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2018版高中数学人教B版必修五学案:第三单元 §3.2 均值不等式(二) Word版含答案


学习目标 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用 .2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问 题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题. 知识点一 均值不等式及变形 思考 使用均值不等式证明: 2 ≤ ab(a>0,b>0),并说明什么时候等号成立. 1 1 + a b 梳理 以下是均值不等式的常见变形,试用不等号连接,并说明等号成立的条件. a+b 2 当 a>0,b>0 时,有 ________ ab________ ________ 1 1 2 + a b 当且仅当________时,以上三个等号同时成立. a2+b2 ; 2 知识点二 用均值不等式求最值 思考 因为 x2+1≥2x,当且仅当 x=1 时取等号.所以当 x=1 时,(x2+1)min=2. 以上说法对吗?为什么? 梳理 均值不等式求最值的条件: (1)x,y 必须是________; (2)求积 xy 的最大值时,应看和 x+y 是否为________;求和 x+y 的最小值时,应看积 xy 是否 为________; (3)等号成立的条件是否满足. 类型一 均值不等式与最值 4 例 1 (1)若 x>0,求函数 y=x+ 的最小值,并求此时 x 的值; x 3 (2)设 0<x< ,求函数 y=4x(3-2x)的最大值; 2 4 (3)已知 x>2,求 x+ 的最小值; x-2 1 9 (4)已知 x>0,y>0,且 + =1,求 x+y 的最小值. x y 反思与感悟 在利用均值不等式求最值时要注意三点:一是各项均为正;二是寻求定值,求 和式最小值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为定值(恰当变形,合理拆分项或配凑因 式是常用的解题技巧);三是考虑等号成立的条件是否具备. 12 跟踪训练 1 (1)已知 x>0,求 f(x)= +3x 的最小值; x (2)已知 x<3,求 f(x)= 4 +x 的最大值; x-3 (3)设 x>0,y>0,且 2x+8y=xy,求 x+y 的最小值. 类型二 均值不等式在实际问题中的应用 命题角度 1 几何问题的最值 例 2 (1)用篱笆围一个面积为 100m2 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆 最短,最短的篱笆是多少? (2)一段长为 36m 的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最 大,最大面积是多少? 反思与感悟 利用均值不等式解决实际问题时,一般是先建立关于目标量的函数关系,再利 用均值不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件. 跟踪训练 2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800m3,深为 3m,如果池底每 1m2 的造价为 150 元,池壁每 1m2 的造价为 120 元,问怎样设计水池才能使总造价最低?最低 总造价是多少? 命题角度 2 生活中的最优化问题 例 3 某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉 6 吨,每吨面粉的价格为 1800 元,面 粉的保管费及其他费用为平均每吨每天 3 元,购买面粉每次需支付运费 900 元.求该厂多少 天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少? 引申探究 若受车辆限制,该厂至少 15 天才能去购买一次面粉,则该厂应多少天购买一次面粉,才能使 平均每天所支付的费用最少? 反思与感悟 应用题,先弄清题意(审题),建立数学模型(列式),再用所掌握的数学知识解决 问题(求解),最后要回应题意下结论(作答).使用均值不等式求最值,要注意验证等号是否成 立,若等号


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