an}是等差数列, a3>0, 则 f(a1)+f(a3) +f(a5)的值( A.恒为正数 C.恒为 0 答案 A 解析 因为函数 f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(0)=0.又 f(x)是 R 上的增函数,所以当 x>0,时 有 f(x)>f(0)=0,当 x<0 时有 f(x)<f(0)=0,因为 a3>0,所以有 f(a3)>0. ) B.恒为负数 D.可以为正数也可以为负数

a1+a5 因为数列{an}是等差数列,所以 =a3>0?a1+a5>0?a1>-a5?f(a1)>f(-a5). 2 又 f(-a5)=-f(a5),所以 f(a1)+f(a5)>0,即有 f(a1)+f(a3)+f(a5)=[f(a1)+f(a5)]+f(a3)>0. AC cos B 5.在△ABC 中,若 = ,则( AB cos C A.A=C C.B=C 答案 C AC sin B cos B 解析 ∵ = = , AB sin C cos C ∴sin Bcos C-cos Bsin C=0. ∴sin(B-C)=0. 又∵-π<B-C<π, ∴B-C=0,即 B=C. 6.已知直线 l 与抛物线 y2=4x 交于 A、B 两点,若 P(2,2)为 AB 的中点,则直线 AB 的方程为 ________. 答案 x-y=0 解析 ∵点 A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线 y2=4x 上,
2 ?y1 =4x1, ? 2 ∴? ∴y2 -y2 1=4x2-4x1, 2 ? ?y2=4x2,

)

B.A=B D.以上都不正确



y2-y1

. x2-x1 y2+y1



4

因为 P(2,2)为 AB 的中点,所以 y2+y1=4, y2-y1 4 所以直线 AB 的斜率 k= = =1, x2-x1 4 所以直线 AB 的方程为 x-y=0. 7. 抛物线 y=x2 在 x=1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D(包含三角形内部与边界). 若 点 P(x,y)是区域 D 内的任意一点,则 x+2y 的取值范围是________. 1 答案 [-2, ] 2

1 解析 易知切线方程为: y=2x-1, 所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为 A(0,0), B( , 2 1 0),C(0,-1).易知过 C 点时有最小值-2,过 B 点时有最大值 . 2 π π π 8.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 A= ,bsin( +C)-csin( +B)=a. 4 4 4 π (1)求证:B-C= ; 2 (2)若 a= 2,求△ABC 的面积. π π (1)证明 由 bsin( +C)-csin( +B)=a, 4 4 应用正弦定理,得 π π sin Bsin( +C)-sin Csin( +B)=sin A, 4 4 sin B( 2 2 2 2 2 sin C+ cos C)-sin C( sin B+ cos B)= , 2 2 2 2 2

整理得 sin Bcos C-cos Bsin C=1, 即 sin(B-C)=1. 3 π 由于 0<B,C< π,从而 B-C= . 4 2 3π 5π π (2)解 B+C=π-A= ,因此 B= ,C= . 4 8 8 π 由 a= 2,A= ,得 4 asin B 5π asin C π b= =2sin ,c= =2sin , sin A 8 sin A 8 1 5π π 所以△ABC 的面积 S= bcsin A= 2sin sin 2 8 8 π π 1 = 2cos sin = . 8 8 2 π 9.已知奇函数 f(x)的定义域为实数集 R,且 f(x)在[0,+∞)上是增函数,当 0≤θ≤ 时,是 2 π? 否存在实数 m,使 f(cos 2θ-3)+f(4m-2mcos θ)>f(0)对所有的 θ∈? ?0,2?均成立?若存在,求 出所有适合条件的实数 m;若不存在,请说明理由. 解 ∵f(x)在 R 上为奇函数,又在[0,+∞)上是增函数, ∴f(x)在 R 上为增函数,且 f(0)=0.

