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高中数学总复习......集合


集合总复习 集合总复习 一、本章复习建议: 本章复习建议:
解不等式是高中数学的主要工具之一,建议将 “不等式”拆开,把不等式的解法安排在第一章.

二、考试内容: 考试内容:
(1) 集合、子集、补集、交集、并集. (2)不等式的解法.含绝对值的不等式. (3)逻辑联结词.四种命题.充分条件和必要条件.

三、考试要求: 考试要求:
(1)理解集合、子集、补集、交集、交集的概念.了解空集和全集的意义.了解属于、包含、相 等关系的意义.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合. (2)掌握简单不等式的解法. (3)理解逻辑联结词"或"、"且"、"非"的含义.理解四种命题及其相互关系.掌握充分条件、必 要条件及充要条件的意义.

四、知识回顾: 知识回顾:
基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 集合间的交、并、补运算. 集合运算的性质; 集合的分类、特性、表示法、常用数集专用符号; 元素与集合、集合与集合的关系; 集合的文氏图、数轴法表示的应用.

交:A ∩ B ? {x | x ∈ A, 且x ∈ B} 并:A ∪ B ? {x | x ∈ A或x ∈ B} 补:C U A ? {x ∈ U , 且x ? A}
主要性质和运算律 包含关系:

A ? A, Φ ? A, A ? U , C U A ? U , A ? B, B ? C ? A ? C ; A ∩ B ? A, A ∩ B ? B; A ∪ B ? A, A ∪ B ? B.

等价关系: A ? B ? A ∩ B = A ? A ∪ B = B ? C U A ∪ B = U 集合的运算律:(注意结合“文氏图”) 交换律: A ∩ B = B ∩ A; A ∪ B = B ∪ A. 结合律: ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ); ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C )

分配律:. A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ); A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) 0-1 律: Φ ∩ A = Φ, Φ ∪ A = A, U ∩ A = A, U ∪ A = U 等幂律: A ∩ A = A, A ∪ A = A. 求补律:A∩ UA=φ A∪ UA=U UU=φ Uφ=U U( UA)=A 反演律: U(A∩B)= ( UA)∪( UB) U(A∪B)= ( UA)∩( UB) 有限集的元素个数 定义:有限集 A 的元素的个数叫做集合 A 的基数,记为 card( A)规定 card(φ) =0. 基本公式: (1、2、3、5 了解;4 要记住)

(1)card ( A ∪ B) = card ( A) + card ( B) ? card ( A ∩ B ) (2)card ( A ∪ B ∪ C ) = card ( A) + card ( B) + card (C ) ? card ( A ∩ B) ? card ( B ∩ C ) ? card (C ∩ A) + card ( A ∩ B ∩ C )
(3) card( UA)= card(U)- card(A) (4)设有限集合 A, card(A)=n,则 (ⅰ)A 的子集个数为 2 n ; (ⅱ)A 的真子集个数为 2 n ? 1 ;

(ⅲ)A 的非空子集个数为 2 n ? 1 ;(ⅳ)A 的非空真子集个数为 2 n ? 2 . (5)设有限集合 A、B、C, card(A)=n,card(B)=m,m<n,则 (ⅰ) 若 B ? C ? A ,则 C 的个数为 2 n? m ; (ⅱ) 若 B ? C ? A ,则 C 的个数为 2 n ?m ? 1 ; (ⅲ) 若 B ? C ? A ,则 C 的个数为 2 n ?m ? 1 ; (ⅳ) 若 B ? C ? A ,则 C 的个数为 2 n ?m ? 2 .

五、考点典型分析 考点典型分析 典型分
【1】集合是元素的总体,所以认识集合的关键是先认清元素,特别是用描述法表示的集合,这一 点尤为重要. 遇到集合问题,首先要弄清:集合里的元素是什么及集合中元素满足的条件。 集合的辨别:注意数集与点集的区别 例 1: 已知 A = x | y =

解析:集合 A 中的元素为 x ,由 x 易知 x ≥ 0 ,∴ A = {x | x ≥ 0} ; 集合 B 的元素是 y ,由 x ≥ 0 得 y ≥ 1 ,∴ B = { y | y ≥ 1} .
2

{

x + 1 , B = { y | y = x 2 + 1} ,则 A ∩ B =

}

.

