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【新课教学过程(二)】3.2.1直线的方向向量与平面的法向量Z


3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量(教学过程 2)
教学过程 (一) 、创设情景 1、平面坐标系中直线的倾斜角及斜率,直线的方向向量,直线平行与垂直的判定; 2、如何用向量描述空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系? (二) 、建构数学 1、直线的方向向量 我们把直线 l 上的向量 e 以及与 e 共线的向量叫做直线 l 的方向向量. 2、平面的法向量

如果表示向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面α ,则称这个向量垂直于平面α ,记作

n ??

,如果 n

??

,那么向量 n 叫做平面α 的法向量.

3、 (坐标系中平面的法向量)求法步骤: ①在适当坐标系下,设法向量为 n ? ( x, y, z) ; ②求出平面内两个不共线向量的坐标,

a ? (a1 , b1 , c1 ) ; b ? (a2 , b2 , c2 ) ,
③由定义建立方程组:

a ? n ? 0 且 b ?n ? 0

④解方程组,取其中一个解得法向量为 n 4、用向量证明空间空间平行的方法.

? ( x, y, z) .

①线面平行:记 l 的方向向量为 a , ? 的法向量为 n ,则要证 l ? ? ,只要 a ? n , 即 a ? n ? 0 (又分基向量法和坐标向量法两种) . ②面面平行:求出平面 ? 、 ? 的法向量 u 、 v ,证明 u // v . (三) 、数学运用 例 1 已知平面 ? 经过三点 OA ? (1,2,3) , OB ? (2,0,?1) ,

OC ? (3,?2,0) ,求平面 ? 的一个法向量.
解:

AB ? (1,?2,4) , AC ? (2,?4,3) ,记法向量为 n ? ( x, y, z) , 则 x ? 2 y ? 4 z ? 0 且 2 x ? 4 y ? 3z ? 0 解得: x ? 2 y且z ? 0 ,平

面 ? 的一个法向量为 n

? (2,1,0) .

例 2 在正方体

ABCD ? A1 B1C1 D1 中,

求证: DB1 是平面

ACD1 的法向量.
A1

D1

C1

B1

D

C

A

B

证:设正方体棱长为 1, 以 DA, DC, DD1 为单位正交基底, 建立如图所示空间坐标系 D ?

xyz

AC ? (?1,1,0) , AD1 ? (?1,0,1) , DB1 ? AC ? 0 ,所以 DB1 ? AC 同理 DB1 ? AD1 ,所以 DB1 ? 平面 ACD 从而 DB1 是平面 ACD1 的法向量.
DB1 ? (1,1,1)
, 例 3 如图正方体中,M 为 BD 中点,求证: BC1 //平面 MD1C
D

证明:建系,设边长为 1, 则: BC1

M B

C

? (?1,0,?1) ,

A

1 1 MD1 ? (? ,? ,?1) , 2 2 1 1 MC ? (? , ,0) 2 2 设平面 MD1C 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 1 1 1 1 ? x ? y ? z ? 0,? x ? y ? 0 则 2 2 2 2
令 x=1 解得:y=1,z=-1.又 BC1
D M B

D1

C1

A1

B1

?n?0,
C

? BC1 //平面 MD C
1
A C G

A

B

D1

C1

A1 B1

C1

A1

B1

练习:如图是一个直三棱柱被一平面截取得到的几何体,截面为 ABC,G 为 AB 中点;已知:

A1 B1 ? B1C1 ? 1, ?A1B1C1 ? 90? ,

AA1 ? 4 , BB1 ? 2 , CC1 ? 3

求证: OG // 平面A B1C1 . 1 证明:以 B1 为原点, B1C1 为 X 轴, B1 A1 为 Y 轴,建系. 则 A(0,1,4) , B(0,0,2) , C(1,0,3) ,又 G 是 AB 中点,

有 G(0,

1 1 ,0) , GC ? (1,? ,0) , 2 2

P

易知 n

? (0,0,1) 是平面 A1 B1C1 的法向量;

F E

因为, GC ? n ? 0 ,GC 不在平面 所以,

A1 B1C1 ,
B

A C

D

OG // 平面A1B1C1 .

?ABC ? 60? , PA ? 平面 PA ? AC ? 2 , PB ? PD ? 2 2 ,点 E 在 PD 上,且 PE : ED ? 2 :1 ,
例 4 在如上图底面为菱形的的四棱锥中, 求证: BF

ABC,

// 平面 AEC .

证明:以 A 为原点,以 AB 为 x 轴,以 AD 为 y 轴建系;

A(0,0,0) , B( 3,?1,0) , C ( 3,1,0) , D(0,2,0) , P(0,02)
4 2 4 2 E (0, , ) ,? AE ? (0, , ) , AC ? ( 3,1,0) 3 3 3 3
设平面 ACE 的法向量为 n

? ( x, y, z ) ,则: 3 x ? y ? 0 且 y ? z ? 0
3 ,z 3

4 3

2 3



y ?1有 x ? ?

? ?2 ,?n ? (?

3 ,1,?2) 3

又 BF

? OF ? OB ? (?

1 3 3 3 , ,1) ,? n ? BF ? ? ? 2 ? 0 2 2 2 2

因此, BF

// 平面 AEC .

例 5 在 空 间 直 角 坐 标 系 内 , 设 平 面 ? 经 过 点 P( x 0 , y 0 , z 0 ) , 平 面 ? 的 法 向 量 为

e ? ( A, B, C) , M ( x, y, z ) 为平面 ? 内任意一点,求 x, y, z 满足的关系式.
解:由题意可得 PM

? ( x ? x0 , y ? y 0 , z ? z 0 )

e ? PM ? 0 ,即 ( A, B, C ) ? ( x ? x0 , y ? y 0 , z ? z 0 ) ? 0
化简得 (四)、课堂练习

A( x ? x0 ) ? B( y ? y 0 ) ? C ( z ? z 0 ) ? 0

??? ? , ????已 知 点 P 是 平 行 四 边 形 A B C D所 在 平 面 外 一 点 , 如 果 AB ? ( 2,? 1, 4) ??? ?
AD ? (4, 2,0) , AP ? (?1, 2, ?1) .
??? ?
(1)求证: AP 是平面 ABCD 的法向量; (2)求平行四边形 ABCD 的面积.

??? ??? ? ? (1)证明:∵ AP ? AB ? (?1, 2, ?1) ? (2, ?1, ?4) ? 0 , ??? ??? ? ? AP ? AD ? (?1,2, ?1) ? (4,2,0) ? 0 ,


AP ? AB , AP ? AD ,又 AB ? AD ? A , ??? ? ABCD ,∴ AP 是平面 ABCD 的法向量. AP ? 平面
??? ? AB |? (2) 2 ? ( ?1) 2 ? (?4) 2 ? 21 , ???? ??? ??? ? ? | AD |? 42 ? 22 ? 02 ? 2 5 ,∴ AB ? AD ? (2, ?1, ?4) ? (4, 2,0) ? 6 ,
6 3 105 ? , 105 21 ? 2 5
∴ sin ?BAD ?

(2) |

??? ???? ? cos( AB, AD) ? ∴
∴ S? ABCD

1?

??? ??? ? ? ?| AB | ? | AD | sin ?BAD ? 8 6 .

9 32 ? , 105 35

(五)、回顾小结: 1、直线得方向向量与平面法向量得概念;2、求平面法向量方法; 3、证明空间平行的方法. (六)、布置作业 (七) 、教学反思


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