由题设条件可得,f(cos 2θ-3)+f(4m-2mcos θ)>0. 又由 f(x)为奇函数,可得 f(cos 2θ-3)>f(2mcos θ-4m). ∵f(x)在 R 上为增函数,∴cos 2θ-3>2mcos θ-4m, 即 cos2θ-mcos θ+2m-2>0.令 cos θ=t, π ∵0≤θ≤ ,∴0≤t≤1. 2 于是问题转化为对一切 0≤t≤1,不等式 t2-mt+2m-2>0 恒成立. t2-2 t2-2 2 ∴t -2>m(t-2),即 m> 恒成立.又∵ =(t-2)+ +4≤4-2 2,∴m>4-2 2, t-2 t-2 t-2
2

∴存在实数 m 满足题设的条件,即 m>4-2 2. x2 y2 10.已知双曲线 2- 2=1(b>a>0), O 为坐标原点, 离心率 e=2, 点 M( 5, a b 3)在双曲线上. (1)求双曲线方程; 1 1 → → (2)若直线 l 与双曲线交于 P、 Q 两点, 且OP· OQ=0, 求 + 的值. |OP|2 |OQ|2 解 (1)因为 e=2,∴c=2a,b2=c2-a2=3a2, x2 y2 ∵双曲线方程为 2- 2=1, a 3a 即 3x2-y2=3a2, ∵点 M( 5, 3)在双曲线上, ∴15-3=3a2,∴a2=4, x2 y2 所以所求双曲线方程为 - =1. 4 12 (2)设直线 OP 的方程为 y=kx(k≠0), x= , ? ? 3-k x y 联立 - =1 得? 4 12 12k y= , ? ? 3-k
2 2 2 2 2 2 2

12

∴|OP|2=x2+y2=

12?k2+1? . 3-k2

1 → → ∵OP· OQ=0,∴直线 OQ 的方程为 y=- x, k 1 12? 2+1? 12?k2+1? k 同理可得|OQ|2= = , 1 3k2-1 3- 2 k 3-k2+?3k2-1? 1 1 ∴ + = |OP|2 |OQ|2 12?k2+1? = 1 = . 12?k +1? 6
2

2+2k2

11.已知实数 x、y 满足方程 x2+y2-4x+1=0.求: y (1) 的最大值和最小值; x (2)y-x 的最大值和最小值; (3)求 x2+y2 的最大值和最小值. 解 (1)方程 x2+y2-4x+1=0 表示以点(2,0)为圆心,以 3为半径的圆. y 设 =k,即 y=kx, x 则圆心(2,0)到直线 y=kx 的距离为半径时直线与圆相切,斜率取得最大、最小值. 由 |2k-0|
2

= 3,解得 k2=3, k +1

∴kmax= 3,kmin=- 3. (2)设 y-x=b,则 y=x+b,转化为求直线 y=x+b 的截距的最值, 圆心到直线的距离 |2+b| ≤ 3, 1+1

解得-2- 6≤b≤-2+ 6, 所以 y-x 的最大值和最小值分别为-2+ 6和-2- 6. (3)x2+y2 是圆上点与原点的距离的平方,故连接 OC, 与圆交于 B 点,并延长交圆于 C′,则 (x2+y2)max=|OC′|2=(2+ 3)2=7+4 3, (x2+y2)min=|OB|2=(2- 3)2=7-4 3.

12.已知 f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-3. (1)求函数 f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值; (2)对一切 x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; 1 2 (3)证明:对一切 x∈(0,+∞),都有 ln x> x- 成立. e ex (1)解 由 f(x)=xln x,x>0,得 f′(x)=ln x+1, 1 令 f′(x)=0,得 x= . e 1 当 x∈(0, )时,f′(x)<0,f(x)单调递减; e 1 当 x∈( ,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增. e 1 ①当 0<t< , e 1 1 f(x)min=f( )=- ; e e 1 1 ②当 ≤t<t+2,即 t≥ 时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,f(x)min=f(t)=tln t. e e

所以 f(x)min

?-e,0<t<e =? 1 ?tln t,t≥e

1

1 .

3 (2)解 2xln x≥-x2+ax-3,则 a≤2ln x+x+ , x ?x+3??x-1? 3 设 h(x)=2ln x+x+ (x>0),则 h′(x)= , x x2 ①当 x∈(0,1)时,h′(x)<0,h(x)单调递减, ②当 x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增, 所以 h(x)min=h(1)=4,因为对一切 x∈(0,+∞), 2f(x)≥g(x)恒成立, 所以 a≤h(x)min=4. x 2 (3)证明 问题等价于证明 xln x> x- (x∈(0,+∞)). e e 1 1 由(1)可知 f(x)=xln x(x∈(0,+∞))的最小值是- ,当且仅当 x= 时取到, e e

1-x x 2 1 设 m(x)= x- (x∈(0,+∞)),则 m′(x)= x ,易知 m(x)max=m(1)=- , e e e e 当且仅当 x=1 时取到. 1 2 从而对一切 x∈(0,+∞),都有 ln x> x- 成立. e ex


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