∴ A ∩ B = {x | x ≥ 0} ∩ { y | y ≥ 1} = {x | x ≥ 1} . 评注:虽然集合 A 、 B 元素的一般符号不同,但它们的本质是相同的,即都是数集,所以它们

之间可进行运算,集合 A ∩ B 元素的一般符号用 x 或 y 都可以. 例 2:已知 A = ( x, y ) | y = x 2 + 1 , B = y | y = x 2 + 1 ,则 A ∩ B = 能运算,所以 A ∩ B = φ 例 3: (1)已知 A={(x,y)|x+y=1,x∈R},B={(x,y)|2x-y=2,x∈R}, 则 A∩B=______; (2)已知 A={y|y=x2-1,x∈R},B={y|y=7-x2,x∈R}, 则 A∩B=________. 分析:第(1)题中 A、B 为点集,所以

{

}

{

}

.

解析:集合 A 中的元素为点(x,y),而集合 B 中的元素为 y ,表示一个数. 它们之间可进行不

? ?x = 1 ? ?x + y = 1 ? ? A ∩ B = ?( x, y ) | ? (描述法) ( , } (列举法):, = { 1 0) ? = ?( x, y ) | ? ? ?2 x ? y = 2 ? ? ? y = 0? ?
第(2)题,因为 A、B 都表示数集,它们分别表示函数 y=x2-1,x∈R 和 y=7-x2,x∈R 的 值域,从整体上把握,应该有 A={y|y≥-1},B={y|y≤7},因此 A∩B={y|-1≤y≤7}. 【2】判断元素与集合、集合与集合关系题 注意符号“∈”“?”与“?”“ ? ”各自的用法. 、 、 “∈”与“?”只能用于元素与集合之间;符号“∈”用在元素和集合间表示从属关系;而 “?”与“ ? ”是用在两个集合之间.符号“ ? ”用在两集合间表示包含关系如 1∈{1,2};3?{1,2};{1}?{1,2};{a} ? {a,b}等等. 例 4:M={x∈R|x≤ 10 },a=3,则下列关系正确的是:A a∈M B a ? M C {a}∈M D {a} ? M 解:a 是元素,{a}与 M 是集合,由于 3 ≤ 10 ,故选(D) . 判断策略: 1、具体化:对于离散的数集或点集等具有明显特征的集合,可以将集合中的元素一一列举出来, 使之具体化,然后从中寻长解题方法. k 1 k 1 ? ? ? ? 例 5 设集合 M = ? x | x = + ,k ∈ Z ? , N = ? x | x = + ,k ∈ Z ? ,则( ) 2 4 4 2 ? ? ? ?
A. M = N B. M ? N C. M ? N D. M ∩ N ≠ ?

解析一: (列举法)分别取 k = ?, 1 0,2, , ? ,1 ? ,

1 1 3 5 7 ? ? ? 1 1 3 5 3 7 ? 得 M = ??, , , , , , ? , N = ??, , , , , , , ? . ? ? 1 , ? 4 4 4 4 4 ? ? ? 4 2 4 4 2 4 ? 1 易看出, M 中的元素在 N 中都有,而 N 中的元素如 ? M . ∴ M ? N ,故选(B) . 2
解析二:比较集合中元素的特征:分式通分 k 1 2k + 1 ? ? ? ? M = ? x | x = + ,k ∈ Z ? = ? x | x = ,k ∈ Z ? 2 4 4 ? ? ? ?
k 1 k+2 ? ? ? ? N = ? x | x = + ,k ∈ Z ? = ? x | x = ,k ∈ Z ? 4 2 4 ? ? ? ?

因为 k∈z 即 k 为整数,所以 2k+1 为奇数,k+2 为整数 ∴ M ? N

2、图示法:数形结合思想可帮助我们理解集合的本质含义,如在进行有些集合的运算时,
借助数轴示意图表示集合与集合的关系,既易于理解, 又能提高解题效率; 又如对于集合的交、 并、 补等运算,用 Venn 图描述,比单纯用数学语言要形象直观.

例 6 已知 M={x|x>1},N={x|x>a}且 M?N,则(



(A)a≤1 (B)a<1 (C)a≥1 (D)a>1 【3】有关集合运算题:设全集为 U,已知集合 A、B 则 A ∩ B = {x | x ∈ A, 且 x ∈ B} ,即求公共元素构成的集合 A ∪ B = {x | x ∈ A, 或 x ∈ B} ,即两集合中的元素并在一起,相同元素只写一次 CU A = {x | x ∈ U , 且 x ∈ A} .即全集中的元素去掉 A 中的元素。 注意:有的集合问题比较抽象,解题时若借助韦恩图进行数形分析或利用数轴、图象,采用数 形结合思想方法,往往可使问题直观化、形象化,进而能使问题简捷、准确地获解. 例 7:集 U = R, A = {x | x ≤ 2} , B = {x | x > ?1} .
(1)求 A ∩ B 及 A ∪ B ;(2)求

( A ∩ B) 及

( A ∪ B) .

解:(1)如图,利用数轴可直观地得到结果:

A ∩ B = {x | ?1 < x ≤ 2} ; A ∪ B = R . 2 1 x (2) ( A ∩ B ) = {x | x ≤ 1 ,或 x > 2} ; ( A ∪ B ) = ? . 例 8: U= {2,3,a 2 + 2 a ? 3} , A = {| 2a ? 1|, 2} , ? A = {5} , 求实数 a 的值. U 分析;根据补集的定义, ? A = {5} 表示了 5 ∈ U 且5 ? A ,抓住了这两层,就能准确作答. U 解;由 ? A = {5} 可得, 5 ∈ U 且5 ? A U 所以 a 2 + 2a ? 3 = 5, 解得a = 2或a = ?4 当 a =2 时,|2 a -1|=3 ≠ 5 符合题意. 当 a =-4 时, |2 a -1|=9 ≠ 5 ,但是 9 ?U 值为 2. 例 9 已知全集 U = {x | x 取不大于 20 的质数},A、B 是 U 的两个子集,且 A ∩ (C U B)={3,5}, (C U A) ∩ B ={7,19},(C U A) ∩ (C U B) ={2,17},求集合 A、B.
解:由于 U = {2,3,5,7,11,13,17,19}, 作出如右图所示的 Venn 图.集合 A、B 将全集 U 划分成了四部分.



① A ∩ (C U B);②(C U A) ∩ B;③A ∩ B;④(C U A) ∩ (C U B)(也就是 C U (A ∪ B)), 它们的并集为全集 U. 已知 A ∩ (C U B)、(C U A) ∩ B、(C U A) ∩ (C U B) 的元素让他们对号入座,剩下的元素组成了 A ∩ B. 故 A ∩ B ={11,13}, 可得 A ={3,5,11,13}, B = {7,11,13,19}.

A ∩ (C U B) A ∩ B (C U A) ∩ B 11 、 3 、5 7、19 (C U A) ∩ (C U B) 2、17

评析:元素与集合的隶属关系以及集合之间的 包含关系,一般都能通过 Venn 图形象表达,再加上由于题设条件比较抽象,也应借助于 Venn 图寻 找解题思路,这样做有助于直观地分析问题、解决问题. 例 10 全集 U ={x|0<x≤10,x∈N*},若 A∩B={3},A∩ ? UB={1,5,7}, ? UA∩ ? UB={9}, 求 A,B.分析:本题关系较为复杂,由推理的方法较难,而用韦恩图,则显得简捷. 解:由 U ={1,2,3,…,9},据题意,画韦恩图,如右图, 易得 A={1,3,5,7},B={2,4,6,8}. 【4】已知集合关系,求字母参数的范围

U

A 1 5 7

3

B 2 4 6 8

9

M ∩ N = {3,} ,求实数 a 的值. 7 2 剖析:∵ M ∩ N = {3,} ,∴ a + 4a + 2 = 7 .解得 a = 1 ,或 a = ?5 . 7 当 a = ?5 时, N 中的元素为 0,7,3,7,这与集合中元素的互异性矛盾,应舍去 a = ?5 . 当 a = 1 时, N = {0, 3, ,故正确结果是 a = 1 7,1} 例 12: Α = { x | a ? 2 < x < a + 2} , B = { x | ?2 < x < 3} ,若 A ∩ B = A ,求实数 a 的取值范围. 分析;化简集合 A与集合B ,利用数轴作图,可形象直观地表达出 a 所满足的条件. 解:由已知得 A = { x | a ? 2 < x < a + 2} , B = { x | ?2 < x < 3} 由 A ∩ B = A 可得 A ? B ,注意:A 集合确定,直接数轴作图求解。
。 。 -2 a ? 2 。 。 a+2 3

例 11 、 知 集 合 M = 2, a + 4a + 2 3,
2

{

}

, N = 0, a + 4a ? 2, ? a 7, 2
2

{

}

, 且

所以 ?

? a ? 2 ≥ ?2 解得 0 ≤ a ≤ 1 ?a + 2 ≤ 3

x

评注:1. 注意端点值的舍取,一个难点和易错点,我们看到取等号时,集合 A与集合B 是相等的, 此时满足 A ? B .若把条件 A ∩ B = A 改为 A  B 呢?显然就取不到等号了. 2.将 A ∩ B = A 转化为 A ? B ,以数轴直观地表达出了两集合的包含关系. 例 13:已知集合 A={ x ∣ x ≥4,或 x <-5},B={ x ∣ a +1≤ x ≤ a +3} , 若A∪B=A,求 a 得取值范围. 解:由A∪B=A得 B ? A.注意:A 集合确定,直接数轴作图求解 ∴ a +3<-5,或 a +1≥4,解得 a <-8,或 a ≥3. 分析:当 a =-8时,不符合题意;当 a =3时,符合题意, 评注:在求集合中字母取值范围时,要特别注意该字母在取值范围的边界能否取等号,否则会 导致解题结果错误. 例 14、设集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若 B ? A,求实数 m 的取值范围. 注意:B ? A. B 集合不确定,即当 m+1>2m-1 时,B=Φ,所以需讨论 解析: (1)当 m+1>2m-1,即 m<2 时,B=Φ 也符合 B ? A.

? m + 1 ≤ 2m ? 1 ? m ≥ 2 ? ? (2)B≠Φ 时 B ? A,∴ ?m + 1 ≥ ?2 ∴ ? m ≥ ?3 即 ? 3 ≤ m ≤ 3 ? 2m ? 1 ≤ 5 ? m≤3 ? ?
因此所求实数 m 的范围应为 m<2 或 2≤m≤3,即 m≤3. 2 例 15:已知 A={x|x -3x+2=0},B={x|ax-2=0},并且 A∪B=A,求实数 a 组成的集合 C. 分析:因为 A∪B=A ? B ? A ,可据此求 a 的值,但要注意 B=Φ 的情形. 解: (1)当 a=0 时,B=Φ 符合题意;
2 (2)当 a≠0 时,B={ a },而 A={1,2}, 2 2 ∵A∪B=A ? B ? A ∴ a =1 或 a =2 ,∴a=2 或 a=1. 综上,C={0,1,2} .

注意“?”的特殊性. “?”是不含任何元素的集合.但它在集合大家庭中的地位却不可

小视, ?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集; 1、 ?只有唯一的一个子集(即它本身) ,而无真子集; 2、 任何一个集合与?作交集运算都等于?; 任何一个集合 A 与?作并集运算都等于 A .遇到 A ∩ B = ? 时,你是否注意到“极端”情况: A = ? 或 B = ? ;同样当 A ? B 时,你 是否忘记 A = ? 的情形?
例 16:知集合 A = { m,

n 2 ,1},集合 B = {m ,m + n,0},若 A = B ,求实数 m、n 的值. m

?n ? =0 ? n=0 ?m 解法一: 所以 ? 由集合的互异性可知 m≠1.所以 m =-1,n = 0 ?m 2 = 1 ? ?m = ±1
解法二:由 A = B ,得集合中三个数相加对应相等,三个数相乘对应相等,所以

n ? 2 ?m + m + 1 = m + m + n + 0 , ? ? ?m ? n ? 1 = m 2 ? ( m + n ) ? 0 . ? m ?

?n = 0 , ? ? ?m = ± 1.

由集合的互异性可知 m≠1.所以 m =-1,n = 0.

六、基础训练
一、选择题: 1.集合 M = { ,2,3,4,5}的子集个数是 1 A.32
2

( C.16 D.15 (



B.31

2.如果集合 A={ x | ax + 2 x + 1=0}中只有一个元素,则 a 的值是 A.0 A. a ? M



3.设集合 M = x | x ≤ 2 3 , a = 11 + b ,其中 b ∈ (0,1) ,则下列关系中正确的是( 4.设集合 A={x|1<x<2},B={x|x<a}满足 A ? B,则实数 a 的取值范围是 A. [2,+∞) B. (? ∞,1] C. [1,+∞ )

{

B.0 或 1

}

C.1 C. {a}∈ M

D.不能确定 ) D. {a} ? M



B. a ? M









D. (? ∞,2] ( )

5.满足{1,2,3} ? M ? {1,2,3,4,5,6}的集合 M 的个数是





A.8

B.7

C.6

D.5 )

6.设全集I={0,1,2,3,4},集合A={0,1,2,3},集合B={2,3,4},则C I A ∪C I B = ( A.{0}
2

B.{0,1}

C.{0,1,4}
2

D.{0,1,2,3,4} )

7.集合A={a ,a+1,-1},B={2a-1,| a-2 |, 3a +4},A∩B={-1},则a的值是( A.-1 B.0 或 1 C.2 D.0

8.已知集合 M={(x,y)|4x+y=6},P={(x,y)|3x+2y=7},则 M∩P 等于 A.(1,2) B.{1}∪{2} C.{1,2} D.{(1,2)}





9.设集合 A={x|x∈Z 且-10≤x≤-1},B={x|x∈Z 且|x|≤5 },则 A∪B 中元素的个数为 ( A.11 B.10 C.16 D.15 (



10.已知全集 I=N,集合 A={x|x=2n,n∈N},B={x|x=4n,n∈N},则 A.I=A∪B 11.设集合 M= {x | x = A.M =N B.I= C I A ∪B C.I=A∪ C I B



D.I= C I A ∪ C I B ( )

k 1 k 1 + , k ∈ Z }, N = {x | x = + , k ∈ Z } ,则 2 4 4 2
B. M ? N C. M ? N

D. M ∩ N = Φ ( )

12.集合 A={x|x=2n+1,n∈Z},

B={y|y=4k±1,k∈Z},则 A 与 B 的关系为

A.A ? B B.A ? B C.A=B D.A≠B ≠ ≠ 13.(04 年全国Ⅰ理)设 A、B、I 均为非空集合,且满足 A ? B ? I ,则下列各式中错误的是 ( B ) (A) (C I A) ∪ B = I (C) A ∩ (C I B ) = Φ (B) (C I A) ∪ (C I B ) = I (D) (C I A) ∩ (C I B ) = C I B

14.(05 全国卷Ⅰ)设 I 为全集, S1、S 2、S 3 是 I 的三个非空子集,且 S1 ∪ S 2 ∪ S 3 = I ,则下面 论断正确的是(C) (A) C I S1 ∩ S 2 ∪ S 3) Φ ( = (C) C I S1 ∩ C I S 2 ∩ C I S 3) Φ =

( (B) S1 ? CI S2 ∩ CI S3) ( (D) S1 ? CI S2 ∪ CI S3)

15.(05 湖北卷)设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q= {a + b | a ∈ P, b ∈ Q}, 若P = {0,2,5}, Q = {1,2,6} ,则 P+Q 中元素的个数是 ( B )

A.9 B.8 C.7 D.6 16.设集合 A 和 B 都是坐标平面上点集{ (x,y) ︳x∈R,y∈R},映射 f: A→B 把集合 A 中的元素(x,y) 映射成集合 B 中的元素(x+y,x-y),则在映射 f 下,象(2,1)的原象是 ( ) (A)(3,1) (B) (

3 1 3 1 , ) (C)( ,? ) (D)(1,3) 2 2 2 2

17.(04 年北京理)函数 f ( x) = ?

? x ?? x

x∈P x∈M

,其中 P、M 为实数集 R 的两个非空子集,又规定

f(P)={y ︱ y=f(x),x ∈ P}, f(M)={y ︱ y=f(x),x ∈ M}. 给 出 下 列 四 个 判 断 , 其 中 正 确 判 断 有 ( B ) ①若 P∩M= Φ 则 f(P)∩f(M)= Φ ②若 P∩M≠ Φ 则 f(P)∩f(M)≠ Φ

③若 P∪M=R 则 f(P)∪f(M)=R A 1个 B 2个

18.(06 安徽卷)设集合 A = x x ? 2 ≤ 2, x ∈ R , B = y | y = ? x 2 , ?1 ≤ x ≤ 2 ,则 CR ( A ∩ B ) 等于( A. R ) B. x x ∈ R, x ≠ 0

{

④若 P∪M≠R 则 f(P)∪f(M)≠R C 3个 D 4个

}

{

}

{

}

C. {0}

D. ?

解: A = [0, 2] , B = [ ?4, 0] ,所以 CR ( A ∩ B ) = CR {0} ,故选 B。 19(06 卷)若 A、B、C 为三个集合, A ∪ B = B ∩ C ,则一定有 (A) A ? C (B) C ? A (C) A ≠ C (D) A = φ

【思路点拨】本题主要考查.集合的并集与交集运算,集合之间关系的理解。 【正确解答】因为 A ? A ∪ B且C ∩ B ? C A ∪ B = C ∩ B 由题意得 A ? C 所以选 A 【解后反思】对集合的子、交、并、补运算,以及集合之间的关系要牢固掌握。本题考查三个抽象 集合之间的关系,可以考虑借助与文氏图。 20.(06 卷 I)设集合 M = x x ? x < 0 , N = x x < 2 ,则
2

A. M ∩ N = ?

{

B. M ∩ N = M

}

{

}

C. M ∪ N = M

D. M ∪ N = R

解: M = x x ? x < 0 = {x | 0 <
2

{

}

x < 1} , N = { x x < 2} = {x | ?2 < x < 2} ,

∴ M ∩ N = M ,选 B. 21.(06 重庆卷)已知集合 U={1,2,3,4,5,6,7}, A={2,4,5,7},B={3,4,5},则( uA)∪( uB)= (A){1,6} (B){4,5} (C){1,2,3,4,5,7} (D){1,2,3,6,7}

解析:已知集合 U = { ,2,3,4,5,6,7}, A = {2,4,5,7}, B = {3,4,5},( uA) ={1,3,6},( uB) ={1,2, 1 6,7},则( uA)∪( uB)={1,2,3,6,7},选 D. 22. (06 辽宁卷)设集合 A = {1, 2} ,则满足 A ∪ B = {1, 2, 3} 的集合 B 的个数是 (A)1 (B)3 (C)4 (D)8 【解析】A = {1, 2} ,A ∪ B = {1, 2,3} , 则集合 B 中必含有元素 3, 即此题可转化为求集合 A = {1, 2} 的子集个数问题,所以满足题目条件的集合 B 共有 22 = 4 个。故选择答案 C。 二、填空题: 23.设集合 U={(x,y)|y=3x-1},A={(x,y)| 24.集合 M={a|

y?2 =3},则 C U A= x ?1
___.

.

6 ∈N,且 a∈Z},用列举法表示集合 M=_____ 5?a

25.设含有 10 个元素的集合的全部子集数为 S,其中由 3 个元素组成的子集数为 T,则 T/S 的值 为
2

. .

26.设 A={x|x +x-6=0},B={x|mx+1=0},且 A∪B=A,则 m 的取值范围是

三、解答题: 27.已知集合 A={x|-1<x<3 } ,A∩B= ? ,A∪B=R,求集合 B. 28.已知集合 A={x|1≤x<4},B={x|x<a};若 A B,求实数 a 的取值集合. 29.已知集合 A={-3,4},B={x|x -2px+q=0},B≠φ,且 B ? A,求实数 p,q 的值.
2

30.设集合 A={x|x +4x=0},B={x|x +2(a+1)x+a -1=0} ,A∩B=B, 求实数 a 的值. 31.已知集合 A= x ? 2 ≤ x ≤ 5 , B = x m + 1 ≤ x ≤ 2m ? 1 ,且 A ∪ B = A ,求实数 m 的取值范 围。 32.集合 A={x|x -ax+a -19=0} B={x|x -5x+6=0} C={x|x +2x-8=0} , , .? (1)若 A∩B=A∪B,求 a 的值; (2)若 ? A∩B,A∩C= ? ,求 a 的值. 33.已知集合 A= {x ? y, x + y, xy},B= x 2 + y 2 , x 2 ? y 2 ,0 ,A=B,求 x,y 的值。
2 2 2 34 .已 知集使 A= y y ? ( a + a + 1) y + a ( a + 1) > 0 , B= ? y y =
2 2 2 2

2

2

2

{

}

{

}

{

}

{

}

? ?

? 1 2 5 x ? x + ,0 ≤ x ≤ 3? , 2 2 ?

A∩B=φ,求实数 a 的取值范围. 35.已知函数 y=3x+1 的定义域为 A= {3, b, c, d } ,值域为 B= 4, 7, a 2 + 3a, a 3 + 5a 2 + 2a + 20 求 a+b+c+d.

{

}

七、实战训练 A
一、选择题 1. (07 全国 1 理)设 a, b ∈ R ,集合 {1, a + b, a} = {0, A.1 B. ?1

b , b} ,则 b ? a = a
D. ?2 )

C.2

2、 (07 山东文理 2)已知集合 M = {?11} N = ? x | ,, A. {?11} , C. {?1}
1 1? x

? ?

1 ? < 2 x +1 < 4,x ∈ Z ? ,则 M ∩ N = ( 2 ?
D. {?1, 0}

B. {0}

3、 (07 广东理 1)已知函数 f ( x) = (A) {x | x > ?1} (B) {x | x < 1}

的定义域为 M,g(x)= ln(1 + x) 的定义域为 N,则 M∩N= (D) ?

(C) {x | ?1 < x < 1}

4、 (07 广东理 8)设 S 是至少含有两个元素的集合,在 S 上定义了一个二元运算“*” (即对任意的 a,b∈S,对于有序元素对(a,b), S 中有唯一确定的元素 a*b 与之对应)若对于任意的 a,b∈S,有 a*( b 在 。

* a)=b,则对任意的 a,b∈S,下列等式中不恒成立的是 A . (A)( a * b) * a =a (B) [ a*( b * a)] * ( a*b)=a(C)b*( b * b)=b 5、 (07 安徽理 5)若 A = x ∈ Ζ 2 ≤ 2 个数为 (A)0 (B)1 (C)2
2

(D)( a*b) * [ b*( a * b)] =b

{

2? x

<8

} , B = { x ∈R | log 2 x |> 1} ,则 A ∩ (C R B) 的元素
(D)3

6、 (07 江苏 2)已知全集 U = Z , A = {?1, 0,1, 2}, B = {x | x = x} ,则 A ∩ CU B 为(A) A. {?1, 2} B. {?1, 0} C. {0,1} D. {1, 2} =R,则实数 a 的取值范围是

7、 (07 福建理 3)已知集合 A={x|x<a},B={x|1<x<2},且 Aa B a<1 Ca 2 D a>2

8、 (07 湖南理 3)设 M ,N 是两个集合,则“ M ∪ N ≠ ? ”是“ M ∩ N ≠ ? ”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件



2, 4, 6} ? 9、 (07 湖南文理 10)设集合 M = {1, 3, 5, , S1,S 2, ,S k 都是 M 的含两个元素的子集,
且满足:对任意的 Si = {ai,bi } , S j = {a j,b j } ( i ≠ j , i、j ∈ {1, 3, ,k } ) 2, ? ,都有

? ? ?a b ? ? a j bj ? ( , ( min ? i ,i ? ≠ min ? , ? min{x,y} 表示两个数 x,y 中的较小者)则 k 的最大值是 ? bj a j ? ? bi ai ? ? ?
A.10 B.11 C.12 D.13



10、 (07 江西理 6)若集合 M = {0,2} , 1,

N = {( x,y ) x ? 2 y + 1≥ 0且x ? 2 y ? 1 ≤ 0,x,y ∈ M } ,则 N 中元素的个数为(
A. 9 B. 6 C. 4 D. 2



11 、 07 湖 北 理 3 ) 设 P 和 Q 是 两 个 集 合 , 定 义 集 合 P ? Q = { x | x ∈ P,且x ? Q} , 如 果 (
P = { x | log 2 x < 1} , Q = { x | x ? 2 < 1} ,那么 P ? Q 等于( A. { x | 0 < x < 1} D. { x | 2 ≤ x < 3} B. { x | 0 < x ≤1} )

C. { x |1≤ x < 2}

12、 (07 辽宁理 1)设集合 U = {1, 3, 5} , A = {1 3} , B = {2, 4} ,则 痧A ∩ 2, 4, , 3, U A. {1} B. {2} C. {2, 4} D. {1, 3, 2, 4}

(

) (

U

B) = (



13、 (07 陕西理 2)已知全信 U={1,2,3, 4,5},集合 A= x ∈ Z x ? 3 < 2 ,则集合 CuA 等于 (A) { ,2,3,4} 1 (B) {2,3,4} (C) { ,5} 1 (D) {5} Z

{

}

14、 (07 陕西理 12)设集合 S={A0,A1,A2,A3},在 S 上定义运算为:Ai ⊕ Aj=Ak,其中 k 为 I+j 被 4 除的余数,i、j=0,1,2,3.满足关系式=(x ⊕ x) ⊕ A2=A0 的 x(x∈S)的个数为 A.4 二、填空题 15、 (07 北京理 12)已知集合 A = x | x ? a ≤ 1 , B = x x ? 5 x + 4 ≥ 0 .若 A ∩ B = ? ,则
2

B.3

C.2

D.1

{

}

{

}

实数 a 的取值范围是



八、实战训练 B
一. 选择题:

1.(08 四川卷1)设集合 U = {1, 2,3, 4,5} , A = {1, 2,3} , B = {2,3, 4} ,则 CU ( A ∩ B ) = ( ) A

{2,3}

B {1, 4,5}

C

{4,5}

D {1,5}

2.(08 天津卷 1)设集合 U = {x ∈ N | 0 < x ≤ 8} , S = {1, 2, 4,5} ,T = {3,5, 7} ,则 S ∩ (CU T ) = A {1, 2, 4} B {1, 2,3, 4, 5, 7} C {1, 2} D {1, 2, 4,5, 6,8}

3.(08 安徽卷 2) .集合 A = { y ∈ R | y = lg x, x > 1} , B = ?2, ?1,1, 2} 则下列结论正确的是( ) A. A ∩ B = ?2, ?1}

{

{

B.

(CR A) ∪ B = (?∞, 0) C. A ∪ B = (0, +∞)

D



(CR A) ∩ B = {?2, ?1}
4.(08 山东卷 1)满足 M ? {a1, a2, a3, a4},且 M∩{a1 ,a2, a3}={ a1·a2}的集合 M 的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4

5.(08 江西卷 2)定义集合运算: A ? B = z z = xy, x ∈ A, y ∈ B . 设 A = {1, 2} , B = {0, 2} ,则集 合 A ? B 的所有元素之和为 A.0 B.2 C.3 D.6

{

}

6. 08 陕西卷 2) ( 已知全集 U = {1, 3, 5} , 2, 4, 集合 A = {x | x 2 ? 3 x + 2 = 0} , = {x | x = 2a,a ∈ A} , B 则集合 CU ( A ∪ B) 中元素的个数为( A.1 B.2 C.3 ) D.4

7.(08 全国二 1)设集合 M = {m ∈ Z | ?3 < m < 2} , N = {n ∈ Z | ?1 ≤ n ≤ 3},则M ∩ N = ( ) B. {?1 0, ,1} C. {0,2} 1, D. {?1 0,2} ,1,

A. {0, 1}

8.(08 北京卷 1)已知全集 U = R ,集合 A = x | ?2 ≤ x ≤ 3 , B = { x | x < ?1或x > 4} ,那么 集合 A ∩ (CU B ) 等于( A. x | ?2 ≤ x < 4 ) B. x | x ≤ 3或x ≥ 4

{

}

{

} }

{

}

C. x | ?2 ≤ x < ?1

{

}

D. x | ?1 ≤ x ≤ 3

{

9.(08 浙江卷 2)已知 U=R,A= {x | x > 0},B= {x | x ≤ ?1} ,则(A ( A ∩ C u B ) ∪ (B ∩ C u A) = D A ? B

{χ | χ ≤ 0}

C

{χ | χ > ?1}
? ?

D

{χ | χ > 0或χ ≤ ?1}

10.(08 辽宁卷 1)已知集合 M = x = ? x | ( ) B. M ∪ N

x+3 ? < 0 ?,N = { x | x ≤ ?3} ,则集合 { x | x ≥ 1} = x ?1 ?

A. M ∩ N 二.

C. CU ( M ∩ N )

D. CU ( M ∪ N )

填空题:

11. 08 上海卷 2) ( 若集合 A = x | x ≤ 2 , = x | x ≥ a 满足 A ∩ B = {2} , B 则实数 a = 12.(08 江苏卷 4)A= { x ( x ? 1) < 3 x ? 7} ,则 A ∩ Z 的元素的个数
2

{

}

{

}





13.(08

重 庆 卷

11 ) 设 集 合 .

U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={3,4,5},C={3,4}, 则

( A ∪ B ) ∩ (CU C ) =

14.(08 福建卷 16)设 P 是一个数集,且至少含有两个数,若对任意 a、b∈R,都有 a+b、a-b, ab、

a b

∈P (除数 b≠0) 则称 P 是一个数域.例如有理数集 Q 是数域; , 数集 F = a + b 2 a, b ∈ Q 也

{

}

是数域.有下列命题:①整数集是数域;②若有理数集 Q ? M ,则数集 M 必为数域;③数域必为无 限集;④存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是 上). .(把你认为正确的命题的序号填填

九、知识扩充: 知识扩充:

(1) 、已知集合 A= x 使y = a ax ? x 2 有意义 ,集合 B= y 使y = a ax ? x 2 有意义 ,A=B 是否 可能成立?如可能成立,求出使 A=B 的 a 的取值范围,如不可能成立,说明理由. (2) 、定义域为 x x ∈ R, 且x ≠ 0 的奇函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,而 f(1)=0,设函数 g(x)=sin x+kcosx-2k(x∈[0,
2

{

}

{

}

{

}

π
2

])集合 M= k 使g ( x ) < 0

{

} N= {k 使f [ g ( x)] < 0} ,求 M∩N.


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